第七章应力状态和强度理论 7-1试从图示各构件中A点和B点处取出单元体并表明单元体各面上的应力。 -4F 解:(a)o=d = 4 πd 33 (b)t=16M3 w。πd3 = 16×8×103 M. =12 KN-m =8kN.m M, 4KN.m π×803×10-9 T=79.6MPa =79.6×10°Pa =79.6MPa (c)∑MA=0 12KN 0.8kN-m FB×1.20-0.8-2×0.4=0 FB=1.333kN M=F0.3=0.4knm 30 Fs=-1.3333kN 400400400 = 1.333×103 2KN TA=max2bh240×120×10 .8kN-m 6 B =0.417×10a=0.417Ma M 0.4×103 400400400 A B=140×1203×102×30×10 12 =41.7MPa =2.08×106Pa=2.08a S2=40×30×45×10-9=54×10-6m3 -TB=0.312MPa 40×120 2= 12×10-12=5.76×10-6m4 =2.08MPa FS1.333×103×54×10- TBb240×10-3×5.76×10 =0.312×10°Pa=.312MPa 6 M39.3 (d)== Wπ×20 32×10-9 =50.0×10°Pa=50.0MPa Am-8-393Nm N.m =78.6 Wπ×20×10-9 0.5m Im 16 =50.0×10Pa=50.0MPa 102
$ % D G ) V E S G 0 : 0 W u u u u 3D u 03D F ¦ 0 $ )% u u )% N1 0 )% u N1 P )6 N1 V $ 6 PD[ u u u u EK ) $ W W 3D 03D u u u u u u \ , 0 ] V % 3D 03D u P 6] u u u u P u u u , ] 3D 03D u u u u u u u ] % ] % E, ) 6 W G u u :] 0 V 3D 03D u S u u : 7 W 3D 03D u O $ ) ) ) G O O G ) V $ D D D 0 N1 P 0 N1 P 0 N1 P $ $ W 03D N1P N1 $ % R ] \ N1P N1 $ )$ % )% $ 03D $ W % 03D % W 03D V % $ 0 1P P P 0 1 P
7-2有一拉伸试样,横截面为40mm×5mm的矩形。在与轴线成a=45°角的面上切应力 τ=150MPa时,试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F的数值。 解:σ F A40×5×10 4=,sin2(45)=2×40×5×10 =150 MPa F=150×10°×2×40×5×10=60×103N=60kN 7-3一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。由于实用的原因,图中的a角限于0~60°范围内。作为 “假定计算”,对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。 现设胶合缝的许用切应力[以为许用拉应力的34,且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为 了使杆能承受最大的荷载F,试问a角的值应取多大? 解:按正应力强度条件求得的荷载以F。表示: F cosa≤ F cos a 按切应力强度条件求得的荷载以F表示,则 F sin 2a A 2 [\E F sin 2a=Ta] 2A 15]4 当a=0时,F。={l]4,F=∞, a=20时,Fn=11l]4,F=2.3l4, a=45时,Fn=2{4,F1=1.54 a=60时,F=4]4,F=1732(]4 由F、F随a而变化的曲线图中得出,当a=60°时,杆件承受的荷载最大, [F]。=1.732g]4。 若按胶合缝的a达到的同时,x亦达到[刁的条件计算 F cOS ≤[] =- Sin a cosa≤ 则 sin a cosa= cos a tan a a=3653
PPu PP $ D W 03D ) V V u u ) $ ) 03D VLQ u u u $ ) $ V W 1 N1 u u u u u u ) PQ D $ a >W @ >V @ ) D )V V D > @ V V D d FRV $ ) > @ D V V FRV ) $ )W W D > @ W W D VLQ $ ) W D > @ V W D VLQ $ ) > @ D V W VLQ $ ) $ D )V >V @$ )W f $ D )V >V @$ )W >V @$ $ D )V >V @$ )W >V @$ $ D )V >V @$ )W >V @$ )V )W D $ D >)@PD[ >V @$ V D >V @ D W >W @ V D D d > @ V FRV $ ) W D D D > @ V VLQ FRV d $ ) D V D W VLQD FRVD $ ) D FRV $ ) WDQD c $ D P D ) Q ) )V )W )W D )V qc >V@$ >V@$
