时滞切换系统稳定性分析:一种积分等式方法

D0I:10.13374/i.issnl001053x.2010.08.046 第32卷第8期 北京科技大学学报 Vo132 No 8 2010年8月 Journal ofUniversity of Science and Technobgy Bejjing Aug 2010 时带切换系统稳定性分析：一种积分等式方法 张志强”赵立英”刘贺平) 1)北京科技大学应用科学学院。北京1000832北京科技大学信息工程学院北京100083 摘要将一种研究时滞系统的积分等式方法推广到时变时滞切换系统情形，提出了一种分析时变时滞切换系统稳定性的 方法.该方法给出线性时滞切换系统稳定的充分条件和切换律的设计，并根据自由项选取规则，引入了自由权矩阵由其构 建了积分等式.此方法没有引入额外的保守性。可得到保守性更低的稳定性条件.数值算例结果说明了方法的有效性。 关键词时滞：切换系统：Lyapunov函数：稳定性 分类号TP273 Stability analysis of sw itched systemsw ith time delays an ntegral-equa lity ap proach ZHANG Zhiqiang ZHAO Liying LIU Heping 1)SchoolofApplied Sciencp Universit ofSience and Technopgy Beijing Beijng 100083 China 2)Schoolof hpmaton Engneerng University of Sc ience and Techrokgy Beijing Beijng 100083 Chna ABSTRACT An integraLequality approach for studyng tme delay sysms was exended p ivestgate s itched systems wit tie varyng delays A new app roach wh ich can analyze svitched systemsw ih time delays was proposed and his app roach gives sufficient cond itions and switching desgn of lnear switched systms wih tie delays According o he ues in the choice of free tems the fiee weghting matriceswere investgated p construct a integral equality Less conservative stability criteria ca be dined because no exta conservative is intoduced An example was given to show the validity of the presented method KEY WORDS s itched systems tie delay Lyapumnov imctons stab ility 切换系统是一类重要的混杂系统，是指由一组 性研究引起了许多学者的兴趣，并取得许多成 连续或离散动态子系统组成，并按某种切换规则在 果17y 各个子系统间切换的动力系统·，许多自然、社会 时滞系统稳定性判据的保守性不仅取决于 以及工程系统由于环境的变化而表现出不同的模 Lyapunov-K rasovski泛函的构造，也取决于Lya 态，所以切换系统在实践中十分重要并得到了广 punov-K rasovsk i泛函的解析技巧.文献[10]提 泛应用，如输电系统中变电站的切换2-，汽车工 出了一种积分不等式来解析泛函，该方法结合自 业、车辆控制.在工程实践方面，时滞现象普遍 由权矩阵和Moon不等式.文献[11]在[10]的 存在，如电力系统、机械传动系统和神经网络.由 基础上提出了积分等式的研究方法.由于在稳定 于时滞会导致系统不稳定和性能变坏，近年来人们 性条件的推导过程中，不引入任何模型转换和限 对时滞系统的稳定性进行了广泛的研究。并取得了 界方法，所以得到了具有更低保守性的稳定性条 一些有价值的成果5.时滞与切换作为影响系统 件.本文将这种方法推广至时滞切换系统，给出 稳定性的两种重要因素，二者相互耦合可能导致更 线性时滞切换系统稳定的充分条件和切换律的 复杂的动力学行为.近年来，时滞切换系统的稳定 设计方法， 收稿日期：2009-10-09 基金项目：国家自然科学基金资助项目(NQ5047603,北京科技大学治金工程研究院基础理论研究基金资助顿目(NQ00009504) 作者简介：张志强(1987一，男。顾士研究生赵立英(1965一，女，教授博士，Ema1Nngh0909@126cm

