基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形

工程科学学报，第38卷，第10期：1458-1466,2016年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.10:1458-1466,October 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.10.015;http://journals..ustb.edu.cn 基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 罗 彪2)，李威四，于静 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)南华大学机械工程学院，衡阳421001 ☒通信作者，E-mail:liwei@me.usib.edu.cn 摘要在时变啮合刚度和Blk闪温理论的基础之上，系统地分析齿廓修形参数对齿间载荷分配、传动误差和齿面闪温的 影响，并确定在单目标条件下齿廓修形的最佳修形参数.基于模糊综合决策理论，确定了综合考虑多目标条件下齿廓修形最 佳修形参数.引入多目标条件下修形量的修正系数X。,确定修正系数X的值，并给出多目标条件下修形量的计算公式.综合 最佳修形参数的最大修形量，取单双齿啮合区交替点B和D的变形量乘以修正系数X。,修形指数取1.43，修形方式为长 修形。 关键词直齿圆柱齿轮；齿廓：传动误差；修形：最佳化；模糊集理论 分类号TH132.4 Tooth profile modification of the spur gear based on fuzzy comprehensive decision LUO Biao2,LI Wei,YU Jing" 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Mechanical Engineering,University of South China,Hengyang 421001,China Corresponding author,E-mail:liwei@me.ustb.edu.cn ABSTRACT Based on the timevarying mesh stiffness and the Blok flash temperature theory,the influence of tooth profile modifica- tion parameters on the load sharing ratio,transmission error and tooth surface flash temperature were systematically analyzed in this pa- per.The optimum tooth profile modification parameters were identified under the single-objective condition.On the other side,based on the fuzzy comprehensive decision theory,the optimum tooth profile modification parameters were identified under the multi-objective condition.The correction factor X was proposed,and its value was also given.Then a formula was introduced for calculating the mod- ification amount.By the comprehensive optimum parameters of tooth profile modification,the maximum amount of tooth profile modifi- cation is the X.times of the deformation of the alternating points B or D of the single and double tooth meshing regions under the condi- tion that the modification index is 1.43 and the modification form is long modification. KEY WORDS spur gears:tooth profiles:transmission errors:modification:optimization:fuzzy set theory 在齿轮的啮合过程中即使外部载荷恒定不变，在 究了齿廓修形对行星齿轮传动中动载荷的影响：蒋进 轮齿内部的实际载荷也会发生变化与波动.齿廓修形 科等圆对人字齿的修形进行了优化，保证了齿面载荷 是解决“顶刃”现象及齿间载荷突变，从而改善误差波 的整体均匀；Pedrero等m研究了修形状态下轮齿的载 动的有效方法：同时齿廓修形对于降低齿面的最高闪 荷及应力分布：陈思雨等国研究了修形对齿轮系统动 温，最终改善齿轮传动过程中的热行为，提高齿轮的胶 力学性能的影响：薛建华和李威网给出了齿轮温度场 合承载能力m也有很大的帮助.Bonori等回、Barbieri 的预测方法；Wang和Cheng研究了直齿轮的动载荷 等同和Fuentes等优化了轮齿齿廓：Chapron等研 及齿面温度；Anifantis和Dimarogonas研究了齿轮的 收稿日期：2015-12-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275035)

工程科学学报，第 38 卷，第 10 期: 1458--1466，2016 年 10 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 10: 1458--1466，October 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 10． 015; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 罗 彪1，2) ，李 威1) ，于 静1) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 南华大学机械工程学院，衡阳 421001  通信作者，E-mail: liwei@ me． ustb． edu． cn 摘 要 在时变啮合刚度和 Blok 闪温理论的基础之上，系统地分析齿廓修形参数对齿间载荷分配、传动误差和齿面闪温的 影响，并确定在单目标条件下齿廓修形的最佳修形参数． 基于模糊综合决策理论，确定了综合考虑多目标条件下齿廓修形最 佳修形参数． 引入多目标条件下修形量的修正系数 Xc，确定修正系数 Xc的值，并给出多目标条件下修形量的计算公式． 综合 最佳修形参数的最大修形量，取单双齿啮合区交替点 B 和 D 的变形量乘以修正系数 Xc，修形指数取 1. 43，修形方式为长 修形． 关键词 直齿圆柱齿轮; 齿廓; 传动误差; 修形; 最佳化; 模糊集理论 分类号 TH132. 4 Tooth profile modification of the spur gear based on fuzzy comprehensive decision LUO Biao1，2) ，LI Wei1)  ，YU Jing1) 1) School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Mechanical Engineering，University of South China，Hengyang 421001，China  Corresponding author，E-mail: liwei@ me． ustb． edu． cn ABSTＲACT Based on the time-varying mesh stiffness and the Blok flash temperature theory，the influence of tooth profile modifica￾tion parameters on the load sharing ratio，transmission error and tooth surface flash temperature were systematically analyzed in this pa￾per． The optimum tooth profile modification parameters were identified under the single-objective condition． On the other side，based on the fuzzy comprehensive decision theory，the optimum tooth profile modification parameters were identified under the multi-objective condition． The correction factor Xc was proposed，and its value was also given． Then a formula was introduced for calculating the mod￾ification amount． By the comprehensive optimum parameters of tooth profile modification，the maximum amount of tooth profile modifi￾cation is the Xc times of the deformation of the alternating points B or D of the single and double tooth meshing regions under the condi￾tion that the modification index is 1. 43 and the modification form is long modification． KEY WOＲDS spur gears; tooth profiles; transmission errors; modification; optimization; fuzzy set theory 收稿日期: 2015--12--22 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51275035) 在齿轮的啮合过程中即使外部载荷恒定不变，在 轮齿内部的实际载荷也会发生变化与波动． 齿廓修形 是解决“顶刃”现象及齿间载荷突变，从而改善误差波 动的有效方法; 同时齿廓修形对于降低齿面的最高闪 温，最终改善齿轮传动过程中的热行为，提高齿轮的胶 合承载能力［1］也有很大的帮助． Bonori 等［2］、Barbieri 等［3］和 Fuentes 等［4］优化了轮齿齿廓; Chapron 等［5］研 究了齿廓修形对行星齿轮传动中动载荷的影响; 蒋进 科等［6］对人字齿的修形进行了优化，保证了齿面载荷 的整体均匀; Pedrero 等［7］研究了修形状态下轮齿的载 荷及应力分布; 陈思雨等［8］研究了修形对齿轮系统动 力学性能的影响; 薛建华和李威［9］给出了齿轮温度场 的预测方法; Wang 和 Cheng［10］研究了直齿轮的动载荷 及齿面温度; Anifantis 和 Dimarogonas［11］研究了齿轮的

