第四章压杆稳定问题的进一步研究 4-1起重机械中的一部件如图a所示。试问: (1)当求部件的临界力F时,取图b,c中的哪一力学模型较为合理? (2)按图c所示简图,导出求欧拉临界力的方程 (3)若I2=101,1=l2,则按两种简图所得的F之比为多少? 解:(1)油缸虽不受压,但当活塞 杆受压而弯曲时,由于活塞与油缸之间 变形 传递弯曲力矩而使油缸产生弯曲变形, 从而也就影响到F的大小,因此取图 活塞杆 (c)中的力学模型比较合理。 w() (2)按图c简图推导求F的稳定 2(x) 方程 12 每段杆的挠曲线微分方程为 EI2w2(x)=fl-w2(x),即w2(x)+k2w2(x)=k2 故w1(x)=A1 sin+B1 coskx+δ (1) w(x)= Ak cosk x-B- sin (2) (3) w2()=A2k2 coskx-B2k, sink2x (4) 利用边界条件得出用以求F的稳定方程 (1)x=0处,W2=0 0=A2×0+B2×1+,B2=- (2)x=0处,W2=0 0=A2k2-B2k2×0,A2=0 w2=-5 cosk2x+=(1-cosk2x) w2= sink2x (3)x=l2处,W1=W2 A1 sin2+b cosk l22+6=-cosk2l2 (4)x=l2处,=w2(转角相等) Ak1 cosk l2-B2- sin 122=ok2sink2l2 (5)l1+l2处,W1= 即 sin(l+l2)+B1cosk1(1+l2)=0 联列(3)、(4)、(5)中的式 [A, sin kil2+B cos ki +8 cosk =0.........(a) k cosk l2-B k sin k l2-ok sin k212 =0......(b) A sin (+12)+ B cos k (+2)+0 =0........(c) 209
D )FU E F F , , OO )FU )FU F F )FU G G FU (, Zcc [ ) > Z [ @ Zcc [ N Z N[ G G FU (, Zcc [ ) > Z [ @ Zcc [ N Z N[ Z [ $ N [ % [N G VLQ FRV Z [ $ N N [ % N N [ c FRV VLQ Z [ $ N [ % [N G VLQ FRV Z [ $ N N [ % N N [ c FRV VLQ )FU [ Z u u G G $ %% [ Z c $ %N u $N FRV FRV Z G N [ GG N [ Z N N [ c G VLQ [ O Z Z $ VLQ N O % FRV N O G GG FRV ON [ O Z Z c c $ N FRV N O % N VLQ N O GN VLQ ON O O G Z VLQ FRV G G $ N O O % N O O $ VLQ N O O % FRV N OO ° ¯ ° ® VLQ FRV F FRV VLQ VLQ E VLQ FRV FRV D $ N O O % N O O $ N N O % N N O N N O $ N O % N O N O G G ) , , ) , ) , , ) , , [ G Z [ Z [
因三式中A1,B,不应全等于零,则它们的系数构成的行列式应为零,即 K,, K,l, k, cost,l k, sink 42 - sink242=0 in k,(11+12)cosk,(\+l2) 展开整理得 k2 sin k212 sin k,I k1 亦即稳定方程为k2k2 tank, l1=1 戊即 E1 tan 12)tan(,,1)=1 E El E 亦即 n(,,L2)tan(,,L1)=1 满足(a)式,亦即(b)式的F就是F。 当I2=101,且l1=l2时的(b)式得 0a,/F 1)tan(,1)=1 V10EI VEL √10√10 4)tan(1,4)= 由试算得:当F时满足式(c,此F即为按图c求得的F° 48812 (3)按图(b)中的力学模型,F_2E1 =0.82 F488 讨论:(1)若把油缸对活塞杆的约束当成没有侧移但可转动的弹性支承(实际上油缸顶既可 动又可侧移)。 H(=F-w1(x) 1+k2w1=k2δ,其中k =a sink,x+b, coskx+s w,=ak, cosk.,k, sink,x )在x=0处,w1=0,b1=- (2)在x=0处,w=a=2 210