第 32卷 第 8期 2010年 8月 北 京 科 技 大 学 学 报 JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijing Vol.32 No.8 Aug.2010 时滞切换系统稳定性分析 :一种积分等式方法 张志强 1) 赵立英 1) 刘贺平 2) 1)北京科技大学应用科学学院, 北京 100083 2)北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 摘 要 将一种研究时滞系统的积分等式方法推广到时变时滞切换系统情形, 提出了一种分析时变时滞切换系统稳定性的 方法.该方法给出线性时滞切换系统稳定的充分条件和切换律的设计, 并根据自由项选取规则, 引入了自由权矩阵, 由其构 建了积分等式.此方法没有引入额外的保守性, 可得到保守性更低的稳定性条件.数值算例结果说明了方法的有效性. 关键词 时滞;切换系统;Lyapunov函数;稳定性 分类号 TP273 Stabilityanalysisofswitchedsystemswithtimedelays : anintegral-equalityap￾proach ZHANGZhi-qiang1) , ZHAOLi-ying1) , LIUHe-ping2) 1)SchoolofAppliedScience, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China 2)SchoolofInformationEngineering, UniversityofScienceandTechnologyBeijing, Beijing100083, China ABSTRACT Anintegral-equalityapproachforstudyingtime-delaysystemswasextendedtoinvestigateswitchedsystemswithtime￾varyingdelays.Anewapproachwhichcananalyzeswitchedsystemswithtimedelayswasproposed, andthisapproachgivessufficient conditionsandswitchingdesignoflinearswitchedsystemswithtimedelays.Accordingtotherulesinthechoiceoffreeterms, thefree weightingmatriceswereinvestigatedtoconstructaintegralequality.Lessconservativestabilitycriteriacanbeobtainedbecausenoextra conservativeisintroduced.Anexamplewasgiventoshowthevalidityofthepresentedmethod. KEYWORDS switchedsystems;timedelay;Lyapunovfunctions;stability 收稿日期:2009--10--09 基金项目:国家自然科学基金资助项目(No.50476083);北京科技大学冶金工程研究院基础理论研究基金资助项目(No.00009504) 作者简介:张志强(1987―), 男, 硕士研究生;赵立英(1965―), 女, 教授, 博士, E-mail:liyingzhao0909@126.com 切换系统是一类重要的混杂系统 , 是指由一组 连续或离散动态子系统组成 , 并按某种切换规则在 各个子系统间切换的动力系统 [ 1] .许多自然 、社会 以及工程系统由于环境的变化而表现出不同的模 态 , 所以切换系统在实践中十分重要, 并得到了广 泛应用, 如输电系统中变电站的切换 [ 2--3] , 汽车工 业 、车辆控制 [ 4] .在工程实践方面 , 时滞现象普遍 存在 , 如电力系统、机械传动系统和神经网络.由 于时滞会导致系统不稳定和性能变坏 , 近年来人们 对时滞系统的稳定性进行了广泛的研究, 并取得了 一些有价值的成果 [ 5--6] .时滞与切换作为影响系统 稳定性的两种重要因素, 二者相互耦合可能导致更 复杂的动力学行为.近年来, 时滞切换系统的稳定 性研究引起了许多学者的兴趣, 并取得许多成 果 [ 7--9] . 