第9章渐近法 (successive approximation method) 0渐近法概述 1、线性代数方程组的解法：直接法渐近法 (1)力学建立方程，数学渐近解。 2、结构力学的渐近法 (2)不建立方程式，直接逼近真实受力状态。 其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。 3、不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法
第 9 章 渐近法 (successive approximation method) 1、线性代数方程组的解法: 直接法 渐近法 2、结构力学的渐近法 (1)力学建立方程，数学渐近解。 (2)不建立方程式，直接逼近真实受力状态。 其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。 3、不建立方程组的渐近解法有： (1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 (2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。 (3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。 它们都属于位移法的渐近解法。 0.渐近法概述
§9-1力矩分配法的基本概念 (method of moment distribution) 力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的渐近 或近似方法。 独立使用时只适用于解算无侧移（无独立结点线位 移)的结构。 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 力矩分配法 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的渐近 或近似方法。 独立使用时只适用于解算无侧移（无独立结点线位 移）的结构。 §9-1 力矩分配法的基本概念 (method of moment distribution) 力矩分配法 理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架
基本思路 g=12kN m PE 固定状态 B EI M5不平衡力矩，顺时针为正 10m 10m 固端弯矩-—荷载引起的单跨梁两 端的杆端弯矩，绕杆端顺时针为正 g=12kN/m M=-gl2/12=-100kW.m B ql2/12 MB=100kN:m Mic McB =0 B +0 MB=MBA+Mic=100kN.m M 放松状态： ☑
基本思路 B 固定状态: F MB ---不平衡力矩,顺时针为正 B A B C F MB M ql k N m F AB = − /12 = −100 2 固端弯矩---荷载引起的单跨梁两 端的杆端弯矩,绕杆端顺时针为正 M kN m F BA =100 = = 0 F CB F MBC M B F MB MBA M BC F BC F BA F M B = M + M =100kNm 放松状态: A B 10m EI q = 12kN / m C 10m EI A B q = 12kN / m C /12 2 ql F MB B F MB F MBA + 0 F M BC
1、名词解释 (1)转动刚度S表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 SAB-3i SAB与杆的i(材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长)及 远端支承有关，而与近端支承无关
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。 1 SAB=4i 1 SAB=3i SAB =i 1 SAB =0 SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及 远端支承有关， 而与近端支承无关。 (1)转动刚度S： 1、名词解释
(2)分配系数设A点有力矩M, 求MAB、MAC和MAD D 如用位移法求解： 于是可得 MAB=4iA0=SAB0 AC MAC =iC0=S4C0 MAD =3iAD0=SAD0 M MAC MD (T)MAB >m=0 M=(SAB+Sc+SAD)0 Mic M M 04= MAD MA=A·M 分配系数
分配系数 SAB = 4i 1 SAB= 3i 1 1 SAB= i (2)分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD C D A B iAB iAC iAD A M 如用位移法求解： AB AB A SAB A M = 4i = AC AC A SAC A M = i = AD AD A SAD A M = 3i = M MAB MAC MAD = 0 A m M SAB SAC SAD A = ( + + ) = + + = A AB AC AD A S M S S S M 于是可得 M S S M A AB AB = M S S M A AC AC = M Aj = Aj M = A Aj Aj S S =1 M S S M A AD AD =
(3)传递系数 MAB=4iAB日A MBA=2 iAB 0A 近端 )远端 CAB= MAB 2 MAB =3iAB0 B CAB= MB⊥=0 MAB MAB- MBA=-iAB 0A B CB= MBL=-1 MAB 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面， 各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数
