《信号分析与处理》第二章 希尔伯特变换与相关分析（2-3）Hilbert变换

23 Hilbert变换

2.3 Hilbert变换

两个例题:1.x() 的傅立叶变换 n(1)<> 2Sgn(o) >0 e 0 <>-jSgn(o) O-丌 t t

t x t  1 ( ) =       =     −   − = − 0 0 0 0 ( ) 1 0 0 9 0 9 0       j j e e j j jSgn t t t y t 1 1 ( ) =  两个例题：1. 的傅立叶变换 2. 求卷积 其中： 2 ( ) 2 2 ( )     −  Sgn jt j Sgn t 2 ( )( ( )) 1 1  = − jSgn  − jSgn  = − t t 2 2 −  (t)  − ( ) 1 1 ( ) 2 t t t y t =  = − 

希尔伯特变换 H(w) h(t) > e O>0 HGO=-jSgn(@) O<0 j900 HT是将信号相移90度的运算与其它变换不同是属于 相同域的变换,时域到时域变化

一.希尔伯特变换       =     −  = − 0 0 0 0 0 0 9 0 9 0     j j e e j j ( ) ( ) 1 ( )    H j jSgn t h t = − = HT是将信号相移90度的运算,与其它变换不同是属于 相同域的变换,时域到时域变化. 其中：

将信号通过系统响应为: ∞X(T y(t) 丌J∞t-T Y(@=X(OHo=-iSgn(o)X(jo jX(0)O<0 HT是从时域到时域的变化,频谱幅值不变,相位 发生了变化

将信号通过系统,响应为：     d t x y t   − − = 1 ( ) ( ) 其中：     −  = = = − ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          j X j j X j Y j X j H j jSgn X j HT是从时域到时域的变化，频谱幅值不变，相位 发生了变化

表一:常见希尔伯特变换对 序号信号 HT x(t y(1) coS(ot sin( at sin at cos(ot) 234 6(t) () ZI 567 1+t 1+t sin c(t) 1-cos(rt) xa(tcos(2 f t) x2(t)sm(20)

表一:常见希尔伯特变换对 序号 信号 HT 1 2 3 4 5 6 7 x(t) y(t) 其中： cos(t) sin(t) sin(t) − cos(t)  (t) t 1 t 1 − (t) 2 1 1 + t 2 1 t t + t t  1− cos( ) x (t) cos(2 f t)   c x (t)sin( 2 f t)   c sin c(t)

练习:求如下信号的HT j2 t (2)x()=∑ a. cos nΩ+∑b,sim 解: j(2 (1)y(1)=e j2 nft e (2)y()=∑ an sin ns2ot-∑b, cosns

练习:求如下信号的HT    =  = =  +  = 1 0 1 0 2 (2) ( ) cos sin (1) ( ) n n n n j f t x t a n t b n t x t e  解: 其中：    =  = − =  −  = = − 1 0 1 0 2 ) 2 (2 (2) ( ) sin cos (1) ( ) n n n n j f t j f t y t a n t b n t y t e j e   

二、HT的特性: 许多特性都是基于相位移动和卷积性质 ■实函数的卷积为实函数,实函数的HT为实函数 ■z为奇函数,偶信号的HT为奇信号偶信号的HT为奇信 号 ■a的FT的幅度谱为1,信号的幅度频谱与HT的幅度谱相同 ■x()连续进行两次HT得到-x(

二、HT的特性: 许多特性都是基于相位移动和卷积性质 t 1 − x(t) t 1 其中： ◼ 实函数的卷积为实函数, 实函数的HT为实函数 ◼ 为奇函数,偶信号的HT 为奇信号,偶信号的HT 为奇信 号 ◼ 的FT的幅度谱为1,信号的幅度频谱与HT的幅度谱相同 ◼ x(t) 连续进行两次HT得到

二、HT的特性: x(a)的HT x(1)→>x^(t y(t)=x(a)* a元t x (at) x(-)的HT为-x^(-t)

二、HT的特性: x(−t) ( ) ^ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ^ ( ) x at a a a t a x at t y t x at x t x t = =  =  →   − x^ (−t) 其中： ◼ x(at) 的HT 的HT为

、HT的典型应用 1.系统因果性(可实现性)的限制 系统具有可实现性的前提是因果性。对于因果系统来 说,频率响应的实部与虚部,模与幅角都有一定相互制约 的特性,这种特性以HT的形式表现出来。 因果系统h(t)=0,tH()=R(o)+jX(w)

三、HT的典型应用 1. 系统因果性（可实现性）的限制 系统具有可实现性的前提是因果性。对于因果系统来 说，频率响应的实部与虚部，模与幅角都有一定相互制约 的特性，这种特性以HT的形式表现出来。 因果系统 h t t ( ) 0, 0 =  h t h t t ( ) ( ) = ( ) h t H j R jX w ( ) ( ) ( ) ( )   =  +

推导:根据时域相乘特性 002[R(o)+p(o)+|moQx10 [R(O)+jX(o)+ R(O)*一+X(O) 2丌 Jo R(0),1rX() d1λ+j X(o I f R() 22Jo- 2丌J-入 R(O)+jX(O) 1r∞R( R() X(入) X(O)= 丌J-∞0-入

推导:根据时域相乘特性   1 1 ( ) ( ) ( ) * ( ) 2 H j R jX j      =  +    +        1 1 1 1 ( ) ( ) ( )* ( )* 2 2 R jX R X  j   =  +  +  +        ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 R X X R d j d     − −         = +  + −      −  −        =  +  R jX ( ) ( ) 1 ( ) ( ) X R d   −    =   −   1 ( ) ( ) R X d   −    = −   −  