时滞系统稳定性判据的保守性不仅取决于 Lyapunov-Krasovskii泛函的构造 , 也取决于 Lya￾punov-Krasovskii泛函的解析技巧 .文献 [ 10 ] 提 出了一种积分不等式来解析泛函 , 该方法结合自 由权矩阵和 Moon不等式 .文献 [ 11] 在 [ 10] 的 基础上提出了积分等式的研究方法 .由于在稳定 性条件的推导过程中 , 不引入任何模型转换和限 界方法 , 所以得到了具有更低保守性的稳定性条 件 .本文将这种方法推广至时滞切换系统 , 给出 线性时滞切换系统稳定的充分条件和切换律的 设计方法 . DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2010.08.046

第8期 张志强等：时滞切换系统稳定性分析：一种积分等式方法 。1091。 1系统描述 Qn=S+Q+N+N-M A-AM+ 研究如下具有m个子系统的线性时滞切换系 会e(P-B 统： 2=-N+N-M B-AM x(9=A9+B:x(t-r(9) (1) 0=P+N+M-AMI X9=中(9∈[-d0] Q2=-(1-a)Q-N-N-M B-BiM 式中，E={12,m是分段常值函数，表示切 Q2=-N+M-BM 换信号：τ(d妫时间滞后量，且 Q3=dR+M +Mt. T(a (2) N=(NNN) 实数少0《9∈R为系统的状态：定常矩阵A∈ R为系统矩阵，定常矩阵B∈RX"为时滞矩阵； 证明： 情形1当e≥0时，对系统(1)选取切换策 中（为系统的初始状态.若τ(9=d则此系统为 常时滞切换系统. 略(4，VRA0,比较XPx(在TD值之间的 注1对于式(2，文献[12]定理1要求系统时 大小.不妨设其中最大的一个为P则Px一 滞的导数小于1而本文并不要求这一点，α小于1 E(P-P)多Q令 或α没有约束的情况本文都将会考虑到，这在一定 2={∈R/{0}|x(P-P)≥0H在T, 程度上减小了约束性，扩大了所得条件的应用范 则有 围. g0=R0, 引理1给定标量>0RNX函数f) 设 和1有 -f9R9d=2mN f【)d斗mTXw- a-n.灬0-n-in,…n-na-n, 显然 「X ds Q=R/(0 2稳定性分析 且 2nn,=财共j 本节讨论时滞切换系统的稳定性问题，利用多 此时当D;时，切换到第个子系统构造Lya 重Lyapunoy函数方法，设计使系统渐近稳定的切换 Puno函数 律，给出时滞切换系统的稳定性条件. M(X)=X(9P,X9十 x(与Sx()ds+ 定理1对给定的标量a>00系统(1) 在给定的切换策略。(9下渐近稳定，如果存在正 o [(3R9dw+】 X(习Q(号ds 定矩阵P、RQS和适当维数的矩阵N,M,且存 在同时非负或同时非正的实数E”使下列不等式组 (5) 对任意在={1,2…，m都成立.另外，当Q=0 式中，∈C([一d0,R”,X(匀=《什， 时系统(1对于τ（≤d不要求τ（的导数小于 [-do1. 1)在给定的切换策略下渐近稳定. 对其求导 n]<0 *一d (3) V(X)=2x(9Bx(9+x(9(S+Q)W9+ 其中，在T={↓2，m, 1(9R9-(0)R1电- min ag (max (Px)),0 (d (d)-(1-()( mm{ag(mn(Px)),e≤0 x(9)Qx(-r(9)十a+R (4) 式中， [2122n1 a=21"N n2n2, B=2”M(-AY9-BY+t(9)+X9) 定义

第 8期 张志强等:时滞切换系统稳定性分析:一种积分等式方法 1 系统描述 研究如下具有 m个子系统的线性时滞切换系 统 : x · (t)=Aix(t)+Bix(t-τ(t)) x(t)= (t), t∈ [ -d, 0] (1) 式中, i∈ T={1, 2, …, m}是分段常值函数, 表示切 换信号 ;τ(t)≤d为时间滞后量, 且 τ · (t)≤α (2) 实数 d>0;x(t)∈ R n为系统的状态;定常矩阵 Ai∈ R n×n为系统矩阵, 定常矩阵 Bi∈ R n×n为时滞矩阵 ; (t)为系统的初始状态.若 τ(t)=d, 则此系统为 常时滞切换系统 . 注 1对于式 (2), 文献 [ 12] 定理 1要求系统时 滞的导数小于 1, 而本文并不要求这一点, α小于 1 或 α没有约束的情况本文都将会考虑到, 这在一定 程度上减小了约束性, 扩大了所得条件的应用范 围 . 