第六章FIR数字滤波器的设计 6-1FIR数字滤波器的性质 6-2FIR滤波器的窗函数设计 6-3FIR滤波器频率采样法设让 6-4FIR滤波器的等波纹优化设计
第六章 FIR数字滤波器的设计 ◼ 6-1 FIR数字滤波器的性质 ◼ 6-2 FIR滤波器的窗函数设计 ◼ 6-3 FIR滤波器频率采样法设计 ◼ 6-4 FIR滤波器的等波纹优化设计
6-1FIR数字滤波器的性质 设FIR的单位脉冲响应hn)(h(n)为实数 长度为N)的Z变换为 H(z)=∑h(m)zn(61 是Z的N-1阶多项式,在Z平面上有个N-1零 点,在原点有N-1个重极点
6-1 FIR数字滤波器的性质 设FIR 的单位脉冲响应h(n)（h(n)为实数， 长度为N）的Z变换为 − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z （6-1-1） 是Z -1的N-1阶多项式，在Z平面上有个N-1零 点，在原点有N-1个重极点
由4.3节曾指出, 如果hn)满足下面的偶对称和奇对称条件 h(m)=h(N-1-m) (6-1-2) h(n)=-h( FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。 下面推导滤波器的线性相位特性
由4.3节曾指出， 如果h(n)满足下面的偶对称和奇对称条件， FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) h n h N n h n h N n = − − − = − − 下面推导滤波器的线性相位特性 （6-1-2）
1.线性相位特性 偶对称情况—h(n)=h(N-1-n) 由于h(n)=h(N-1-n) 则H()=∑h(m)==∑N-1-m)n n=0 ∑(n)===2h(n)”(61-3) 即H(z)=zH(z (6-1-4)
1. 线性相位特性 偶对称情况—h(n)=h(N-1-n) 由于 则 h(n) = h(N −1− n) n N n n N n H z h n z h N n z − − = − − = = = − − 1 0 1 0 ( ) ( ) ( 1 ) n N n N n N N n h n z z h n z − = − − − − − − = = = 1 0 ( 1 ) ( 1) 1 0 ( ) ( ) 即 ( ) ( ) −( −1) −1 H z = z H z N （6-1-3） （6-1-4）
则有 H(z)=[H(=)+z -(N-1) n ∠h(n儿2 n=0 N -(N-1)/2 -(n ∑hn)
则有 [ ] 2 1 ( ) ( )[ ] 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ) 2 1 ) ( 2 1 ( 1 0 ( 1)/ 2 ( 1) 1 0 ( 1) 1 − − − − − − = − − − − − − = − − − = + = + = + N n N n N n N n N n N n N z h n z z h n z z z H z H z z H z
因此 H(e)=H(=) 2=e Jo N-1 jo( ∑h(n)coso(n--。)(615 n=0 其求和项全为实数 将H(e)表示成相位函数q()和 幅度函数H(o)的形式即 H(e=H(oe io(o) (6-1-6)
（6-1-5） 因此 )] 2 1 ( )cos[ ( ( ) ( )| 1 0 ) 2 1 ( − = − = − = − − = N e h n n H e H z N n N j z e j j 其求和项全为实数 ( ) ( ) ( ) j j H e = H e 幅度函数 的形式 即 将 表示成相位函数 和 ( ) , ( ) ( ) H H e j （6-1-6）
则H(O) N ∑h(n)coso(n-- (6-1-7) 0 q()=-0(-) (6-1-8) 2 其中幅度函数是标量函数,可正可负; 相位函数是的线性函数,且通过原点,即具有严格 的线性相位特性。 如图所示 2π p(O) (N-1)π
则 ) 2 1 ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) cos[ ( 1 0 − = − − = − − = N N H h n n N n （6-1-7） 其中 幅度函数是标量函数，可正可负； 相位函数是的线性函数，且通过原点，即具有严格 的线性相位特性。 如图所示 （6-1-8）
奇对称情况—h(n)=-h(N-1-n) 在式(6-14)中以h(N-1-n)代替h(N-1n), 可得 H(=) N-)H( (6-1-9) 则H(z)可写成 H(z)=H(=)-zN)H(=2) N-1 2∑h(m) 2 n=0
奇对称情况—h(n)=-h(N-1-n) 在式（6-1-4）中以-h(N-1-n)代替h(N-1-n)， 可得 则H(z)可写成 ( ) ( ) −( −1) −1 H z = −z H z N ( )[ ] 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ) 2 1 ( 1 0 ) 2 1 ( ( 1) 1 − − − − − − = − − − − − = − = − N n N n N n N N z h n z z H z H z z H z （6-1-9）
因此有 H(eo)=-je 2 h(n)sin[ o(n- ) 2 jo(-) N h(nsinl o(n (6-1-10) 由式(6-1-6)求得 H()=∑h( n)sinl o(n N-1 2 (6-1-11) 0()=-0(~1、兀 (6-1-12) 此相位特性同样为一严格的直线,但在零点处有-的截距
因此有 − = + − − − = − − − = − − = − − 1 0 ] 2 ) 2 1 [ ( 1 0 ) 2 1 ( )] 2 1 ( )sin[ ( )] 2 1 ( ) ( )sin[ ( N n N j N n N j j N e h n n N H e j e h n n （6-1-10） 由式（6-1-6）求得 2 ) 2 1 ( ) ( )] 2 1 ( ) ( )sin[ ( 1 0 − − = − − = − − = N N H h n n N n （6-1-11） （6-1-12） 此相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有 的截距。 2 −
其相位特性如图所示 /2 q() 这说明相位特性不仅有N=1个抽样周期的 延时,并且对通过滤波器的所有频率分量产生2 即90°的相移
其相位特性如图所示 这说明相位特性不仅有 个抽样周期的 延时，并且对通过滤波器的所有频率分量产生 即90°的相移。 2 2 N −1