罗彪等：基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 ·1459· 本体温度与齿面闪温：杨龙等☒研究了齿廓修形对轮 2.1齿间载荷分配系数及传动误差 齿本体温度的影响：于东洋等围研究了变位及修形对 在单齿啮合区只有一对齿承受载荷，不存在载荷 齿面接触温度的影响：薛建华和李威研究了修形对 的分配问题：在双齿啮合区，齿间载荷的分配可以等效 载荷和传动误差的影响.本文以时变啮合刚度的为 为刚度不同的两个并联弹簧共同受载时的载荷分布， 基础，分析了修形对齿间载荷分布及传动误差，以及齿 如图2所示，其载荷分配系数可由下式确定： 面闪温的影响：分别确定了在长修形方式下仅考虑修 (a) (b) 02 形对齿间载荷、传动误差、齿面闪温等单目标时的最佳 修形参数；并通过模糊综合决策确定了多目标条件下 .kh 的最佳修行参数.同时为了得到更加普适的结果，引 入了多目标条件下修形量的修正系数X。,给出了多目 标条件下修形量的计算公式 0 1齿廓修形机理及修形方式 图2双齿啮合区齿间载荷分配模型.(a)未修形齿副：(b)齿廓 本文采用主动轮和从动轮齿顶同时进行修形的方 修形齿副 式，修形量沿啮合线的分布如图1所示，其修形量由下 Fig.2 Load distribution model:(a)gear pair without modification: 式确定： (b)gear pair with modification △=△mm(x/L)A. (1) 式中：△m为最大修形量，由式A=8±A确定，其中 δ为单双齿交替处B和D点的变形量，△为基节误差 (2) 的大小，正负号根据基节误差的方向确定：x为啮合线 10 上双齿啮合区内任一点K到单齿啮合区的下界点B 下式为单、双齿啮合的判断准则： 或上界点D的距离：L为啮合线上双齿啮合区的长度： |4,-△2l≤min(w/k,o/k） (3) B.为修形指数 式中：：和2分别为啮合齿轮对1和2的载荷分配系 若为短修形，则取修形段的长度为啮合线上双齿 数：k,和k,分别为啮合齿轮对1和2的啮合刚度，其具 略合区长度的一半，即L=派此时：为咕合线上 体计算方法详见文献几5]：△，和△，分别为啮合齿轮对 双齿啮合区修形段内任一点K到双齿啮合区中点B, 1和2的修形量：0为齿轮传递的单位线载荷 或D,点的距离 在不考虑基节误差的情况下，对于未修形的齿轮 对，其载荷分配情况只要将式(2)中的△，和△，设为零 实际啮合区 即可得到.但在实际情况下，基节误差是不可避免的， 基节齿距 双齿啦会区 在存在基节误差的情况下齿间的载荷分布情况，可将 双齿嘴合区单齿鳞合区 基节误差△.看作最大修形量△的一部分，从而可以 B 出 得到齿间的载荷分布情况. 啮入 齿轮传动误差主要包括齿轮的基节误差、修形量、 动轮齿顶修形曲线 在啮合过程中的变形量等，从减振降噪的角度主要考 '从动轮齿项修形曲线 虑误差的波动，误差大小由下式确定： TE= 图1修形量沿啮合线的分布 (o+k4:+k242)/k+2),41-42l≤mim(/k,w/k2): Fig.1 Amount of modification distribution along the meshing line 41+/k, 42-41>1/k1; 42+/k2, 41-42>c/k2 2齿廓修形对齿间载荷分布系数及传动误 (4) 差的影响 在未修形状态下，齿间载荷分配及传动误差沿啮 对于重合度在1~2之间的常用齿轮，在啮合过程 合线的分布如图3所示，图中水平坐标轴符号T表示 中将出现单、双齿交替承载的情况，如图1所示，在未 啮合线的归一化坐标，其与齿轮啮合点压力角之间的 修形的情况下B和D点处出现载荷的突变，因而引起 关系及具体计算方法见参考文献6].本文研究对象 冲击. 的基本参数如表1所示

罗 彪等: 基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 本体温度与齿面闪温; 杨龙等［12］研究了齿廓修形对轮 齿本体温度的影响; 于东洋等［13］研究了变位及修形对 齿面接触温度的影响; 薛建华和李威［14］研究了修形对 载荷和传动误差的影响． 本文以时变啮合刚度［15］为 基础，分析了修形对齿间载荷分布及传动误差，以及齿 面闪温的影响; 分别确定了在长修形方式下仅考虑修 形对齿间载荷、传动误差、齿面闪温等单目标时的最佳 修形参数; 并通过模糊综合决策确定了多目标条件下 的最佳修行参数． 同时为了得到更加普适的结果，引 入了多目标条件下修形量的修正系数 Xc，给出了多目 标条件下修形量的计算公式． 1 齿廓修形机理及修形方式 本文采用主动轮和从动轮齿顶同时进行修形的方 式，修形量沿啮合线的分布如图 1 所示，其修形量由下 式确定: Δ = Δmax ( x / L) βc ． ( 1) 式中: Δmax为最大修形量，由式 Δmax = δ ± Δfb确定，其中 δ 为单双齿交替处 B 和 D 点的变形量，Δfb为基节误差 的大小，正负号根据基节误差的方向确定; x 为啮合线 上双齿啮合区内任一点 K 到单齿啮合区的下界点 B 或上界点 D 的距离; L 为啮合线上双齿啮合区的长度; βc为修形指数． 若为短修形，则取修形段的长度为啮合线上双齿 啮合区长度的一半，即 L = 1 2 AB． 此时 x 为啮合线上 双齿啮合区修形段内任一点 K 到双齿啮合区中点 B1 或 D1点的距离． 图 1 修形量沿啮合线的分布 Fig． 1 Amount of modification distribution along the meshing line 2 齿廓修形对齿间载荷分布系数及传动误 差的影响 对于重合度在 1 ～ 2 之间的常用齿轮，在啮合过程 中将出现单、双齿交替承载的情况，如图 1 所示，在未 修形的情况下 B 和 D 点处出现载荷的突变，因而引起 冲击． 2. 1 齿间载荷分配系数及传动误差 在单齿啮合区只有一对齿承受载荷，不存在载荷 的分配问题; 在双齿啮合区，齿间载荷的分配可以等效 为刚度不同的两个并联弹簧共同受载时的载荷分布， 如图 2 所示，其载荷分配系数可由下式确定: 图 2 双齿啮合区齿间载荷分配模型． ( a) 未修形齿副; ( b) 齿廓 修形齿副 Fig． 2 Load distribution model: ( a) gear pair without modification; ( b) gear pair with modification ζ1 = k1 k1 + k [ 2 1 + k2 ( Δ2 － Δ1 ) ] w ， ζ2 = k2 k1 + k [ 2 1 + k1 ( Δ1 － Δ2 ) ] w { ． ( 2) 下式为单、双齿啮合的判断准则: | Δ1 － Δ2 | ≤min ( w / k1，w / k1 ) ． ( 3) 式中: ζ1和 ζ2分别为啮合齿轮对 1 和 2 的载荷分配系 数; k1和 k2分别为啮合齿轮对 1 和 2 的啮合刚度，其具 体计算方法详见文献［15］; Δ1和 Δ2分别为啮合齿轮对 1 和 2 的修形量; w 为齿轮传递的单位线载荷． 在不考虑基节误差的情况下，对于未修形的齿轮 对，其载荷分配情况只要将式( 2) 中的 Δ1和 Δ2设为零 即可得到． 但在实际情况下，基节误差是不可避免的， 在存在基节误差的情况下齿间的载荷分布情况，可将 基节误差 Δfb看作最大修形量 Δmax的一部分，从而可以 得到齿间的载荷分布情况． 齿轮传动误差主要包括齿轮的基节误差、修形量、 在啮合过程中的变形量等，从减振降噪的角度主要考 虑误差的波动，误差大小由下式确定: TE = ( w + k1Δ1 + k2Δ2 ) /( k1 + k2 ) ， |Δ1 － Δ2 |≤min ( w/k1，w/k2 ) ; Δ1 + w/k1， Δ2 － Δ1 ＞ w/k1 ; Δ2 + w/k2， Δ1 － Δ2 ＞ w/k2 { ． ( 4) 在未修形状态下，齿间载荷分配及传动误差沿啮 合线的分布如图 3 所示，图中水平坐标轴符号 Γ 表示 啮合线的归一化坐标，其与齿轮啮合点压力角之间的 关系及具体计算方法见参考文献［16］． 本文研究对象 的基本参数如表 1 所示． · 9541 ·