引理 1 [ 11] 给定标量 h>0, R、N、X、函数 f(x) 和 η有 - ∫ t t-h f T(s)Rf(s)ds=2η TN ∫ t t-h f(s)ds+hη TXη- ∫ t t-h (η Tf T(s)) X N N T R η f(s) ds. 2 稳定性分析 本节讨论时滞切换系统的稳定性问题, 利用多 重 Lyapunov函数方法 , 设计使系统渐近稳定的切换 律 , 给出时滞切换系统的稳定性条件. 定理 1 对给定的标量 α>0, d>0, 系统 (1) 在给定的切换策略 σ(x)下渐近稳定 , 如果存在正 定矩阵 Pi、R、Q、S和适当维数的矩阵 Ni、Mi, 且存 在同时非负或同时非正的实数 εij, 使下列不等式组 对任意 i∈ T={1, 2, … , m}都成立 .另外, 当 Q=0 时系统 (1)对于 τ(t)≤d(不要求 τ(t)的导数小于 1)在给定的切换策略下渐近稳定 . Ψ dN ＊ -dR <0 (3) 其中, j∈ T={1, 2, … , m}, σ(x)= min{arg(max(x TPix))}, εij≥0 min{arg(min(x TPix))}, εij≤0 (4) Ψ= Ψ11 Ψ12 Ψ13 ＊ Ψ22 Ψ23 ＊ ＊ Ψ33 , Ψ11 =S+Q+N1 +N T 1 -M1Ai -A T iM T 1 + ∑ m j=1 εij(Pi-Pj), Ψ12 =-N1 +N T 2 -M1 Bi-A T iM T 2 , Ψ13 =Pi +N T 3 +M1 -A T iM T 3 , Ψ22 =-(1 -α)Q-N2 -N T 2 -M2 Bi-B T iM T 2 , Ψ23 =-N T 3 +M2 -B T iM T 3 , Ψ33 =dR+M3 +M T 3 , N T =(N T 1 N T 2 N T 3 ). 证明 : 情形 1 当 εij≥0时, 对系统 (1)选取切换策 略(4), x∈ R n /{0}, 比较 x TPjx(j∈ T)值之间的 大小 .不妨设其中最大的一个为 x TPix,则 x TPix￾x TPjx=x T(Pi -Pj)x≥0.令 Ψi ={x∈ R n /{0}x T(Pi-Pj)x≥0, j∈ T}, 则有 ∪ m j=1Ψj=R n /{0}, 设 Ψ ～ 1 =Ψ1 , …, Ψ ～ i=Ψi-∪ i-1 j=1Ψ ～ j, … , Ψ ～ m =Ψm -∪ m-1 j=1 Ψ ～ j, 显然 ∪ m j=1Ψ ～ j=R n /{0}, 且 Ψ ～ i∩ Ψ ～ j= , i≠j. 此时当 x∈ Ψ ～ i时, 切换到第 i个子系统, 构造 Lya￾punov函数 Vi(xt)=x T(t)Pix(t)+ ∫ t t-d x T(s)Sx(s)ds+ ∫ 0 -d ∫ t t+θ x · T(s)Rx · (s)dsdθ+ ∫ t t-τ(t) x T(s)Qx(s)ds (5) 式中 , xt∈ C([ -d, 0] , R n), xt(s)=x(t+s), s∈ [ -d, 0] . 对其求导 V · i(xt)=2x T(t)Pix · (t)+x T(t)(S+Q)x(t)+ ∫ 0 -d [ x · T(t)Rx · (t)-x · T(t+θ)Rx · (t+θ)] dθ- x T(t-d)Sx(t-d)-(1 -τ · (t))x T(t- τ(t))Qx(t-τ(t))+α+β, 式中 , α=2η TN x(t)-x(t-τ(t))- ∫ t t-τ(t) x · (s)ds, β =2η TM(-Aix(t)-Bix(t-τ(t))+x · (t)). 定义 · 1091·

。1092* 北京科技大学学报 第32卷 nT=((9x(-x(9)x(9, [nu2221 N=(NNN) 0- *n2023, M=(MMM ) 关*03到 利用引理1 Q=S+QN+N-M A-AM V(x≤nTQ+dx)n-X(td山S-山- Q=PN+M-AMI 1xox8[s Qp、22、2、2和N定义同定理1 选定X=NF1,用Schur补引理a,知 3算例仿真 [X N [NR≥0又≥0从而证得结论 对于系统(1，考虑常时滞情形，并且=1,2 即系统在两个子系统之间进行切换，其中， 注2形如(5)的Lyapunov函数(=1)在文献 A 0. [14中得到了应用，但S=0的情形早已在文献 A--10 L0-2 [15中得到了应用. 情形2当e≤0时，易得结论. 当系统中的时滞是常时滞时，即τ(9=d由 根据推论2利用MATLAB嗽件中的IM工具 定理1可以得到如下结论. 