则 0n=c0(3653)=1=l=1564 0.64 故此时杆件承受的荷载,并不是杆能承受的最大荷载[F] 7-4若上题中拉杆胶合缝的许用应力[=0.5],而[]=7MPa,[=14MPa,则a值应取 多大?若杆的横截面面积为1000m2,试确定其最大许可荷载F。 cos2a≤G],F FF 上sn2a≤[=0 sin 2a 当a=0时,F=[14,F=∞ a=10°时,F=1.064F1=294] a=25时,F=1.2{4,F1=1.3]4 a=45时,Fn=2]4,F={]4 C度 a=60时,Fn=4{4,F1=1.16G]4 由F,F曲线图可知: =F=[F],即=1H cos a sin 2a 即2 sin a cosa=cos2a tana=-,a=26.6 = =1.25×14×10°×1000×10=175kN 26.6 7-5试根据相应的应力圆上的关系,写出图示单元4 体任一斜截面m-n上正应力及切应力的计算公式。 设截面m-n的法线与x轴成a角如图所示(作图时 设,>) 解:由应力圆可知: cos 2a 2 G.-0 Sin2a
> @ > @ > @$ $ ) $ ) V V V D V FRV c $ > @ ) PD[ >W @ >V @ >W @ 03D >V @ 03D D PP ) V D > @ V V D d FRV $ ) > @ D V V FRV $ ) >@ > @ > @ D V W V D W W W D VLQ VLQ $ ) $ ) d $ D )V >V @ )$ W f $ D )V > @$ )W >VV @$ $ D )V > @$ )W >VV @$ $ D )V > @$ )W >VV @$ $ D )V > @$ )W >VV @$ )V )W > @ )V )W ) PD[ > @ > @ D V D V FRV VLQ $ $ D D D VLQ FRV FRV $ WDQ DD > @ > @ > @ N1 FRV PD[ u u u u $ $ ) V PQ PQ [ D V \ ! V [ D V V V V V D FRV [ \ [ \ D V V W D VLQ [ \ )V )W )W D )V q >V@$ >V@$ \ V \ [ V [ V \ V [ P Q D Q V W ( V [ D & V \ V [ V \ V[ V\
7-6某建筑物地基中的一单元体如图所示,σ,=-0.2MPa(压应力), G,=-0.05MPa(压应力)。试用应力圆求法线与x轴成顺时针60°夹角且垂 直于纸面的斜面上的正应力及切应力,并利用习题7-5中得到的公式进行核对。 解:由应力圆得:σ=-0.162MPa T=-0.065MPa 用σa及a的计算公式计算得 .+σ 0.05-0.2-0.05+0.2 cos(-120°) AT/MPa =-0.1625MPa 2a 120 0.05-(-0.2) sin(-120°) 2 -0.065MPa 7-7试用应力圆的儿何关系求图示悬臂梁距离自由端为 072m的截面上,在顶面以下40mm的一点处的最大及最小 主应力,并求最大主应力与x轴之间的夹角。 解:M4=10×0.72=72kNm F=10kN bh380×(160)3×102 27·3×10m S=80×40×60×10-=192×10°m MAy_72×103×40×10-3 27.3×10 =10.55×105N/m2=10.55MPa FS10×10×192×10 ,= 80×10-3×27.3×10 =0.88MPa 由应力圆员得G1=+1066MPa 3=-0.06MPa r3=-006MPao1=+1066MPa 4.75 7-8各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的儿何关系求: (1)指定截面上的应力 (2)主应力的数值 (3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向