·1460· 工程科学学报，第38卷，第10期 表1研究对象基本参数表 Table 1 Basic parameter list of the study object 齿轮几何参数 载荷参数 齿数，2 模数，m/mm 压力角，a1() 齿宽，b/mm 变位系数，x1/x2 功率，P/kW 主动轮转速，n1/(r'min) 27135 3 20 25 010 80 2000 材料参数 弹性模量，E/MPa 泊松比， 密度，p/(kg'm3) 比热容，c/(Jkg1K1)导热率，A/(Wm.Kl) 2.06×105 0.3 7850 465 46 1.0 30的 一基于时变啮合刚度截荷 28 -·IS0载荷 0.8 26 26.4 -26.6 0.6 3 22 0.4 稀 一基于时变啮合刚度截荷 18 0.2 --·1S0载荷 16F 0 -0.4-0.200.20.4 g -0.4-020020.4 图3齿间载荷分配系数及传动误差沿啮合线的分布.()齿间载荷分配系数：()传动误差 Fig.3 Distribution of load-sharing ratio and transmission error along the meshing line:(a)load sharing-ratio:(b)transmission error 从图3中可以看出：在单、双齿啮合的交替点B、D 传动误差来讲三个修形参数对其影响均很大.由图5 处存在载荷突变，由0.64突变到1，突变率36%：同时 可以看出在长修形方式下，最大修形量取B、D点的变 传动误差在B、D点也存在突变，且在D点处取误差的 形量，修形指数取1.43，在整个啮合过程中误差保持 最大值26.6um,在双齿啮合区的中间部位取最小值 在B、D点的变形量基本不变 16.2um,误差波动率39.1%.从数值上看B、D的差 综合以上分析，以齿间载荷分配系数或传动误差 距很小，根据修形机理，修形函数中最大修形量△取 为单目标的齿廓修形，其修形方式以长修形为最佳，最 B、D点处的变形量，在不考虑基节误差的情况下，该值 大修形量△的最佳值可取B、D点的变形量，修形指 即为B、D点处的传动误差.本文主、从动轮的最大修 数取1.43.可将以上参数称为以齿间载荷分配系数或 形量均取26.5um 传动误差为单目标的齿廓修形最佳参数 22修形参数对齿间载荷分配系数及传动误差的影响 根据以上分析，仅以载荷分布或传动误差为单目 3齿廓修形对齿面闪温的影响 标的情况下，齿廓修形的最大修形量△取26.5m. 齿面闪温是影响齿轮胶合承载能力的主要因素. 下面将研究在不同修形参数情况下齿间载荷分配和传 闪温是由啮合面间的相对滑动产生摩擦热，从而在齿 动误差的情况.具体如图4和图5所示. 面产生局部瞬时高温. 从以上各图可以看出不同的修形参数对齿间载荷 3.1修形对齿面闪温的影响 分配及传动误差均有影响，只是在影响效果上存在差 0a=0.785×- fwrlva-vel (5) 别.对于齿间的载荷分配来讲，最大修形量△决定 Vny4+√y,a√ 双齿啮合区载荷分配系数（能否由0连续变化到1而 式中：w为端面内单位齿宽上的法向载荷；v和v2分 不产生载荷突变，影响其连续性；修形方式和修形指数 别为啮合点处齿轮1、2的切向速度：∫为摩擦系数：入、 则影响双齿啮合区载荷分配系数（变化的非线性程 y和c分别为齿轮材料的导热率、比重和比热容，下标 度.当△大于某个临界值时，在双啮合区的载荷分 1、2分别表示齿轮1、2：b,为啮合点处的接触半带宽， 配系数仍将由0逐渐增加到1.但是由于修形量过大， (1-V1 1- 出现双齿啮合区推迟进入，提前退出的现象：即双齿啮 由式b,= 4E E2 合区减小，单齿啮合区增大的现象 误差的波动是减振降噪的关键，因此齿廓修形的 π(+ 计算得出：v和E分 P P2 首要目的是保证误差在啮合过程中的变化平稳.对于 别为齿轮材料的泊松比及弹性模量；·为啮合点的曲

工程科学学报，第 38 卷，第 10 期 表 1 研究对象基本参数表 Table 1 Basic parameter list of the study object 齿轮几何参数 载荷参数 齿数，z1 / z2 模数，m/mm 压力角，α/( °) 齿宽，b /mm 变位系数，x1 /x2 功率，P/ kW 主动轮转速，n1 /( r·min － 1 ) 27 /35 3 20 25 0 /0 80 2000 材料参数 弹性模量，E/MPa 泊松比，v 密度，ρ /( kg·m － 3 ) 比热容，c/( J·kg － 1·K － 1 ) 导热率，λ/( W·m － 1·K － 1 ) 2. 06 × 105 0. 3 7850 465 46 图 3 齿间载荷分配系数及传动误差沿啮合线的分布． ( a) 齿间载荷分配系数; ( b) 传动误差 Fig． 3 Distribution of load-sharing ratio and transmission error along the meshing line: ( a) load sharing-ratio; ( b) transmission error 从图 3 中可以看出: 在单、双齿啮合的交替点 B、D 处存在载荷突变，由 0. 64 突变到 1，突变率 36% ; 同时 传动误差在 B、D 点也存在突变，且在 D 点处取误差的 最大值 26. 6 μm，在双齿啮合区的中间部位取最小值 16. 2 μm，误差波动率 39. 1% ． 从数值上看 B、D 的差 距很小，根据修形机理，修形函数中最大修形量 Δmax取 B、D 点处的变形量，在不考虑基节误差的情况下，该值 即为 B、D 点处的传动误差． 本文主、从动轮的最大修 形量均取 26. 5 μm． 2. 2 修形参数对齿间载荷分配系数及传动误差的影响 根据以上分析，仅以载荷分布或传动误差为单目 标的情况下，齿廓修形的最大修形量 Δmax取 26. 5 μm． 下面将研究在不同修形参数情况下齿间载荷分配和传 动误差的情况． 具体如图 4 和图 5 所示． 从以上各图可以看出不同的修形参数对齿间载荷 分配及传动误差均有影响，只是在影响效果上存在差 别． 对于齿间的载荷分配来讲，最大修形量 Δmax 决定 双齿啮合区载荷分配系数 ζ 能否由 0 连续变化到 1 而 不产生载荷突变，影响其连续性; 修形方式和修形指数 则影响双齿啮合区载荷分配系数 ζ 变化的非线性程 度． 当 Δmax大于某个临界值时，在双啮合区的载荷分 配系数仍将由 0 逐渐增加到 1． 但是由于修形量过大， 出现双齿啮合区推迟进入，提前退出的现象; 即双齿啮 合区减小，单齿啮合区增大的现象． 误差的波动是减振降噪的关键，因此齿廓修形的 首要目的是保证误差在啮合过程中的变化平稳． 对于 传动误差来讲三个修形参数对其影响均很大． 由图 5 可以看出在长修形方式下，最大修形量取 B、D 点的变 形量，修形指数取 1. 43，在整个啮合过程中误差保持 在 B、D 点的变形量基本不变． 综合以上分析，以齿间载荷分配系数或传动误差 为单目标的齿廓修形，其修形方式以长修形为最佳，最 大修形量 Δmax的最佳值可取 B、D 点的变形量，修形指 数取 1. 43． 可将以上参数称为以齿间载荷分配系数或 传动误差为单目标的齿廓修形最佳参数． 3 齿廓修形对齿面闪温的影响 齿面闪温是影响齿轮胶合承载能力的主要因素． 闪温是由啮合面间的相对滑动产生摩擦热，从而在齿 面产生局部瞬时高温． 3. 1 修形对齿面闪温的影响 θfla = 0. 785 × fwb |vρ1 － vρ2 | ( λ1γ1 c1 v 槡 ρ1 + λ2γ2 c2 v 槡 ρ2 ) 槡b1 ． ( 5) 式中: wb为端面内单位齿宽上的法向载荷; vρ1 和 vρ2 分 别为啮合点处齿轮 1、2 的切向速度; f 为摩擦系数; λ、 γ 和 c 分别为齿轮材料的导热率、比重和比热容，下标 1、2 分别表示齿轮 1、2; b1 为啮合点处的接触半带宽， 由式 b1 = 4wb ( 1 － ν 2 1 E1 + 1 － ν 2 2 E ) 2 π ( 1 ρ1 + 1 ρ 槡 ) 2 计算得出; v 和 E 分 别为齿轮材料的泊松比及弹性模量; ρ 为啮合点的曲 · 0641 ·