G $ % VLQ FRV FRV VLQ VLQ VLQ FRV FRV N O O N O O N N O N N O N N O N O N O N O FRV FRV VLQ VLQ N N O N O N N O N O WDQ WDQ N O ON N N D WDQ WDQ O (, ) O (, ) (, ) (, ) WDQ WDQ / (, ) / (, ) , , E D E ) )FU , , O O E WDQ WDQ O (, ) O (, ) , , WDQ WDQ O (, ) O (, ) F O (, ) F ) F )FU F E FU E O (, ) FU E FU F ) ) > @ 0 ) Z [ [ G (, ) Zcc N Z N G N Z D N [ E [N G VLQ FRV Z D N N [ E N N [ c FRV VLQ G [ EZ N [ Z D M c M
故 y,=sin kx+8 (3)在x=l处,w1=δ k,d 则6 k K k, 41+6, tan K,4 设q=1时的反力矩为B,则 Fo F=B,= B 故 tank,l1 KiB k 稳定方程为 k, tan k1=El 式中的可按左图所示图示,按大刚度杆求得B=4E, 于是,稳定方程可改写为 4EL, 1I k, 4, tank /1=4 1l2 当l1=l2,12=101时 k,l, tank, 4 =40 由试算知,当kl1=1.533时满足上式,于是根据k1= El (1.533) 从而 7t F 4.201 (1.533) πEI 前面按图(c)求得,Faco 现在求得的F偏大了14%。这是因为(1)没有考虑油 缸顶面的侧移,(2)在求β时是按大刚度杆计算的。 (2)若考虑油缸顶面的侧移,且仍考虑转动,而β及w(O0的计算仍按大刚度杆。 M 2m(0) M, l l2 211
G G M N [ [N N \ VLQ FRV G [ O Z M G G G M G VLQ FRV WDQ N N O N O N O N M E )G EM E G M ) ) N N O E WDQ ) N (, WDQ (, O N O N O E E O (, E WDQ (, O O (, N O N O WDQ O O , , N O N O OO ,, NO WDQ NO NO FU (, ) N FU O (, ) FU O (, O (, ) F FU F O (, ) )FU E E Z (, 0O M O (, 0O Z M M O (, 0 M E
M(x)=F(6-m)w2+k2m1=k,其中k2=E W=A sink,x+ B, cosk,x+8 w=Ak coskx-Bk, sin kx (2) 在x=0处m=2代入(1),得 =B1+ B1 2 在x=0处,m=,代入(2)得 9=4,A1=9 W1=kink *+(2-0)cosk x+o P.+n ol2-6)cos/=0 k1 即 1mk=(-2 因为 F(δ-02)=B tan K, 4, Bk1_1_所1B1 FkiEl K,It El 将B 代入得稳定方程为 4ank=2.4 当4=l2且2=101时,kl1tank1=10,由试算知k4=143满足此式,于是有: F 12=1.432即Fn 4812 此F比按图c算得的Fn大14%,原因在于求B时按大刚度杆考虑的。事实上,油缸未受 轴向压力,故这里算得的Fx比按图c算得者更符合实际。 4-2一根下端固定、上端自由的细长等直压杆如图a所示,为提高其承压能力而在长度中央增 设旁撑(图b),使其在该处不能橫移。试求加固后压杆的欧拉临界力计算公式,并计算如图加前 后临界力的比值。 解:对于上半段 M1(x)=F[6-W1(x) d-w, F 今 F 则 dr2+kwi=k2s 212
(, ) 0 [ ) G Z Zcc N Z N G N Z $ N [ % [N G VLQ FRV Z $ N N [ % N N [ c FRV VLQ O [ Z M G M % O G M O % [ Z c M M $N N $ M G G M M [N O N [ N Z FRV VLQ FRV VLQ ON O N O N G M M M M G WDQ O N N O EM M G O ) WDQ N O (, O N (, N ) N N ) N O E E E M EM O (, E WDQ O O , , N O N O O O , , NO WDQ NO ON FU O (, ) FU O (, ) )FU F )FU F E )FU F D E > @ 0 [ ) G Z [ (, ) Z N (, ) [ Z G G G G G G N Z N [ Z ) )
