附录I:截面的几何性质 N 4I- FAL EA T Glp
附录I：截面的几何性质 A FN = EA F L l N = P I T = GIP TL =
截面的静矩和形心 S=xdA xdA ydA 曰dA 邓nS A x 当截面由若干简单图形成 A x A∑4 i=L O ∑A =
一、截面的静矩和形心 = A y S xdA A y X y X dA O = A x S ydA A xdA x A = A ydA y A = A S x y = A S y x = S Ax y = S Ay x = 当截面由若干简单图形组成 = = n i y i i S A x 1 = = n i x i i S A y 1 x y
. =Ax y S,=Ay 1、截面图形的静矩是对某一坐标轴 定义的,固静矩与坐标轴有关 2、截面对形心轴的静矩为零 3、若截面对某轴的静矩为零,则该 轴必为形心轴
S Ax y = S Ay x = ❖2、截面对形心轴的静矩为零 ❖3、若截面对某轴的静矩为零，则该 轴必为形心轴 ❖1、 截面图形的静矩是对某一坐标轴 定义的，固静矩与坐标轴有关
例题 如图所示将截面任意分为两部分A1与A2,证明这两部 分面积对整个截面形心轴X的面积矩绝对值相等。 设:A1,A2对X轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2 S.=S.,+S xc xC2 A1 0 .,+ xcIxc2 xcl xc2 A 证毕
如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部 分面积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。 A1 A2 C c x 例题 I.1 设： A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2 Sxc = Sxc1 + Sxc2 0 = Sxc1 + Sxc2 Sxc1 = Sxc2 证毕
例题试确定图示梯形面积的形心位置,及其对 L.2 底边的静矩。 解:图形对底边的静矩Sx=A1y1+A22 y h hhh+-ah h 1x (a+2b) 6 x=0 形心位置 a h (a+2b) h at26 h (a+b) 3 a+b
试确定图示梯形面积的形心位置，及其对 底边的静矩。 例题 I.2 解：图形对底边的静矩 1 1 2 2 S A y A y x = + + = 2 3 1 3 2 2 1 h bh h ah (a b) h 2 6 2 = + 形心位置 a b h x y O C1x C2x x = 0 A S y x = ( ) (a b) h a b h + + = 2 2 6 2 a b h a b + + = • 2 3
二、极惯性矩,惯性矩.惯性积 P=Jpda 园dA =Jy da 1,=x2a Ⅰ=∫xlA xy
I x y dA 2 = I y x dA 2 = I xy = xydA y x y x ρ dA O 二、极惯性矩.惯性矩.惯性积 I P dA 2 =
性质 √1、惯性矩和惯性积是对一定粞而定义的, 而极惯矩,是对点定义的。 x1 x1 √2、惯性矩和极惯矩永远为正 惯性积可能为正、为负、为零。 √3、任何平面图形对于通过其形 心的对称輛和与此对称轴垂直的轴 的惯性积为零。 4、对于面积相等的截面,截面相对于坐标轴 全有的子n尽上烁肉+(x)=0 5、组念图到对茶一点始取惯性矩或对茶一轴的惯性矩、惯性积 x x 1=21=∑ ∑
性 质： ✓1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的， 而极惯矩，是对点定义的。 ✓2、惯性矩和极惯矩永远为正， 惯性积可能为正、为负、为零。 ✓3、任何平面图形对于通过其形 心的对称轴和与此对称轴垂直的轴 的惯性积为零。 o ( ) 2 1 x = −x 1 x y dA dA y y x = A xy I xydA xydA ( x y)dA A A = + − 2 2 = 0 ✓4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴 分布的越远，其惯性矩越大。 dA y x x dA y ✓5、组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 = = n i P Pi I I 1 = = n i y yi I I 1 = = n i x xi I I 1 = = n i xy xyi I I 1
贯性丰径:任意形状的裁面图形的面积为A,则图形对 y轴和Ⅹ轴的惯性半径分别定义为 x-1 A A X A 惯性半径的特征: y 1.惯性芊径是对某一坐标轴定义的。 2.惯性芊径的单位为m。 3.惯性芊径的数值恒取正值
惯性半径： dA x y O x y 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对 y轴和x轴的惯性半径分别定义为 A I i y y = A I i x x = 惯性半径的特征： 1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。 2.惯性半径的单位为m。 3.惯性半径的数值恒取正值
三、惯性矩,惯性积的平行移轴公式 ∫,ya4=(v+a)l4 +aa dA +2al,yed 2 I tb A x dA JA Ⅰ=1+abA xy CvC 在所有相互平行的坐标轴中 O x图形对形心轴的惯性矩为最 小,但图形对形心轴的惯性 积不一定是最小
I x I xc a A 2 = + I xy = I xcyc + abA 三、惯性矩.惯性积的平行移轴公式 C xc yc y O x b a dA c y c x = A I x y dA 2 ( ) = + A yC a dA 2 = A yc dA 2 + A 2a yc dA + A a dA 2 xc = I a A 2 = A c c y dA I A y y I yc b A 2 = + 在所有相互平行的坐标轴中， 图形对形心轴的惯性矩为最 小，但图形对形心轴的惯性 积不一定是最小
例题 试求图示三角形:门1)对X轴静矩;(2) Bm对ⅹ轴的惯性矩;(3)对x1轴的惯性矩。 bh hh bh b/2b/2 s=Ay 2(23)12 bh' y2d4=」 body h/2 A 12 bh' bh 21224 h/2 hbh hh bh =1+ I bh hl bh 2bh' bh 3∈ 6)36 4
例题 I.3 试求图示三角形：（1）对x轴静矩；（2） 对x轴的惯性矩；（3）对x1轴的惯性矩。 Sx = Ayc x b/2 b/2 h/2 h/2 O y x1 = − 2 2 3 bh h h 12 2 bh = y dy = A I x y dA 2 − = 2 2 2 h h y bdy 12 3 bh = 2 12 1 3 bh I x = 24 3 bh = 3 2 2 2 1 h bh I I x xc = + xc 2 3 2 2 h h bh I I x xc = + − 24 6 2 2 3 bh h bh I xc = − 36 3 bh I xc = 9 2 36 3 3 1 bh bh I x = + 4 3 bh =