03D V \ 03D V [ [ $ 03D V D 03D D W V D D W V D D V V V V FRV [ \ [ \ FRV $ 03D D W D V V VLQ [ \ VLQ $ 03D P PP [ 0 $ u N1 P u u EK , ] P u P 6] u u u u u u u u ] $ $ , 0 \ V u 1P 03D 03D 6 u u u u u u ] ] $ E, ) 6 W 03D V 03D V $ D ) V \ V [ V \ V [ q V 03D W 03D q ] \ [ P P ) N1 V $ $ W $ V W $ $ V W D $ W 03D 03D V V & R
解:(a)σ,=25MPa 40MPa 26 MPa 0)o/MPa =20 MPa ,=-40MPa /MPa (b)=-26MPa S0ME F/MPa O,=30 MPa G,=0 0, =-30 MPa (c)O=-50 MPa 50MPa omPa F/MPa 50MP (d o=40MPa I=10 MPa 20MPa t/MPa o,=41MPa C=4IMPa G,=0 OMPa ) 39°3 O/MPa G3=-61MH an=39°35 50MPa 7-9各单元体如图所示。试利用应力圆的儿何关系求 (1)主应力的数值 (2)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 t/MPa 解:(a)a1=160.5MPa -30 0 /MPa 30.5MPa o=-23.56 70MPa (b)01=36.0MPa /MPa G,=0 丁3=-176MPa C1=65.6° 140MPa a/MPa ao gOMPa
D 03D V D 03D D W 03D V V 03D V E 03D V D 03D D W 03D V V 03D V F 03D V D W D V 03D V V G 03D V D 03D D W 03D V V 03D V c $ D D 03D V V 03D V $ D E 03D V V 03D V $ D 03D 03D q V 03D W 03D q VD & R 03D q 03D q V V V 03D W 03D q VD 03D q 03D V [ V \ W 03D R V 03D 03D q 03D 03D D qc 03D V 03D V V V D q VD W 03D V 03D 03D 03D 03D V V q D V 03D W 03D V D R V & 03D 03D 03D V [ V V q D V 03D V D V W 03D & R
(c)a2=-1625MPa I OMPa =0 =-16.25 16.1 /MPa =-53.75MPa /MPa (d)o=170MPa o,=70MPa 71.6° a0=-71.6° 160MPa =170 7-10已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力 值和主平面方位,并求出两截面间的夹角a值 解:由已知按比例作图中A,B两点,作AB的垂直平分线交σ轴于点C,以C为圆心,CA或CB 为半径作圆,得 (或由282+x2=(114-38-x)2+48 38MPa 得 半径 +482=55.57) (1)主应力 48 MP 1=86+557=141.6MPa σ,=86-55.57=30.43MPa / MPa 0 (2)主方向角 A(382 tan 2a a2=1513 c1=-7487° (3)两截面间夹角: B(114,-48) 2a=[80-(90-2a2)+2a2=90°+4a2 a=45°+2a,=75.26 7-11某点处的应力如图所示,设σ,r及σ值为已 知,试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。 解:已知可a及可,则A(σ,0)点及B(aa,a)点均 在应力圆圆周上,联结A、B,作AB线的垂直平分线交B 轴于C,则C点为应力圆的圆心。CA(或CB)为应力圆 半径,作应力圆
F 03D V V 03D V $ D G 03D V 03D V V $ D D $ % $% V & & &$ &% [[ [ U 03D V 03D V V WDQ D $ D $ D D > D @ DD $ $ $ $ $ D D D D V W V \ D D V W V \ $ V \ D D % V W $ % $% % & & &$ &% 03D 03D 03D 03D V V q D V D V & R W 03D V 03D 03D 03D 03D 03D V V q D V 03D V D V W 03D R D 03D 03D 03D 03D R V % $ V V D D D W 03D V 03D + & VD D W D V [ V \ V W D D V W & $ D V[ % V \