其解为w1= A, sin lx+B1 cos kx+ 从而 A, k cos hr-B, k sin kx (x) 对于下半段 一F M2(x)=F[6-W2]-FC(-x) F F dx- e d W2+=w2 El Fs FC, F d w2+kw.=k2s-Fck1+Fck2 d w+kw,=ks Fcl+rcx) dx 其解为V2=4imkx+B:c0skx+8-21+Ex F 从而 A,k cos h-B,ksin kr 边界条件的利用 0处 0=0+B+d、F Bs-o+FcL ②x=0处,w=0 0=A,k-0 Fc Fc. sin kx-(8 Fk (O-7)cos kx+8-1 Fo cos kx-(o+1)k sin kr F A, sin kl+ B, cos kl+8=--sin kl-(8-L)coskL+8 A1sink+ B, cos kl+δ=0 代入式(a)得 sin kI-(6-0)cos kI+8=0 A sin kI-B,k sin kl cos kl+(8--lk sin kl+ Fc (d) ⑥x=2处,w1=6 8=A sin 2k+B, cos 2 l+8 A, sin 2kI +B, cos 2kI=0
Z $ N[ FRVVLQ N[% G Z $ N N[ % N VLQFRV N[ c > @ 0 [ ) Z ) O [ G & G G O [ (, ) Z (, ) [ Z & G [ (, ) O (, ) (, ) Z (, ) [ Z & & G G G N [ ) ) N O ) ) N Z N [ Z & & G G G G G [ ) ) O ) ) N Z N [ Z & & G [ ) ) O ) ) Z $ N[ % N[ & & VLQ FRV G ) ) Z $ N N[ % N N[ & c FRV VLQ [ Z O ) ) O % ) ) % & & GG [ Z c )N ) $ ) ) $ N & & [ ) ) O ) ) O N[ ) ) N[ )N ) Z & & & & VLQ FRV GG ) ) O N N[ ) ) N[ ) ) Z & & & c FRV G VLQ [ O ZZ NO )N ) $ NO % NO & VLQ FRV VLQ G G N// G ) )& FRV D [ ZO $ VLQ NO % FRV NO G E D VLQ FRV NOO GG ) ) NO )N )& & F [ O c ZZ c NO ) ) $ NO % N NO & VLQ VLQ FRV ) ) O N NO ) )& & G VLQ G G [ ZO G $ VLQ NO FRV NO% G $ VLQ NO FRV NO% H ) [ Z [ Z [ )& Z G
联列(b)、(c)、(d)、(e)四式: A, sin kI+B, cos kI+8=0 8(1-cosk/)_Fc Sink_ kI)=0 A, k cos kl-Bk sin kl -Ok sin kl+C(cos kl+lk sin kI-1=0 A, sin 2k/+B, cos 2k=0 因δ,FC不应等于零,A1,B也不能全等于零,故上列方程组之系数构成的行列式应等于零: kl coskl sin kl-/cos kD) Fck Ik cos kI -sink -ksin kI 0 (cos kl+kl sin kl-1 sin 2kl cos 2kl 展开整理得稳定方程为: (2-3 cos kl)sin kI+kl cos 2kl=0 满足此方程的k即1所对应的F为F。 试算得:k=1.251=√1.565,即 F=1.565 (2.521)2 这就是加后压杆(按图c)的临界力计算公式。至于加前压杆(图a)的临界力则为 (2×2l 两种情况下临界力之比为 F6.31 事实上,缆索会有变形,拉住处多少有些横向位移,故实际上F=比2要小些 6.3ll 43图示杆系中AB为细长杆,其弯曲刚度EI为已知,BD为刚性杆,两杆在B点处刚性连接。 试求杆系在以平面内发生弹性失稳时的临界力 解:由整体平衡得 F, FAy FBg(8B=8 AB段任意横截面上弯矩 刚性杆 刚性杆 M(x)=-Fw+F8 代入挠曲线方程 Elw"=M(x) 即Eh=-Fw+FBx