箱，可以求得系统最大允许时滞为-08583，§文 推论1对给定的标量0系统(1)在给定 献[13]得到的最大允许时滞为-08583，s但是 的切换策略σ(9下渐近稳定，如果存在正定矩阵 本文给出的稳定条件具有更简洁的形式. P.RQS和适当维数的矩阵N,M,且存在同时 选取初始点X(0)=[5一8，利用MTALAB 非负或同时非正的实数ε#使下列不等式组对任意 仿真，在所设计的切换律下，给出了时滞时间为 走={12，m都成立， -05以及-0.8的状态响应曲线，如图1和 「ndN7 2所示. 米一R00系统(1) 4结论 在任意切换策略下渐近稳定，如果存在正定矩阵 PRQS和适当维数的矩阵N,M,使下列不等式 本文利用积分等式方法，讨论了一类时滞切换 组对任意在T={12m)都成立.另外，当Q= 系统的稳定性问题和切换律的设计问题.在对V函 0时系统(1对于τ(d不要求τ（的导数小于 数导数的处理过程中，根据自由项选取规则，引入 1)在给定的切换策略下渐近稳定， 了自由权矩阵，并由自由权矩阵构建积分等式，不 「nN] 引入任何模型转换和限界方法，得到了基于M的 米一d那≤0 保证系统稳定的时滞相关的充分条件.数值算例结 其中， 果说明了方法的有效性

北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 η T =(x T(t)x T(t-τ(t))x · T(t)), N T =(N T 1 N T 2 N T 3 ), M T =(M T 1 M T 2 M T 3 ). 利用引理 1, V · i(xt)≤η T(Ψ+dX)η-x T(t-d)Sx(t-d)- ∫ t t-d (η T x · T(s)) X N N T R η x · (s) ds, 选 定 X =NR -1 N T , 用 Schur补 引 理 [ 12] , 知 X N N T R ≥0, 又 S≥0, 从而证得结论. 注 2 形如 (5)的 Lyapunov函数 (i=1)在文献 [ 14] 中得到了应用, 但 S=0的情形早已在文献 [ 15]中得到了应用 . 情形 2 当 εij≤0时, 易得结论 . 当系统中的时滞是常时滞时, 即 τ(t)=d, 由 定理 1可以得到如下结论. 推论 1 对给定的标量 d>0, 系统 (1)在给定 的切换策略 σ(x)下渐近稳定, 如果存在正定矩阵 Pi、R、Q、S和适当维数的矩阵 Ni、Mi, 且存在同时 非负或同时非正的实数 εij, 使下列不等式组对任意 i∈ T={1, 2, … , m}都成立, Ψ dN ＊ -dR 0, d>0, 系统 (1) 在任意切换策略下渐近稳定 , 如果存在正定矩阵 P、R、Q、S和适当维数的矩阵 Ni、Mi, 使下列不等式 组对任意 i∈ T={1, 2, …, m}都成立 .另外 , 当 Q= 0时系统(1)对于 τ(t)≤d(不要求 τ(t)的导数小于 1)在给定的切换策略下渐近稳定 , Ψ dN ＊ -dR <0, 其中, Ψ= Ψ11 Ψ12 Ψ13 ＊ Ψ22 Ψ23 ＊ ＊ Ψ33 , Ψ11 =S+Q+N1 +N T 1 -M1 Ai-A T iM T 1 , Ψ13 =P+N T 3 +M1 -A T iM T 3 , Ψ12 、Ψ22 、Ψ23 、Ψ33和 N T定义同定理 1. 3 算例仿真 对于系统 (1), 考虑常时滞情形 , 并且 i=1, 2, 即系统在两个子系统之间进行切换, 其中 , A1 = -3 0 0 -1 , A2 = -1 0 0 -2 , B1 = -2 0 -1 -1 , B2 = 0 -2 0 -2 . 根据推论 2, 利用 MATLAB软件中的 LMI工具 箱, 可以求得系统最大允许时滞为 d=0.858 3s, 文 献[ 13] 得到的最大允许时滞为 d=0.858 3 s, 但是 本文给出的稳定条件具有更简洁的形式 . 选取初始点 x(0)=[ 5, -8] T , 利用 MTALAB 仿真 , 在所设计的切换律下, 给出了时滞时间为 d=0.5 s以及 d=0.8s的状态响应曲线 , 如图 1和 2所示 . 图 1 状态响应曲线(d=0.5s) Fig.1 Stateresponsecurves(d=0.5s) 4 结论 本文利用积分等式方法, 讨论了一类时滞切换 系统的稳定性问题和切换律的设计问题.在对 V函 数导数的处理过程中, 根据自由项选取规则, 引入 了自由权矩阵 , 并由自由权矩阵构建积分等式 , 不 引入任何模型转换和限界方法, 得到了基于 LMI的 保证系统稳定的时滞相关的充分条件.数值算例结 果说明了方法的有效性 . · 1092·