7-12一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示,梁的自 重略去不计。试求截面mm上abc三点处的主应力。 60 kN 160kN 解ε在mm横截面上(集中外载荷左侧) M=160×0.4=64kNm F=160kN 120×2203×10-255×2003×10-12 12 =33.15×10m S=120×10×105×10-+100×10×50×10 =212 MPa 1.76×10+m3 S"=120×10×105×10-=1.26×10+m 点a处主应力G1为 17.6 M 64×10×110 loMax 212 MPa 123315×10° 点b处 My64×103×100 193 MPa 1.33.15×106 FsSb160×10×1.26×10 b10×10-3×33.15×10-6 -=60.9MPa T/MPa =210.6MP (193,60.9 17.6 MPa 点c处: bl 160×103×1.76×10-4 a,=-849 84.9 MPa 10×10-3×33.15×10 -84.9 o, =T=84.9 MPa 84.9MP G1=84.9 7-13在一块钢板上先画上直径d=300mm的圆,然后在板 加上应力,如图所示。试问所画的圆将变成何种图形?并计2MP-44Mmn 算其尺寸。已知钢板的弹性常数E=206GPa,v=0.28 70+14 70-14 解 )2+212 MPa 2 tan 2ao= 70-1456 18.43 a02=71.57 E1=(G1-v02)=206×1 (77-0.28×7)=0.364×10
PP DEF PP 0 u N1 P )6 N1 u u u u u , ] P u PD[ 6 u u u u u u P u P 6E u u u u D V V 03D PD[ PD[ u u u ] , 0\ V E V E 03D u u u ] , 0\ E W 03D 6 u u u u u u ] E E, ) 6 03D V 03D V F ] & E, )66PD[ W W PD[ 03D u u u u u u 03D V W & 03D V W & G PP ( *3D Q 03D r V WDQ u D $ D $ D u u u H QVV ( P P P N1 N1 )$ )% F E D P P D 03D V V V E D D W 03D R V 03D & V V F G 03D 03D 03D 03D 03D 03D
(7-0.28×77)=-0.07068×10 206×10 所画的圆变成椭圆,其中 d1=d+d1=300×(1+0.364×10-)=30109mm(长轴) d2=d+d2=300×(1-0.07068×10-)=299979mm(短轴) 7-14已知一受力构件表面上某点处的ax=80MPa =-160MPa,a=0,单元体三个面上都没有切应力。试求该点 160 MPa 处的最大正应力和最大切应力。 =80 MPa 80 MPa 1=80MPa,a3=-160MPa 120 MPa 2 15单元体各面上的应力如图所示。试用应力园的儿何关系求主应力及最大切应力 解:(a)由xy平面内应力值作a,b点,连接φb交σ轴得圆心C(50,0) 应力圆半径 )2+402=447 T/MPa 30MPa 故a1=50+447=947MP G3=50-44.7=53MPa 40MP g/ MPa 3=44.7MPa 2 (b)由xz平面内应力作a,b点,连接 mb交σ轴于C点,OC=30,故应力圆半 T/MPa 50 G1=30+50=80MPa 40MPa o,=50MPa t, 50MPa 2 (c)由图7-15(c)yz平面内应力值作a T/MPa b点,圆心为O,半径为50,作应 力园得 80MP 2=-50MPa /MPa l09
u u u H QVV ( PP u u G G GH PP u u G G GH 03D V [ 03D V \ V ] 03D V PD[ V [ 03D V 03D V 03D PD[ V V V D [\ D E DE V & U 03D V 03D V 03D V 03D PD[ V V W E [] D E DE V & 2& U 03D V 03D V 03D V 03D PD[ W F F \] D E 2 03D V 03D V 03D V 03D V [ 03D V \ 03D 03D 03D 03D [ \ ] V V R E D W PD[ W 03D V 03D 03D 03D [ \ ] 03D V V R PD[ W E D V W 03D V 03D 03D 03D [ \ ] V V R E V PD[ W D W 03D V 03D