E F G H ° ° ° ¯ ° ° ° ® VLQ FRV FRV VLQ VLQ FRV VLQ VLQ FRV FRV VLQ FRV $ NO % NO NO ON NO ) ) $ N NO % N NO N NO NO O NO ) N ) NO $ NO % NO & & G G G )& G $ % VLQ FRV FRV VLQ FRV VLQ VLQ VLQ FRV FRV VLQ FRV NO NO NO NO NO ) N NO N NO N NO NO O NO ) N NO NO NO & & FRV NO VLQ NO NO FRV NO ) )FU (, ) N NO FU O (, O (, O (, ) F D FU O (, O (, ) u FU D FU F ) ) FU F O (, ) $% (, %' % [\ )$[ ) )$\ )T % % TT & $% 0 [ )Z ) [ T % (,Zcc 0 [ (,Z )Z ) [ T% cc [ (, ) Z (, ) Z T % cc $ % & ' ) [ \ $ % & ) [ \ )& )$\ ) T%
令h2=F 上式变为 +kw=ke w=Asin kx +bcos kx +8.x 由边界条件: v(0)=0,得B=0 A(x=w=Ak cos kx +BB 因为A,B不能全为零,故A≠0 由bn=(21)= Ak cos2lk+b 所以c0s2k=0,2k=丌,k= 所以F=Fn2_2EI 44三根直径及长度均相同的圆截面杄,下端与刚性块固结,两侧的两杆(杆2)上端固定, 中间杆(杆1)上端自由,并在该自由端作用有压力F,如图a所示。各杆微弯后的侧视图如图b 所示 (1)试检查为求系统在面外(即垂直于三杆组成之平面)失稳时的临界力,根据图b所示的坐 标系及挠曲线形状列出的下列挠曲线微分方程,特别是其中的正负号是否正确? 2Ehw2=-F(d-w2),Eh1=F(-w1) 亦即 v2-k2w2=-k28,w"+k 式中,I为一杆横截面的惯性矩:k2F (2)上列两微分方程的解分别为 刚性块 w2=A,sh-x+B,ch-=x+8, w1=A, sin kx+B, cos kr+8 从而有 VA=A-ch +B wr=A. cos kx-B,k sin kx 为求杆系能在微弯形态下保持平衡的最小压力,亦即临界力F,将下列5个条件代入以上4 式,然后根据A1,B,A2,B2,不能均为零,亦即挠曲线存在的条件来求F。试分析这5个条件是 否正确? x=0,w2(0)=0;x=0,w2(0)=0;x=l,w2(D)=w( (3)试检验用以求F,亦即求kAo)=6 l,w2()=w();x=0,w( 的方程为(以行列式表示 215
(, ) N Z N Z N [ T % cc Z $ N[ % N[ [ T% FRVVLQ %Z % T [ Zc $N FRV N[ T $ % $ z % % T T O $N FRV ON T FRV NO NO O N FU O (, ) (,N ) D E E (,Z )FU Z cc G (,Z )FU Z cc G G Zcc N Z N G Zcc N Z N , (, ) N FU [ G Z $ N[ N[% G N [ % N Z $ FRVVLQ FK VK [ N N [ % N N Z $ VK FK c Z $ N N[ % N VLQFRV N[ c )FU G $ % $ % )FU [ Z [ Z c [ O Zc O Zc O [ O Z O Z O G Z [ )FU (, ) N FU ) Z Z R \ G [ )FU
k coskI 0 解:整个分析正确。 45一端固定、另一端自由的大柔度直杆,压力F以小偏心距e作用于自由端,如图所示。试 导出下列诸量的公式 (a)杆的最大挠度δ (b)杆的最大弯矩M (c)杆橫截面上的最大正应力。 解:(a)杆的任意x橫截面上的弯矩为 M(x=+FS +e-w(x) Elw"(x)=FlS+e-w(r) F F (+e) F 令k=E,则 w(x)=Asin hx+ B cos hr +(8+e) w(x)=Ak cos kx- Bk sin kx (1)x=0,=0 0=Ak-0 A=0 (2)x=0,w=0 0=0+B+(8+e),B=-(0+e) 故式(a)为: 8+e)cos hr+(0 +e)=(S+e(1-cos kr) (b) (3)x=1,w=6,代入式(b),则 于是 e(1 e El (b)杆的横截面上的最大弯矩M产生在固定端 F(d6+e-0)=F(e+b)=F(e )=F kl coskl F El (c)杆的横截面上的最大正应力 A wcosk =-FGA coS cos(-D VEI 46一端固定、另一端自由的大柔度直杆,在自由端受压力F和横向力F作用,如图所示。试 导出下列诸量的公式 216