第8期 张志强等：时滞切换系统稳定性分析：一种积分等式方法 ·1093 I Shao HY Now deay dependentstabilit critera or systems wih interval de lay Aumma tica 2009 45 744 I7 Luo ZX ZhangX L De dependent smbilit of switched linear systems wih tme delay Control Theory APBl 2009 26(1):89 (罗正选张霄力.时滞切换系统的时福依赖稳定.控制理论 与应用，200926(1：89) 【8H知L V Ha Q P Phat VN Smbility and smbilization of switched Inear dynan ic sysmmswih tme deay and uncena inties APPIMa t Compyt 2009 210 223 I9 Km CanbellS A Liu X Z Dek independent stbilie of 6 8 10 s Inear switching systms with tie dehy J Math Anal Appl 2008339785 图2状态响应曲线(=089 10 Zharg XM WuM She JH et a]Deky dependent smabiliza Fg 2 State respanse curves d0 8 s) tion of lnear systm swih tme varying stare and nput delays Au mat20054h1405 参考文献 [11]LiXG Zhu X J Cao GY Stbility am Mysis of tmedely sy ms an nxgmlequality approac Contol Decis 2008 23 [刂Dea巾RA BrnickyM S Petersson Perpectives and e (4473 sults on the stabilit and stabilizability of hybrid systems Poc (李旭光，朱新坚，曹广益。时滞系统稳定性分析：一种积分 E正200088(7片1069 等式方法.控制与决策，200823(4)：473) [2 OdbaT FunahashiY On a omman quadratic Lyapurov finction 【12 Sun X M Zhao】HillD J Sbilit and,L-gan malysis pr orw idely distnt systems IFEE Trans Aucm Contol 2003 42 sw itched de lay systms a de lay.dependentmethad Auxmatic (12):1697 200642(10:1769 【3习Vu L.Lberan D Conmon Iyapunov functions pr fmilies of [13 BodS GhaouiLE FeonE etal Lnearmatrx mnequ lio n commu ting nonlinear systems Syst Contol Lest 2005 54(5): syskms and contol heory//SIAM Studies n Applied Ma themat 405 s PhiladelPh 1994 [4 BallichiA DiBnedetoMD PonelbC et al Hybrd cantrol in 【l4 Friman E Sh4 ed U Delay..dependent smbility and H以。n aunotive applications the cutoff control Aurmati 199g trol consunt and tme vanng dekys Int J Contol 2003 76 35519 (1248 5 MoneiA Agnda AG Switching contol pr tmedehy sysmms 15]HeY WangQG LnW etal De ky_range dependent stabilit /Poceedings of the2006 American Conto]Conference Mnneap pr systems w讳tme.varying卡恻Auratic200743(24 01is20065432 371