罗彪等：基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 ·1461· 10 1.0 (a) b 0.8 0.8 0.6 未修形 0.6 =10 B=0.7 -4=15 0.4 B-1.0 0.4 B=1.22 .35 6=1.43 0.2 440 5 -0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.4 0.2 1.0 0.8 07 0.6 一长修形 0.5 短0-0.1 0.4 短0-1.0 0.3 短0.-1.22 0.2 知3=143 0.1 短=2 0 -0.4 -02 00.20.4 图4修形参数对齿间载荷分配系数的影响.()修形指数对载荷分配的影响：(b)修形量对载荷分配的影响：(c)修形方式对载荷分配的 影响 Fig.4 Influence of tooth profile modification on the load-sharing ratio:(a)influence of the modification index on the load-sharing ratio:(b)influ- ence of the modification amount on the load-sharing ratio;(c)influence of the modification method on the load-sharing ratio 35 (a) (b) 30 30 未修形 B-1.22 3 =0. B=1.43 B-1.0 5 --△=10…=26.5-4=40 15 --4m=l5—4=35 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.4-0.2 0 0.204 0 (e) 3 长修形 短-0.1 20 短-1.0 短B=1.22 1.43 知B=2 0.4-0.2 0 0.2 0.4 图5修形参数对传动误差的影响.()修形指数对误差的影响：(b)修形量对误差的影响：(c)修形方式对误差的影响 Fig.5 Influence of tooth profile modification on the transmission error:(a)influence of the modification index on the transmission error:(b)influ- ence of the modification amount on the transmission error:(c)influence of the modification method on the transmission error 率半径，下标1、2分别表示齿轮1、2.式中各个物理量 位。从载荷心，角度考虑，齿廓修形可以有效消除载荷 的具体计算方法详见参考文献6]. 冲击，降低啮入点A和啮出点E附近的载荷，因此齿 根据Blk闪温计算式(5)可知，齿面闪温与齿面 廓修形可以有效降低齿面闪温.针对本文研究对象， 间的相对滑动速度It-"eI、载荷心，和摩擦系数∫成 齿面闪温沿啮合线的分布如图6所示 正比，若只考虑相对滑动速度1。-ve|单一因素，闪温 由图6(a)可知在不同载荷条件下闪温沿啮合线 高温区应出现在相对滑动速度最大的齿顶和齿根部 均成V形分布，其主要区别在双齿啮合区，且最高闪

罗 彪等: 基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 图 4 修形参数对齿间载荷分配系数的影响． ( a) 修形指数对载荷分配的影响; ( b) 修形量对载荷分配的影响; ( c) 修形方式对载荷分配的 影响 Fig． 4 Influence of tooth profile modification on the load-sharing ratio: ( a) influence of the modification index on the load-sharing ratio; ( b) influ￾ence of the modification amount on the load-sharing ratio; ( c) influence of the modification method on the load-sharing ratio 图 5 修形参数对传动误差的影响． ( a) 修形指数对误差的影响; ( b) 修形量对误差的影响; ( c) 修形方式对误差的影响 Fig． 5 Influence of tooth profile modification on the transmission error: ( a) influence of the modification index on the transmission error; ( b) influ￾ence of the modification amount on the transmission error; ( c) influence of the modification method on the transmission error 率半径，下标 1、2 分别表示齿轮 1、2． 式中各个物理量 的具体计算方法详见参考文献［16］． 根据 Blok 闪温计算式( 5) 可知，齿面闪温与齿面 间的相对滑动速度 | vρ1 － vρ2 | 、载荷 wb和摩擦系数 f 成 正比，若只考虑相对滑动速度|vρ1 － vρ2 | 单一因素，闪温 高温区应出现在相对滑动速度最大的齿顶和齿根部 位． 从载荷 wb角度考虑，齿廓修形可以有效消除载荷 冲击，降低啮入点 A 和啮出点 E 附近的载荷，因此齿 廓修形可以有效降低齿面闪温． 针对本文研究对象， 齿面闪温沿啮合线的分布如图 6 所示． 由图 6( a) 可知在不同载荷条件下闪温沿啮合线 均成 V 形分布，其主要区别在双齿啮合区，且最高闪 · 1641 ·

·1462 工程科学学报，第38卷，第10期 温点均为A点.因此齿面闪温沿啮合线的分布取决于 改变闪温沿啮合线的分布，并有效降低齿面最高闪温 载荷分配系数，并与载荷分配系数成正比.齿廓修形 由图6(b)可知修形条件下齿面闪温沿啮合线成M形 可以很好改善双齿啮合区的载荷分配情况，并将闪温 分布，最高闪温点出现在啮入端的双齿啮合区中部，最 最高点A的载荷分配系数降为0，因此齿廓修形可以 高闪温由48℃降低到35℃，降低27%. 50 50 45 (a) IS0载荷 45 (b) 一一基于时变啮合刚度的载荷 未修形 40 40 悠形 35 5 0 15 10 5 5 0 0 -0.4 -0.2 0 0.20.4 0.40.20 0.2 0.4 图6闪温沿啮合线分布图.(a)不同载荷闪温：(b)修形闪温 Fig.6 Distribution of the flash temperature along the meshing line:(a)flash temperature with different loads:(b)flash temperature with tooth pro- file modification 3.2修形参数对闪温的影响 为止：同时齿面的最高闪温点位置由A点逐步移向B 在不同修形参数的条件下，基于Blok闪温理论计 点，但齿面的最高闪温值先降低后增加.值得注意的 算得到的齿面闪温沿啮合线的分布如图7所示 是，当△取B、D的变形量时，齿面闪温的最大值并不 由图7可知，不论是在长修形还是在短修形方式 取最小值，也就是说在考虑修形对齿面闪温的影响时， 下，最大修形量△的大小是决定齿面闪温最大值的 前述分析的以齿间载荷分配系数或传动误差为单目标 主要因素，修形指数B.是决定齿面最高闪温对修形量 的齿廓修形的最佳修形参数并非最佳 的敏感程度以及最高闪温点的位置的主要因素，最高 3.3考虑齿面闪温条件下的最佳修形参数 闪温值始终出现在啮入端的双齿啮合区.当△由零 由图7可知，在不同修形参数下，齿面闪温的分布 逐渐增大时，齿顶和齿根位置的闪温逐渐降低直到零 曲线均相交于同一点，该点位于双齿啮合区的中间部 40 40间 35 a 30 30 35 20 区 15 区 3=0.8 5 B=1.0 8-1.22 =20 =35 10 B=1.43 A=26.5 4.=40 B-5 -0.2 0.2 0.4 0 -0.4 0.2 0.2 40 =10 0 4=15 30 25 2 区 嘉区 15 10 -4=26 10 长6=1.43 -短3-122 =35 --短B=0.8 -短3=1.43 4=40 5 短-1.0 短0-5 04 -0.2 02 0 0.4 0.2 0.2 0.4 图7修形参数对闪温的影响.()长修形最大修形量对闪温的影响：(b)长修形修形指数对闪温的影响：（©）短修形最大修形量对闪温的 影响：()短修形修形指数对闪温的影响 Fig.7 Influence of tooth profile modification on the flash temperature:(a)influence of the modification amount on the flash temperature with a long modification way:(b)influence of the modification index on the flash temperature with a long modification way:(c)influence of the modification amount on the flash temperature with a short modification way:(d)influence of the modification index on the flash temperature with a short modifica- tion way

工程科学学报，第 38 卷，第 10 期 温点均为 A 点． 因此齿面闪温沿啮合线的分布取决于 载荷分配系数，并与载荷分配系数成正比． 齿廓修形 可以很好改善双齿啮合区的载荷分配情况，并将闪温 最高点 A 的载荷分配系数降为 0，因此齿廓修形可以 改变闪温沿啮合线的分布，并有效降低齿面最高闪温． 由图 6( b) 可知修形条件下齿面闪温沿啮合线成 M 形 分布，最高闪温点出现在啮入端的双齿啮合区中部，最 高闪温由 48 ℃降低到 35 ℃，降低 27% ． 图 6 闪温沿啮合线分布图． ( a) 不同载荷闪温; ( b) 修形闪温 Fig． 6 Distribution of the flash temperature along the meshing line: ( a) flash temperature with different loads; ( b) flash temperature with tooth pro￾file modification 3. 2 修形参数对闪温的影响 在不同修形参数的条件下，基于 Blok 闪温理论计 算得到的齿面闪温沿啮合线的分布如图 7 所示． 图 7 修形参数对闪温的影响． ( a) 长修形最大修形量对闪温的影响; ( b) 长修形修形指数对闪温的影响; ( c) 短修形最大修形量对闪温的 影响; ( d) 短修形修形指数对闪温的影响 Fig． 7 Influence of tooth profile modification on the flash temperature: ( a) influence of the modification amount on the flash temperature with a long modification way; ( b) influence of the modification index on the flash temperature with a long modification way; ( c) influence of the modification amount on the flash temperature with a short modification way; ( d) influence of the modification index on the flash temperature with a short modifica￾tion way 由图 7 可知，不论是在长修形还是在短修形方式 下，最大修形量 Δmax的大小是决定齿面闪温最大值的 主要因素，修形指数 βc是决定齿面最高闪温对修形量 的敏感程度以及最高闪温点的位置的主要因素，最高 闪温值始终出现在啮入端的双齿啮合区． 当 Δmax由零 逐渐增大时，齿顶和齿根位置的闪温逐渐降低直到零 为止; 同时齿面的最高闪温点位置由 A 点逐步移向 B 点，但齿面的最高闪温值先降低后增加． 值得注意的 是，当 Δmax取 B、D 的变形量时，齿面闪温的最大值并不 取最小值，也就是说在考虑修形对齿面闪温的影响时， 前述分析的以齿间载荷分配系数或传动误差为单目标 的齿廓修形的最佳修形参数并非最佳． 3. 3 考虑齿面闪温条件下的最佳修形参数 由图 7 可知，在不同修形参数下，齿面闪温的分布 曲线均相交于同一点，该点位于双齿啮合区的中间部 · 2641 ·