VLQ FK VK FRV NO NO N NO N NO ) H D G E 0 PD[ F D [ 0 [ )>G H [Z @ (,Zcc [ )>G H [Z @ H (, ) Z [ (, ) Zcc [ G (, ) N Zcc [ N Z [ N G H Z [ $VLQ N[ % FRV G HN[ D Zc [ $N N[ %N VLQFRV N[ [ Zc $N $ [ Z % G H G H% D Z [ G H FRV G HN[ G FRV N[H E [ OZ G E G G FRV NOH @ FRV > FRV FRV O (, ) H NO H NO G E 0 PD[ PD[ 0 ) G H H) G FRV H NO H ) H FRV FRV O (, ) )H NO H ) F FRV PD[ PD[ : NO )H $ ) : 0 $ ) V FRV FRV O (, ) : H $ ) : NO H $ ) ) ) \ R G H ) Z [
(1)杆的最大挠度o (2)杆的最大弯矩Mn; (3)杆横截面上的最大正应力及相应的强度条件。 解:(a)M(x)=F(d6-w(x)+F1(-x) Eh"(x)=F(6-w(x)+F1(l-x) w(x)=k8-k w(x)+F(-x F 其中k El w"(x)+k2(x)=k2[ F1(-x) 通解为 w(x)=Asin Ar +B cos k +(8+ F Fx FF n w(x)=Ak cos kx- Bk sin kx-- (1)x=0处,w=0 F 0=Ak-0 F1 F (2)在x=0处,w=0 0=0+B+(6+),B= FL Fx fl sin Ax-(+d)cos h+(8 F FF (3)在x=处,w=,代入(a)式则 sin kI-(I+8)cos+(o FI FL 8 cost F k skl Fk tankI-FiL_E F1 tan kl el tan kl F 1) (b)在x=0处,M为Mn tan F Mn=F6+F1l=F·( D)+Fl=FIG EI El VEL 217
G 0 PD[ D 0 [ ) G Z [ ) O [ (,Zcc [ ) G Z [ ) O [ ) O [ ) N Zcc [ N G N Z [ (, ) N @ > ) ) O [ Z [ N Z [ N cc G VLQ FRV ) ) [ ) ) O Z [ $ N[ % N[ G ) ) Z [ $N N[ %N N[ c FRV VLQ [ Zc )N ) $ ) ) $N [ Z G G ) ) O % ) ) O % VLQ FRV ) ) / ) ) [ N[ ) ) / N[ )N ) Z [ GG [ ZO G D VLQ FRV ) ) O ) ) O NO ) ) O NO )N ) G GG NO ) ) O NO )N ) FRV NO FRVVLQ G WDQ WDQ O N NO ) ) ) ) O NO )N ) G WDQ WDQ O (, ) O (, ) ) ) O NO NO ) ) O E [ 0 0 PD[ ) O O (, ) O (, ) ) ) O 0 ) ) O ) PD[ WDQ G WDQ O (, ) O (, ) ) O [ 2 \ G ) )
F Fl tan 强度条件为:+-( )≤ 式中n为安全因数。 4-7直径d=200mm的实心圆截面杆,受力如图所示。已知F=4.5kN,木材的弹性模量 E=10GPa,试求杆的最大正应力。 3EⅠ F7 FN 2 Fl(1+ 6El πd 32 6√2×4.5×103×1.8×(1+ 兀×2004 6×10×10°× 10 ×4.5×103×4 ×200×10+7200×10 =7.324×10°+0.1013×100=7.425×10°=743MPa(压) 讨论:若不计wn影响,则 =2+2=7.29256×105+0.101286×105=7.394×10≈739MPa 丌d4d 若再不计轴力影响,则 =7.29MPa 误差=743-7.29 743×100%=1.9% 4-8矩形截面简支梁,受轴向压力和橫向力 共同作用,如图所示。已 F=40 kN, F=2 kN, b=40 mm, h=80 mm E=200GPa,试求梁的最大正应力。 1里
F WDQ PD[ O (, ) O (, ) Z ) O $ ) V d > @ V WDQ O (, Q) O (, Q) Z ) O $ ) Q G PP ) N1 ( *3D (, )O Z% 0 $ )O ) Z% ) ) 1 $ ) : 0 $ 1 V PD[ G ) G (, )O )O u u u u u u u u u u u u u u u u u u u 03D u u u Z% PD[ u u G ) G )O V 03D u | 03D V PD[ u G ) N1 ) N1 PPKE PP ( *3D $ P ) % q $ O ) ) ) ) ) ) ) E P P P P