第 8期 张志强等:时滞切换系统稳定性分析:一种积分等式方法 图 2 状态响应曲线(d=0.8s) Fig.2 Stateresponsecurves(d=0.8s) 参 考 文 献 [ 1] DecarloRA, BranickyM S, PetterssonS.Perspectivesandre￾sultsonthestabilityandstabilizabilityofhybridsystems.Proc IEEE, 2000, 88(7):1069 [ 2] OobaT, FunahashiY.OnacommonquadraticLyapunovfunction forwidelydistantsystems.IEEETransAutomControl, 2003, 42 (12):1697 [ 3] VuL, LiberzonD.CommonLyapunovfunctionsforfamiliesof commutingnonlinearsystems.SystControlLett, 2005, 54(5): 405 [ 4] BalluchiA, DiBnedettoMD, PonelloC, etal.Hybridcontrolin automotiveapplications:thecut-offcontrol.Automatica, 1999, 35:519 [ 5] MomeniA, AgndamAG.Switchingcontrolfortime-delaysystems ∥Proceedingsofthe2006 AmericanControlConference.Minneap￾olis, 2006:5432 [ 6] ShaoHY.Newdelay-dependentstabilitycriteriaforsystemswith intervaldelay.Automatica, 2009, 45:744 [ 7] LuoZX, ZhangXL.Delay-dependentstabilityofswitchedlinear systemswithtimedelay.ControlTheoryAppl, 2009, 26(1):89 (罗正选, 张霄力.时滞切换系统的时滞依赖稳定.控制理论 与应用, 2009, 26(1):89) [ 8] HienLV, HaQP, PhatVN.Stabilityandstabilizationof switchedlineardynamicsystemswithtimedelayanduncertainties. ApplMathComput, 2009, 210:223 [ 9] KimS, CampbellSA, LiuXZ.Delayindependentstabilityof linearswitchingsystemswithtimedelay.JMathAnalAppl, 2008, 339:785 [ 10] ZhangXM, WuM, SheJH, etal.Delay-dependentstabiliza￾tionoflinearsystemswithtime-varyingstateandinputdelays.Au￾tomatica, 2005, 41:1405 [ 11] LiXG, ZhuXJ, CaoGY.Stabilityanalysisoftime-delaysys￾tems:anintegral-equalityapproach.ControlDecis, 2008, 23 (4):473 (李旭光, 朱新坚, 曹广益.时滞系统稳定性分析:一种积分 等式方法.控制与决策, 2008, 23(4):473) [ 12] SunXM, ZhaoJ, HillDJ.StabilityandL2 -gainanalysisfor switcheddelaysystems:adelay-dependentmethod.Automatica, 2006, 42(10):1769 [ 13] BoydS, GhaouiLE, FeronE, etal.Linearmatrixinequalityin systemsandcontroltheory∥SIAMStudiesinAppliedMathemat￾ics.Philadelphia, 1994 [ 14] FridmanE, ShakedU.Delay-dependentstabilityandH∞ con￾trol:constantandtime-varyingdelays.IntJControl, 2003, 76 (1):48 [ 15] HeY, WangQG, LinW, etal.Delay-range-dependentstability forsystemswithtime-varyingdelay.Automatica, 2007, 43(2): 371 · 1093·