罗彪等：基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 ·1463· 位B和D点.由于齿面最高闪温点出现在啮入端的 的归一化坐标，「为基圆齿距对应的归一化坐标长 双齿啮合区，因此在修形情况下，齿面闪温的最大值不 度.由△2-△，=0可得 能低于B点的闪温值.故考虑齿面闪温条件下的最佳 厂。-(T,+T)=T-Tg曰T=Tg= 修形参数，即为找到一组修形参数使得齿面的最高闪 1 温点刚好落在B点 3+r。-r)=(,+r). 由Bok闪温计算式(5)可知，修形对闪温的影响， 即B点为双齿啮合区AB段的中点B,·将Tg代入式 主要影响计算公式中的单位线载荷，也就是齿间的载 (5)计算出闪温值，即在最佳修形参数下齿面闪温的 荷分布系数.在不同修形参数下B点闪温值始终不变 最大值.再通过反算求出此时的最佳修形参数.针对 等价于B“点载荷分配系数与修形无关.由载荷分配系 本文研究对象，在长修形方式下，最大修形量△取B 数的计算式(1)可知，B点参与啮合的两对齿的修形 点的变形量16.2um,修形指数取1.43，齿面的最高闪 量相等，即式(1)中的4，-4，=0.在归一化坐标系时 温出现在B点，最高闪温值为33.7℃. 中，任意一点的修形量由式(6)确定 综合以上分析，以降低齿面最高闪温值为单目标 的齿廓修形，其修形方式以长修形为最佳，最大修形量 △的最佳值取啮入端双齿啮合区的中点B,的变形 (6) 量，最佳修形指数取1.43.可将以上修形参数称为以 降低齿面闪温为单目标的齿廓修形最佳参数.在最佳 式中TA厂gT和「：为啮合线上A、B、D和E点的归 修形参数下齿面的闪温分布如图8()中洋红色曲线 一化坐标，T,为啮入端双齿啮合区AB段上任意一点 所示 40 -4=10 40 -B-0.8 35 4=16.2 B=1.43 30 △=26.5 5 20 20 区 15 15 10 5 5 0.4-0.200.20.4 -0.4-0200.20.4 图8最佳修形参数下齿面的闪温分布.()修形量的影响：()修形指数的影响 Fig.8 Flash temperature under the optimal parameters:(a)influence of the modification amount:(b)influence of the modification index 值分别为26.5um和16.2m,在两个值之间取五等 4 基于模糊综合决策的齿廓最佳修形参数 分，形成六个离散的最佳修形量的备择集B. 的确定 B=(26.524.522.520.518.516.2) 综合以上分析，在以载荷分配或传动误差为单目 (2)确定修形量的评价因素集A.最佳修形量的 标的齿廓修形中存在一组最佳修形参数，在以降低齿 评价因素主要为载荷分配、传动误差以及齿面闪温，因 面最高闪温为单目标的齿廓修形中也存在一组最佳修 此修形量的评价因素集为 形参数，两组参数在最住修形量上存在差异.在实际 A=(载荷分配传动误差齿面闪温) 的工程应用中载荷冲击和误差波动是衡量齿轮传动系 (3)确定评价因素集的权重集向量a.权重反映 统动力学性能的主要因素，而闪温是衡量研究对象胶 的是各个因素在综合决策中的重要程度，直接影响综 合承载能力的主要因素.在综合考虑载荷冲击、误差 合决策的结果.对于本文的研究对象，载荷分配对齿 波动和齿面闪温的多目标情况下，适当选取修形参 轮传动系统的动力学性能、齿面接触强度、齿根弯曲强 数既能有效的提高研究对象的动力学性能，使其达 度、齿轮的胶合承载能力等都有重要的影响；传动误差 到最佳的减振降噪效果，又能最大限度的降低最高 主要影响齿轮传动系统的动力学性能，而对于高速重 闪温，提高研究对象的胶合承载能力.下面将以模糊 载齿轮减振降噪以及降低系统运动过程中的冲击载荷 综合决策的方法确定多目标条件下齿廓修行的最佳 是系统设计和校核的重要目标：而齿面闪温主要影响 修形参数 齿轮的胶合承载能力.给定最大修形量5um的扰动， (1)确定最大修形量的备择集B.通过本文前述 此时齿轮传动系统的载荷分配系数、传动误差和齿面 分析，两组最佳修形参数在最佳修形量上存在差异，其 闪温的变化情况如表2所示

罗 彪等: 基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 位 B'和 D'点． 由于齿面最高闪温点出现在啮入端的 双齿啮合区，因此在修形情况下，齿面闪温的最大值不 能低于 B'点的闪温值． 故考虑齿面闪温条件下的最佳 修形参数，即为找到一组修形参数使得齿面的最高闪 温点刚好落在 B'点． 由 Blok 闪温计算式( 5) 可知，修形对闪温的影响， 主要影响计算公式中的单位线载荷，也就是齿间的载 荷分布系数． 在不同修形参数下 B'点闪温值始终不变 等价于 B'点载荷分配系数与修形无关． 由载荷分配系 数的计算式( 1) 可知，B'点参与啮合的两对齿的修形 量相等，即式( 1) 中的 Δ1 － Δ2 = 0． 在归一化坐标系［15］ 中，任意一点的修形量由式( 6) 确定． Δ1 = Δmax ( Γx － ΓB ΓA － Γ ) B βc ， Δ2 = Δmax [ ΓD － ( Γx + ΓPn ) ΓD － Γ ] E { βc ． ( 6) 式中 ΓA、ΓB、ΓD和 ΓE为啮合线上 A、B、D 和 E 点的归 一化坐标，Γx为啮入端双齿啮合区 AB 段上任意一点 的归一化坐标，ΓPn为基圆齿距对应的归一化坐标长 度． 由 Δ2 － Δ1 = 0 可得 ΓD － ( Γx + ΓPn ) = Γx － ΓBΓx = ΓB' = 1 2 ( ΓB + ΓD － ΓPn ) = 1 2 ( ΓA + ΓB ) ． 即 B'点为双齿啮合区 AB 段的中点 B1 ． 将 ΓB' 代入式 ( 5) 计算出闪温值，即在最佳修形参数下齿面闪温的 最大值． 再通过反算求出此时的最佳修形参数． 针对 本文研究对象，在长修形方式下，最大修形量 Δmax取 B' 点的变形量 16. 2 μm，修形指数取 1. 43，齿面的最高闪 温出现在 B'点，最高闪温值为 33. 7 ℃ ． 综合以上分析，以降低齿面最高闪温值为单目标 的齿廓修形，其修形方式以长修形为最佳，最大修形量 Δmax的最佳值取啮入端双齿啮合区的中点 B1 的变形 量，最佳修形指数取 1. 43． 可将以上修形参数称为以 降低齿面闪温为单目标的齿廓修形最佳参数． 在最佳 修形参数下齿面的闪温分布如图 8( a) 中洋红色曲线 所示． 图 8 最佳修形参数下齿面的闪温分布． ( a) 修形量的影响; ( b) 修形指数的影响 Fig． 8 Flash temperature under the optimal parameters: ( a) influence of the modification amount; ( b) influence of the modification index 4 基于模糊综合决策的齿廓最佳修形参数 的确定 综合以上分析，在以载荷分配或传动误差为单目 标的齿廓修形中存在一组最佳修形参数，在以降低齿 面最高闪温为单目标的齿廓修形中也存在一组最佳修 形参数，两组参数在最佳修形量上存在差异． 在实际 的工程应用中载荷冲击和误差波动是衡量齿轮传动系 统动力学性能的主要因素，而闪温是衡量研究对象胶 合承载能力的主要因素． 在综合考虑载荷冲击、误差 波动和齿面闪温的多目标情况下，适当选取修形参 数既能有效的提高研究对象的动力学性能，使其达 到最佳的减振降噪效果，又能最大限度的降低最高 闪温，提高研究对象的胶合承载能力． 下面将以模糊 综合决策的方法确定多目标条件下齿廓修行的最佳 修形参数． ( 1) 确定最大修形量的备择集 槇 B． 通过本文前述 分析，两组最佳修形参数在最佳修形量上存在差异，其 值分别为 26. 5 μm 和 16. 2 μm，在两个值之间取五等 分，形成六个离散的最佳修形量的备择集 槇 B． 槇 B = ( 26. 5 24. 5 22. 5 20. 5 18. 5 16. 2) ． ( 2) 确定修形量的评价因素集 槇 A． 最佳修形量的 评价因素主要为载荷分配、传动误差以及齿面闪温，因 此修形量的评价因素集为 槇 A = ( 载荷分配 传动误差 齿面闪温) ． ( 3) 确定评价因素集的权重集向量 槇 a． 权重反映 的是各个因素在综合决策中的重要程度，直接影响综 合决策的结果． 对于本文的研究对象，载荷分配对齿 轮传动系统的动力学性能、齿面接触强度、齿根弯曲强 度、齿轮的胶合承载能力等都有重要的影响; 传动误差 主要影响齿轮传动系统的动力学性能，而对于高速重 载齿轮减振降噪以及降低系统运动过程中的冲击载荷 是系统设计和校核的重要目标; 而齿面闪温主要影响 齿轮的胶合承载能力． 给定最大修形量 5 μm 的扰动， 此时齿轮传动系统的载荷分配系数、传动误差和齿面 闪温的变化情况如表 2 所示． · 3641 ·