65 MPa 2 7-16已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体示出该点处的应力状态,并在该单元体 上绘出应力圆上点A所代表的截面。 解 7-17有一厚度为6mm的钢板在两个垂直方向受拉,拉应力分别为150MPa及55MPa。钢材的弹 性常数为E=210GPa,v=0.25。试求钢板厚度的减小值。 解:设钢板厚度的减小值为M,沿钢板厚度方向的应变为ε,则 (150+55)×10 210×10 2.43×10 △M=1:|×6=243×10×6=1.46×10mm 7-18边长为20mm的钢立方体置于钢模中,在顶面上受力F=14kN作用。已知v=0.3,假设钢模 的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。 14×103 35MPa(压) A20×20×10-6 F=14kN E (σ,+G2)=0 a-0.3(-35+0)=0 ,+x)=0 EE :-0.3(-35+a1)=0 (2) 联解式(1),(2)得 G=-15MPa(压) 7-19在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力F=20kN时,测得试样中段B点处与其轴线成30°方向 的线应变为E3=3.25×10+。已知材料的弹性模量E=210GPa,试求泊松比v 解:σ F 20×10 100 MPa A20×10×10 -02- =-0=75MPa a cos2 a= 25 MPa 120 110
03D PD[ V V W $ PP 03D 03D ( *3D Q 'K ] H ] H u u [ \ ( V V Q u PP 'K H ] u u u u PP ) N1 Q 03D u u u $ ) V \ \ ] [ [ ( ( V V V Q H V \ V ] \ [ ] ] ( ( V V V Q H V ] V [ 03D V [ V ] ) N1 % $ H $ u ( *3D Q 03D u u u $ ) V 03D FRV V $ V VD FRV 03D V $ DV V 03D $ $ V 03D $ q $ [ ] \ ) N1 ) q ) %
325×10×210×10=(75-v×25)×10 0.27 7-20D=120mm,d=80mm的空心圆轴,两端承受一对扭转力偶矩M。,如图所示。在轴的中部表 面A点处,测得与其母线成45方向的线应变为6=26×10。已知材料的弹性常数 E=200GPa,v=0.3,试求扭转力偶矩M。 解: 方向如图 a1=z,O3=-,2=0 + y E E 1+0.3 2.6×10 200×10兀×120°×10 16 120 M=10891N.m=109kN·m 7-21在受集中力偶矩M,作用的矩形截面简支梁中,测得中性层上k点处沿45°方向的线应变为 E已知材料的弹性常数E,V和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试集中力偶矩M。 解:k点弯曲上应力为零。只有剪力Fs=F4=,引起纯剪切状态。 Fs 3 3M E 1+v3M E 26hl M- 2bhlE 7-22一直径为25mm的实心钢球承受静水压力,压强为14MPa。设钢球的E=210GPa,v=0.3 试问其体积减小多少 解:体积应变θ= 3) (-3a)= 3(1-2v E E E △==0D3=5(-2)oD 3丌×(1-2×0.3)×14×10×25×10 6E 6×210×10° =6.54×10-m3=0.654mm 7-23已知图示单元体材料的弹性常数E=200GPa,v=0.3。试求该单元体的形状改变能密度
> @ H $ V $ QV $ ( u u u uu Q Q ' PP G PP 0H $ $ H $ u ( *3D Q 0H S H S : 0 : 7 W V W V VW W Q H H V QV ( ( $ @ > H u u u u 0 0H 1 P N1 P 0H N $ $ H ( Q E K D G O 0H N O 0 ) )$ H 6 EKO 0 EK ) , E ) 6 ] ] 6 PD[ 6 H W V W V W Q W H H V QV ( ( $ EKO 0 ( H Q H $ $ H H Q EKO( 0 PP 03D ( *3D Q V Q V Q V V V Q T ( ( ( ( ' 9 9 ' Q V T T ' u u u u u u u u S P u PP ( *3DQ q 0H $ 0H P G ' $ W V V D $ % E q N G O & 0H $ & % 0H O 0 )$ H )% N W V V
