平面图形的几何性质和弯曲强度 编者材料力学教研室周际平 平面图形几何性质 杆件的和截面是平面图形,它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关,必须很好掌 握。拉压中的面积A,扭转中的极惯性矩/都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们还 要学到静矩、惯性矩和惯性积
平面图形的几何性质和弯曲强度 编者 材料力学教研室 周际平 P I 一．平面图形几何性质 杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们还 要学到静矩、惯性矩和惯性积
(一)静矩(一次矩)和形心 1.定义:截面图形对y轴的静矩:S 截面图形对z轴的静矩:S:=,y4 截面图形形心坐标:y 2.静矩的性质 (1)截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的 静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为 长度的三次方 (2)截面图形对形心轴的静矩等于零
（2）截面图形对形心轴的静矩等于零。 （一）静矩（一次矩）和形心 = A y S zdA = A z S ydA A S z A S y y c z c = , = 1．定义：截面图形对y轴的静矩： 截面图形对z轴的静矩： 截面图形形心坐标： 2．静矩的性质： （1）截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。 静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为 长度的三次方
(3)组合截面对某一轴的静矩等于各部分对 该轴静矩的代数和。其形心坐标, ∑A ∑A ∑A ∑4 (二)惯性矩(二次矩)和惯性半径 1.定义: 截面图形对y轴的惯性矩:1,=2a4
（3）组合截面对某一轴的静矩等于各部分对 该轴静矩的代数和。其形心坐标， = = = n i i n i i ci c A A y y 1 1 = = = n i i n i i ci c A A z z 1 1 （二）惯性矩（二次矩）和惯性半径 1．定义： 截面图形对y轴的惯性矩： = A I y z dA 2
截面图形对z轴的惯性矩:12=yal 截面图形对y轴的惯性半径:= 截面图形对z轴的惯性半径: A 2.惯性矩的性质 (1)截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不 同的,但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。 (2)组合截面对某一轴的惯性矩等于各部 分对该轴的惯性矩之代数和
截面图形对y轴的惯性半径： A I i y y = 截面图形对z轴的惯性半径： A I i z z = 2．惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不 同的，但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部 分对该轴的惯性矩之代数和。 = A I z y dA 截面图形对 2 z轴的惯性矩：
3.惯性矩与极惯性矩的关系:2=+1=Jd4 4.几种常用图形的几何特性: 见教科书P340、表Ⅰ-1,其中长方形、圆、圆 环及工字形的公式应该记住 (三)惯性积 定义: 截面图形对y、z轴的惯性积′=Jyzl 2.性质: (1)Ⅰ的数值可正、可负、可为零。量 纲是长度的四次方
4．几种常用图形的几何特性： 见教科书P340、表I—1，其中长方形、圆、圆 环及工字形的公式应该记住。 （三）惯性积 1．定义： 截面图形对y、z轴的惯性积 = A yz I yzdA 2．性质： （1） 的数值可正、可负、可为零。量 纲是长度的四次方。 yz I = + = A I P I y Iz dA 2 3．惯性矩与极惯性矩的关系：
(2)若y,z轴中有一个是图形的对称轴。 =0 (四)平行移轴公式 设y=是通过形心的一对坐标轴,yz是与其平 的另一对坐标轴,则有: l,=lm+a4(a为y与y轴之间距离 =+b2A (b为z与轴之间距离) I=I+abA (a,b为形心在y,z坐标中的纵坐标和横坐标)
（2）若y，z轴中有一个是图形的对称轴。 则 I yz = 0 （四）平行移轴公式 设 是通过形心的一对坐标轴，y,z是与其平 行的另一对坐标轴，则有： c c y ,z I y I yc a A 2 = + (a为y与yc 轴之间距离） I z I zc b A 2 = + (b为z与zc 轴之间距离） I yz = I yczc + abA (a,b为形心在y,z坐标中的纵坐标和横坐标）
(五)转轴公式 1.设yz为任一对坐标轴,将其绕O点逆时针 旋转α角,得到新坐标轴,则有: +l 2 cos 2a-1 sn 2a cos 20+ sin 2a sin 2a+ cos 2a 注:待学完第八章后,可将此公式与任意斜截 面上的应力公式相比较,形式相同
（五）转轴公式 1．设y,z为任一对坐标轴，将其绕O点逆时针 旋转 角，得到新坐标轴，则有： y z y z yz y z y z z yz y z y z y I I I I I I I I I I I I I I I I + = + + − − + = − − + + = 1 1 1 1 cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 1 1 yz y z y z I I I I + − = 注：待学完第八章后，可将此公式与任意斜截 面上的应力公式相比较，形式相同
2.主惯性轴、主惯性矩 (1)主惯性轴:若圆形对一对坐标轴的惯性积 等于零,这一对坐标轴就称为主惯性轴 (2)主惯性矩:对主惯性轴的惯性矩。 注意:圆形对通过O点的所有轴的惯性矩中,两个 主惯性矩中的一个是最大值,另一个是最小值。 (3)形心主惯性轴:通过形心C的主惯性轴。 注意:对称轴一定是形心主惯性轴
2．主惯性轴、主惯性矩 （1）主惯性轴：若圆形对一对坐标轴的惯性积 等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。 （2）主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。 注意：圆形对通过O点的所有轴的惯性矩中，两个 主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。 （3）形心主惯性轴：通过形心C的主惯性轴。 注意：对称轴一定是形心主惯性轴
例1求图示截面对z轴的惯性矩 丌(2R)4mR 264 R TR- R 2) 816 a (3 C元 a 316(316
例1 求图示截面对z轴的惯性矩。 R (1) z R (2) z a a z (3) z a a (4) 64 8 (2 ) 2 1 4 4 R R I z = = 2 8 16 1 4 4 R R I z = = 2 4 2 4 3 1 12 2 a a a a I z = = + 4 4 4 3 16 1 3 16 a a a Iz = − = −
正方形对y和2轴的惯性矩 (5) 2均为。而y与z轴是形 心主惯性轴,L及L则是形 心主惯性矩。对所有的形 轴来说,y及中的 是最大值,另一个是最小值。 而L=L 所以正方形对任一形心轴的惯性 矩也等于,即1 12
a a (5) z z' y' 正方形对 和 轴的惯性矩 均为 。而 与 轴是形 心主惯性轴， 及 则是形 心主惯性矩。对所有的形 心轴来说， 及 中的一个 是最大值，另一个是最小值。 y' z' 12 4 a y' z' y' I z' I y' I z' I 而 ，所以正方形对任一形心轴的惯性 12 4 ' ' a I I y = z = 12 4 a 12 , 4 a I 矩也等于 即 z =