·1464. 工程科学学报，第38卷，第10期 表2修形量的变化对载荷分配系数、传动误差和齿面闪温的影响 Table 2 Influence of the modification amount on the load-sharing ratio,transmission error and flash temperature 关键点载荷分配系数 修形量/μm 平均突变率/% A B D 载荷分配系数 26.5 0 1 1 0 0 21.5 0.071 0.933 0.928 0.066 6.9 修形量/μm 误差最大值/μm 误差最小值/μm 误差波动率/% 最终波动率/% 传动误差 26.5 26.6 25.7 3.38 5.64 21.5 26.6 24.2 9.02 修形量/μm 齿面最高闪温/℃ 闪温变化率/% 齿面闪温 16.2 33.7 1.48 21.2 34.2 根据表3的数据分析可知，当最大修形量存在 (5)模糊综合决策向量C.根据模糊变换原理， 定扰动时，传动系统的载荷分配系数、传动误差和齿面 得到模糊综合决策模型C=α·R.将以上确定的权重 闪温对扰动的响应是不同的.将响应进行归一化处理 集和模糊关系矩阵代入得到模糊综合决策向量C: 后可得，修形量的三个评价因素对扰动的响应比为 0.5r0.60.50.40.30.20.11 4.66:3.81:1,取整后为5：4：1.响应比反应了修形量 C=0.40.50.450.40.350.30.2 对相应评价因素影响程度的大小，可以作为修形量评 0.10.20.250.30.350.40.5 价因素集的权重集的参考.因此综合以上分析，修形 (0.50.50.40.350.30.2). 量评价因素集的权重集向量a确定如下： 由于采用的是Zadeh算子模型，突出主因，从而存 a=(0.50.40.1). 在相同的结果，在这种情况下可以采用加权平均的方 (4)建立模糊关系矩阵R.模糊关系矩阵R表 法确定最佳参数 示的是因素集A与备择集B之间的一种模糊的满足 关系程度.具体地，当设计参数取备择集B中的某一 B (7) 元素B,时，对于因素集A中因素A:的满足程度为 R,针对本文的研究对象，模糊关系矩阵R确定 将本文研究对象的具体数据代入计算得到，B”= 如下： -0.60.50.40.30.20.1 22.4μm.故取综合最佳修形量的最大值为22.5μm. 0.50.450.40.350.30.2 不同几何参数及载荷参数条件下，齿廓单目标最 R= L0.20.250.30.350.40.5 佳修形量及多目标的综合最佳修形量如表3所示. 表3几何参数与载荷参数均不同条件下齿廓最佳修形量统计分析表 Table 3 Statistical analysis of the optimal modification amount under different geometric and load parameters 功率kW/ 单目标最佳修形量，△ma/μm 多目标最 修正 齿数 模数 转速/ 最大修形量的备择集 佳修形量， 系数， (rmin-1) 载荷分配传动误差 齿面闪温 △a/μm Xe 17/25 3 20/2000 38.0 38.0 23.2 [383532292623.2] 32 0.842 23/30 2 50/1500 51.5 51.5 31.5 [51.547.543.539.535.531.5] 43.5 0.845 27/35 3 80/2000 26.5 26.5 16.2 [26.524.522.520.518.516.2] 22.5 0.849 33/45 4 150/2500 18.9 18.9 11.5 08.917.415.914.412.911.5] 15.9 0.841 43/92 2.5 200/3000 17.1 17.1 10.4 07.115.814.513.211.810.4] 14.5 0.848 平均修正系数 0.845 从表3中的数据分析可知，在不同的几何参数和 综合最佳修形量可取不考虑齿面闪温的单目标条件下 不同的载荷参数条件下，单目标的最佳修形量与多目 的最佳修形量的84.5%，即单双齿啮合交替点B、D的 标综合最佳修形量之间存在一定的比例关系。多目标 变形量的84.5%.因此，可引入多目标条件下综合最