(3)传递系数 MAB = 4 iAB A MBA = 2 iAB A 2 1 = = AB BA AB M M C MAB = 3iABA = = 0 AB BA AB M M C MAB= iABA MBA = - iAB A = = −1 AB BA AB M M C 在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面， 各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。 A A l B 近端 远端 A B A A A B
2. 单结点的力矩分配 基本运算 B 固端弯矩带本身符号 MBA MBA MBO MABP 宫M C MB=MBA+MBC -4 色 M言M 7n8 MB=Lina(-Mg) 最后杆端弯矩： Mac=Hnc(-M8) MBA=MBAP+MB MBC=MBCP+MBC MAB=MAB'+MB然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图
——基本运算 A B C MAB MBA MBC A B C MAB P MBA P MBC P MB MB MBA MBC MB= MBA+MBC A B C -MB MBA MBC MAB 0 -MB MBA MBC ( ) MBA BA −MB = ( ) MBC BC −MB = + = 最后杆端弯矩： MBA = MBA P+ MBA MBC = MBC P+ MBC MAB= MAB P+ MAB 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。 固端弯矩带本身符号 2. 单结点的力矩分配
(1)B点加约束 1672 115.7 M图(kNm) 200×6 =-150kN.m 90 MAB=- P 300 TI云 MBA=150kN.m 3m 3m 6m MBC=- 20×62 =-90kN.m 8 200kW 60 20kN/m MB=MBA+MEc=6OkN·m 山uu4 (2)放松结点B,即加-60进行分配 -150 150 9 -90 设i=E1计算转动刚度： -60 SBA-4i SBc=3i 0.571 0.429 4i 分配系数：“A= =0.571 4i+3i -17.2 -34.3 -25.7 0 3i UBC =0.429 0.571 0.429 分配力矩： -150 1509 -90 MB4=0.571×(60)=-34.3 -17.2 -34.3 -25.7 0 Mc=0.429x(60=-25.7 -167.2 115.7-115.☑ 0 (3)最后结果。合并前面两个过程
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 的弯矩图。 3m 3m 6m EI EI 200kN 20kN/m （1）B点加约束 A B C 200kN 20kN/m MAB= MBA= MBC= = − k Nm − 150 8 200 6 150kNm = − k Nm − 90 8 20 6 2 MB= MBA+ MBC= 60kNm -150 150 -90 （2）放松结点B，即加-60进行分配 60 A B C -60 设i =EI/l 计算转动刚度： SBA=4i SBC=3i 分配系数： 0.571 4 3 4 = + = i i i BA 0.429 7 3 = = i i BC 0.571 0.429 分配力矩: MBA = 0.571(−60) = −34.3 MBC = 0.429(−60) = −25.7 -17.2 -34.3 -25.7 0 + (3) 最后结果。合并前面两个过程 A B C 0.571 0.429 -150 150 -90 -17.2 -34.3 -25.7 0 -167.2 115.7 -115.7 0 167.2 115.7 300 90 M图(kN·m) A B C =
§9-2多结点的力矩分配 渐近运算 A BC 9c MAB三MMBC Mct MeD D MBA MBC mcp 放松，平衡了 固定 z 固定 放松，平衡了 4 放松，平衡了 固定
§9-2 多结点的力矩分配 A B C D B C MAB MBA MBC MCB MCD MB MC mBA mBC mCB 放松，平衡了 -MB MC ’ 固定 放松，平衡了 -MC ’ 固定 固定 放松，平衡了 ——渐近运算
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 20kN/m 100kN B E=2 E=1 D 6m 4m 4m 6m 0.40.6 0.6670.333 m-60 60-100 100 -33.4 -66.7-33.3 14.7 29.4 44 22 配与传递 -7.3 -14.7-7.3 =0.4 1.5 2 29 4.4 2.2 -0.7 -1.5-0.7 48c=0.6 0.2 0.3 0.4 4× M43.6 92.6-92.6 41.3-41.3 92.6 436 41.3 0.667 u少 DI 21.9 331 M图 (kN.m) 4c=0.333
C B 例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。 A B C D 6m 4m 4m 6m EI=1 EI=2 EI=1 20kN/m 100kN 6 1 i AB = 4 1 8 2 i BC = = 6 1 i CD = = = = = 1 4 1 4 3 2 6 1 4 BC BA S S = = + = 0.6 0.4 3 2 1 3 2 BC BA = = = = 2 1 6 1 3 1 4 1 4 CD CB S S = = + = 0.333 0.667 2 1 1 1 CD CB 0.4 0.6 0.667 0.333 m -60 60 -100 100 分 配 与 传 递 -33.4 -66.7 -33.3 14.7 29.4 44 22 -7.3 -14.7 -7.3 2.9 4.4 2.2 -0.7 -1.5 -0.7 0.3 0.4 1.5 0.2 Mij-43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 0 43.6 92.6 133.1 41.3 A B C D 21.9 M图（kN·m）