工程科学学报，第 38 卷，第 10 期 表 2 修形量的变化对载荷分配系数、传动误差和齿面闪温的影响 Table 2 Influence of the modification amount on the load-sharing ratio，transmission error and flash temperature 载荷分配系数 修形量/μm 关键点载荷分配系数 A B D E 平均突变率/% 26. 5 0 1 1 0 0 21. 5 0. 071 0. 933 0. 928 0. 066 6. 9 修形量/μm 误差最大值/μm 误差最小值/μm 误差波动率/% 最终波动率/% 传动误差 26. 5 26. 6 25. 7 3. 38 5. 64 21. 5 26. 6 24. 2 9. 02 修形量/μm 齿面最高闪温/℃ 闪温变化率/% 齿面闪温 16. 2 33. 7 1. 48 21. 2 34. 2 根据表 3 的数据分析可知，当最大修形量存在一 定扰动时，传动系统的载荷分配系数、传动误差和齿面 闪温对扰动的响应是不同的． 将响应进行归一化处理 后可得，修形量的三个评价因素对扰动的响应比为 4. 66∶ 3. 81∶ 1，取整后为 5∶ 4∶ 1． 响应比反应了修形量 对相应评价因素影响程度的大小，可以作为修形量评 价因素集的权重集的参考． 因此综合以上分析，修形 量评价因素集的权重集向量 槇 a 确定如下: 槇 a = ( 0. 5 0. 4 0. 1) ． ( 4) 建立模糊关系矩阵 槇 Ｒ． 模糊关系矩阵 槇 Ｒ 表 示的是因素集 槇 A 与备择集 槇 B 之间的一种模糊的满足 关系程度． 具体地，当设计参数取备择集 槇 B 中的某一 元素 槇 Bj 时，对于 因 素 集 槇 A 中因 素 槇 Ai 的满 足 程 度 为 槇 Ｒij． 针对 本 文 的 研 究 对 象，模 糊 关 系 矩 阵 槇 Ｒ 确 定 如下: 槇 Ｒ = 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 5 0. 45 0. 4 0. 35 0. 3 0. 2        0. 2 0. 25 0. 3 0. 35 0. 4 0. 5 ． ( 5) 模糊综合决策向量 槇 C． 根据模糊变换原理， 得到模糊综合决策模型 槇 C = 槇 a· 槇 Ｒ． 将以上确定的权重 集和模糊关系矩阵代入得到模糊综合决策向量 槇 C: 槇 C = 0. 5 0. 4        0. 1 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 5 0. 45 0. 4 0. 35 0. 3 0. 2        0. 2 0. 25 0. 3 0. 35 0. 4 0. 5 = ( 0. 5 0. 5 0. 4 0. 35 0. 3 0. 2) ． 由于采用的是 Zadeh 算子模型，突出主因，从而存 在相同的结果，在这种情况下可以采用加权平均的方 法确定最佳参数． B* = ∑ m j = 1 Cj Bj ∑ m j = 1 Cj ． ( 7) 将本文研究对象的具体数据代入计算得到，B* = 22. 4 μm． 故取综合最佳修形量的最大值为 22. 5 μm． 不同几何参数及载荷参数条件下，齿廓单目标最 佳修形量及多目标的综合最佳修形量如表 3 所示． 表 3 几何参数与载荷参数均不同条件下齿廓最佳修形量统计分析表 Table 3 Statistical analysis of the optimal modification amount under different geometric and load parameters 齿数 模数 功率/ kW/ 转速/ ( r·min － 1 ) 单目标最佳修形量，Δmax /μm 载荷分配 传动误差 齿面闪温 最大修形量的备择集 多目标最 佳修形量， Δmax /μm 修正 系数， Xc 17 /25 3 20 /2000 38. 0 38. 0 23. 2 ［38 35 32 29 26 23. 2］ 32 0. 842 23 /30 2 50 /1500 51. 5 51. 5 31. 5 ［51. 5 47. 5 43. 5 39. 5 35. 5 31. 5］ 43. 5 0. 845 27 /35 3 80 /2000 26. 5 26. 5 16. 2 ［26. 5 24. 5 22. 5 20. 5 18. 5 16. 2］ 22. 5 0. 849 33 /45 4 150 /2500 18. 9 18. 9 11. 5 ［18. 9 17. 4 15. 9 14. 4 12. 9 11. 5］ 15. 9 0. 841 43 /92 2. 5 200 /3000 17. 1 17. 1 10. 4 ［17. 1 15. 8 14. 5 13. 2 11. 8 10. 4］ 14. 5 0. 848 平均修正系数 0. 845 从表 3 中的数据分析可知，在不同的几何参数和 不同的载荷参数条件下，单目标的最佳修形量与多目 标综合最佳修形量之间存在一定的比例关系． 多目标 综合最佳修形量可取不考虑齿面闪温的单目标条件下 的最佳修形量的 84. 5% ，即单双齿啮合交替点 B、D 的 变形量的 84. 5% ． 因此，可引入多目标条件下综合最 · 4641 ·

罗彪等：基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 ·1465· 佳修形量的修正系数X。,对单目标最佳修量进行修 L),最佳修形指数B。=1.43. 正，从而得到多目标的综合最佳修形量.修正系数X。 针对本文研究对象，在综合最佳修形参数下的载 的取值为0.845.多目标综合最佳修形量的计算公式 荷分配、传动误差和齿面闪温沿啮合线的分布如图9 为△=X△(x/L)A. 中绿色线条所示.在最佳修形参数下，载荷突变量为 故综合考虑载荷分布、传动误差和齿面闪温时，基 0.054,突变率为5.4%：误差的波动量为1.5μm,波动 于模糊综合决策的齿廓最佳修形参数为：最佳修形方 率为5.7%：齿面最高闪温为34.4℃，比未修形状态下 式为长修形，最佳修形量的计算公式为A=X△(x/ 降低28.3%. 1.0r (a) 30 --4m=l6.2 0.8 4=22.5 28 …4-26.5 0.6 26 0.4 --4m=16.2 =22.5 0.2 4=26.5 20 18 0.4 0.2 0.4 0.4 -0.2 0.2 0.4 (ej 35 30 25 20 15 10 -4m=16.2 —4=22.5 -4nm-=265 0 0.4-0.2 020.4 图9最佳修形参数下各因素沿啮合线的分布.()载荷分配系数：(b)传动误差：（©）齿面闪温 Fig.9 Distribution of the factors along the meshing line under the optimal parameters:(a)load sharing-ratio:(b)transmission error:(c)flash temperature 参考文献 5结论 1]Xue J H,Li W.Research on gear system scuffing load capacity (1)△m影响载荷变化的连续性；修形方式和B。 and its numerical calculation methods.J Beijing Inst Technol, 则影响双齿啮合区载荷分配系数：变化的非线性程 2014,34(9):901 (薛建华，李减.齿轮热胶合承载能力数值计算方法研究.北 度，同时影响传动误差的波动.当△超过最佳修形 京理工大学学报，2014,34(9)：901) 量时，将改变单、双齿啮合区交替点的位置，使单齿啮 2]Bonori G,Barbieri M,Pellicano F.Optimum profile modifications 合区增大，双齿啮合区减小. of spur gears by means of genetic algorithms.J Sound Vib,2008, (2)考虑载荷分配或传动误差的单目标时，最佳 313(35):603 修形参数为：A取单双齿交替处B、D点的变形量，B。 B] Barbieri M,Bonori G,Pellicano F.Corrigendum to:optimum 取1.43，修形方式以长修形为宜. profile modifications of spur gears by means of genetic algorithms. (3)考虑齿面闪温的单目标时，最佳修形参数为： J Sound Vib,2012,331(21):4825 [4]Fuentes A,Nagamoto H,Litvin F L,et al.Computerized design △取啮入端双齿啮合区的中点B,的变形量，B。取 of modified helical gears finished by plunge shaving.Comput 1.43,修形方式为长修形. Methods Appl Mech Eng,2010,199 (2528)1677 (4)引入了多目标条件下修形量的修正系数X。, [5]Chapron M,Velex P.Bruyere J.et al.Optimization of profile 给出了多目标条件下修形量的计算公式.综合考虑齿 modifications with regard to dynamic tooth loads in single and 间载荷分布、传动误差和齿面闪温的多目标时，根据模 double-elical planetary gears with flexible ring gears.Mech D=,2015,138(2):023301 糊综合决策得到的最佳修形参数为：最佳修形方式为 [6]Jiang J K,Fang Z D.Bian X.Optimal design of longitudinal cor- 长修形，最佳修形量A=X。△（x/L)A,最佳修形指数 rection of double helical gear.Harbin Inst Technol,2013,45 B。=1.43. (11):86

罗 彪等: 基于模糊综合决策的直齿圆柱齿轮齿廓最佳修形 佳修形量的修正系数 Xc，对单目标最佳修量进行修 正，从而得到多目标的综合最佳修形量． 修正系数 Xc 的取值为 0. 845． 多目标综合最佳修形量的计算公式 为 Δ = XcΔmax ( x / L) βc ． 故综合考虑载荷分布、传动误差和齿面闪温时，基 于模糊综合决策的齿廓最佳修形参数为: 最佳修形方 式为长修形，最佳修形量的计算公式为 Δ = XcΔmax ( x / L) βc ，最佳修形指数 βc = 1. 43． 针对本文研究对象，在综合最佳修形参数下的载 荷分配、传动误差和齿面闪温沿啮合线的分布如图 9 中绿色线条所示． 在最佳修形参数下，载荷突变量为 0. 054，突变率为 5. 4% ; 误差的波动量为 1. 5 μm，波动 率为 5. 7% ; 齿面最高闪温为 34. 4 ℃，比未修形状态下 降低 28. 3% ． 图 9 最佳修形参数下各因素沿啮合线的分布． ( a) 载荷分配系数; ( b) 传动误差; ( c) 齿面闪温 Fig． 9 Distribution of the factors along the meshing line under the optimal parameters: ( a) load sharing-ratio; ( b) transmission error; ( c) flash temperature 5 结论 ( 1) Δmax影响载荷变化的连续性; 修形方式和 βc 则影响双齿啮合区载荷分配系数 ζ 变化的非线性程 度，同时影响传动误差的波动． 当 Δmax 超过最佳修形 量时，将改变单、双齿啮合区交替点的位置，使单齿啮 合区增大，双齿啮合区减小． ( 2) 考虑载荷分配或传动误差的单目标时，最佳 修形参数为: Δmax取单双齿交替处 B、D 点的变形量，βc 取 1. 43，修形方式以长修形为宜． ( 3) 考虑齿面闪温的单目标时，最佳修形参数为: Δmax取啮入端双齿啮合区的中点 B1 的变 形 量，βc 取 1. 43，修形方式为长修形． ( 4) 引入了多目标条件下修形量的修正系数 Xc， 给出了多目标条件下修形量的计算公式． 综合考虑齿 间载荷分布、传动误差和齿面闪温的多目标时，根据模 糊综合决策得到的最佳修形参数为: 最佳修形方式为 长修形，最佳修形量 Δ = XcΔmax ( x / L) βc ，最佳修形指数 βc = 1. 43． 参 考 文 献 ［1］ Xue J H，Li W． Ｒesearch on gear system scuffing load capacity and its numerical calculation methods． J Beijing Inst Technol， 2014，34( 9) : 901 ( 薛建华，李威． 齿轮热胶合承载能力数值计算方法研究． 北 京理工大学学报，2014，34( 9) : 901) ［2］ Bonori G，Barbieri M，Pellicano F． Optimum profile modifications of spur gears by means of genetic algorithms． J Sound Vib，2008， 313( 3-5) : 603 ［3］ Barbieri M，Bonori G，Pellicano F． Corrigendum to: optimum profile modifications of spur gears by means of genetic algorithms． J Sound Vib，2012，331( 21) : 4825 ［4］ Fuentes A，Nagamoto H，Litvin F L，et al． Computerized design of modified helical gears finished by plunge shaving． Comput Methods Appl Mech Eng，2010，199( 25-28) : 1677 ［5］ Chapron M，Velex P，Bruyere J，et al． Optimization of profile modifications with regard to dynamic tooth loads in single and double-helical planetary gears with flexible ring-gears． J Mech Des，2015，138( 2) : 023301 ［6］ Jiang J K，Fang Z D，Bian X． Optimal design of longitudinal cor￾rection of double helical gear． J Harbin Inst Technol，2013，45 ( 11) : 86 · 5641 ·

·1466· 工程科学学报，第38卷，第10期 (蒋进科，方宗德，卞翔。人字齿轮齿向修形优化设计.哈尔 (杨龙，李应生，王志强，等.齿廓修形对齿轮齿面温度影响 滨工业大学学报，2013,45(11)：86) 分析.机械传动，2011,35(8)：15) Pedrero J I,Pleguezuelos M,Artes M,et al.Load distribution [13]Yu D Y,Zhang C,Ye S J,et al.Research on the influence of model along the line of contact for involute extemal gears.Mech gear shift and modification on the tooth contact temperature.J Mach Theory,2010,45(5):780 Mech Transm,2014,38 (1):5 [8]Chen S Y,Tang J Y,Wang Z W,et al.Effect of modification on (于东洋，张超，叶盛鉴，等.齿轮变位及修形对齿面接触温 dynamic characteristics of gear transmissions system.Chin /Mech 度的影响研究.机械传动，2014,38(1)：5) Eng,2014,50(13):59 04] Xue J H,Li W.Tooth profile modification mechanism and its in- (陈思雨，唐进元，王志伟，等。修形对齿轮系统动力学特性 fluence on temperature fields.Northeast Unin Nat Sci,2013, 的影响规律.机械工程学报，2014,50(13)：59) 34(12):1763 ]Xue J H,Li W.Prediction methods of gear system temperature (薛建华，李威.齿廓修形机理及其对温度场的影响.东北 fields.J Unin Sci Technol Beijing,2014,36(2):252 大学学报（自然科学版），2013,34(12)：1763) (薛建华，李威减.齿轮系统的温度场预测方法.北京科技大学 [15]Xue J H.Li W,Li O C.Dynamic load and thermal elastohydro- 学报，2014,36(2)：252) dynamic lubrication of gear system based on timevarying stiff- [10]Wang K L,Cheng H S.A numerical solution to the dynamic ness.J Cent South Univ Sci Technol,2014,45(8):2603 load,film thickness,and surface temperatures in spur gears: (薛建华，李威，李启超。基于时变刚度的齿轮系统动载荷 Part I.Analysis.J Mech Des,1981,103 (1):177 及热弹流润滑分析.中南大学学报（自然科学版），2014,45 [11]Anifantis N,Dimarogonas A D.Flash and bulk temperatures of (8):2603) gear teeth due to friction.Mech Mach Theory,1993,28 (1): [16]Gong M Y,Chen S C,Wang Y J.Strength Calculation and 159 Structure Design of Inolute Cylindrical Gear.Beijing:China [2]Yang L,Li YS,Wang Z Q,et al.Analysis of the influence of Mechine Press,1986 profile modification to temperature of tooth surface.J Mech (龚林义，陈式椿，王永洁.渐开线圆柱齿轮强度计算与结 Transm,2011,35(8):15 构设计.北京：机械工业出版社，1986)

工程科学学报，第 38 卷，第 10 期 ( 蒋进科，方宗德，卞翔． 人字齿轮齿向修形优化设计． 哈尔 滨工业大学学报，2013，45( 11) : 86) ［7］ Pedrero J I，Pleguezuelos M，Artes M，et al． Load distribution model along the line of contact for involute external gears． Mech Mach Theory，2010，45( 5) : 780 ［8］ Chen S Y，Tang J Y，Wang Z W，et al． Effect of modification on dynamic characteristics of gear transmissions system． Chin J Mech Eng，2014，50( 13) : 59 ( 陈思雨，唐进元，王志伟，等． 修形对齿轮系统动力学特性 的影响规律． 机械工程学报，2014，50( 13) : 59) ［9］ Xue J H，Li W． Prediction methods of gear system temperature fields． J Univ Sci Technol Beijing，2014，36( 2) : 252 ( 薛建华，李威． 齿轮系统的温度场预测方法． 北京科技大学 学报，2014，36( 2) : 252) ［10］ Wang K L，Cheng H S． A numerical solution to the dynamic load，film thickness，and surface temperatures in spur gears: Part I． Analysis． J Mech Des，1981，103( 1) : 177 ［11］ Anifantis N，Dimarogonas A D． Flash and bulk temperatures of gear teeth due to friction． Mech Mach Theory，1993，28 ( 1 ) : 159 ［12］ Yang L，Li Y S，Wang Z Q，et al． Analysis of the influence of profile modification to temperature of tooth surface． J Mech Transm，2011，35( 8) : 15 ( 杨龙，李应生，王志强，等． 齿廓修形对齿轮齿面温度影响 分析． 机械传动，2011，35( 8) : 15) ［13］ Yu D Y，Zhang C，Ye S J，et al． Ｒesearch on the influence of gear shift and modification on the tooth contact temperature． J Mech Transm，2014，38( 1) : 5 ( 于东洋，张超，叶盛鉴，等． 齿轮变位及修形对齿面接触温 度的影响研究． 机械传动，2014，38( 1) : 5) ［14］ Xue J H，Li W． Tooth profile modification mechanism and its in￾fluence on temperature fields． J Northeast Univ Nat Sci，2013， 34( 12) : 1763 ( 薛建华，李威． 齿廓修形机理及其对温度场的影响． 东北 大学学报( 自然科学版) ，2013，34( 12) : 1763) ［15］ Xue J H，Li W，Li Q C． Dynamic load and thermal elastohydro￾dynamic lubrication of gear system based on time-varying stiff￾ness． J Cent South Univ Sci Technol，2014，45( 8) : 2603 ( 薛建华，李威，李启超． 基于时变刚度的齿轮系统动载荷 及热弹流润滑分析． 中南大学学报( 自然科学版) ，2014，45 ( 8) : 2603) ［16］ Gong M Y，Chen S C，Wang Y J． Strength Calculation and Structure Design of Involute Cylindrical Gear． Beijing: China Mechine Press，1986 ( 龚炑义，陈式椿，王永洁． 渐开线圆柱齿轮强度计算与结 构设计． 北京: 机械工业出版社，1986) · 6641 ·