第二章连续信 号傅立叶分析
第二章 连续信 号傅立叶分析
2.1信号的正交分解
2.1信号的正交分解
概念 信号与多维矢量之间的相似关系 空间感念 数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间” 线性矢量空间:引入线性运算的矢量空间 范数:矢量长度类似 线性赋范空间 内积空间 信号能量与矢量长度的相似 信号相关性类似于矢量之间的夹角 内积空间的正交性 内积空间信号的正交展开 帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质, 相当于矢量范数不变性(内积不变性)的体现
概念 • 信号与多维矢量之间的相似关系 •空间感念 数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间” 线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间 范数:矢量长度类似 线性赋范空间 内积空间 •信号能量与矢量长度的相似 信号相关性类似于矢量之间的夹角 内积空间的正交性 内积空间信号的正交展开 帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质, 相当于矢量范数不变性(内积不变性)的体现
信号矢量空间 1线性空间 其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素 与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素. n维实数空间R 连续时间信号空间L 离散时间信号空间l 在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构 n维实数空间为有限维空间,连续、离散时间信号空间为 无穷维空间
一. 信号矢量空间 1.线性空间 其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素 与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素. n维实数空间 连续时间信号空间L 离散时间信号空间 在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、维数等线性结构 n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为 无穷维空间 N R l
2范数、赋范空间 范数是矢量长度的度量方法,也用于表示信号能量 a)RN的范数 1/p maxx < 1≤i<N 常见的有 称为欧氏距离
2.范数、赋范空间 范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量 a) 的范数 常见的有 ， ， 。 称为欧氏距离 N R = x p x p x i i N p N p i p 1 1/ 1 max 1 1 . 2 . . 2
a)L和l范数 P x() 1≤p≤∞ supx(t p<oo P x(n 1≤p≤∞ supx(n p<∞ 1/2 x(t x(tdt 1-I2( dt 二阶范数的平方表示信号能量,A表示信号可测得的蜂值 给出了范数的概念可构成线性赋范空间,如LL,Ll等
a) L和 l 范数 = x t p x t dt p x p p p sup ( ) ( ) 1 . 1/ = − x n p x n p x p p p sup ( ) ( ) 1 . 1/ x x t dt − . = ( ) 1 1/ 2 2 2 . ( ) = − x x t dt x x t dt − = 2 2 2 . ( ) 二阶范数的平方表示信号能量， 表示信号可测得的蜂值 给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 等 x L1 L2 L l
3内积,内积空间 范数与信号自身的能量、强度等特征相对应,而内 积与信号之间的相关密切相连。 x=(x,x2),y=(y,y2) 两矢量夹角-2 XY1+x222=lb, cos(o-P2) 三维矢量内积运算xy+x2y2+x3y3,当夹角为90度时, 结果为零;夹角为0时,结果最大。 L空间两信号的内积 (x, y)=x()y*(dt (x,y)=∑x(m)y*(n) (x)=[x)t=
3.内积,内积空间 范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内 积与信号之间的相关密切相连。 三维矢量内积运算 ，当夹角为90度时， 结果为零；夹角为0时，结果最大。 L空间两信号的内积： x = (x1, x2), y = ( y1, y2) 两矢量夹角 1 −2 cos( ) 1 1 + 2 2 = 2 2 1 −2 x y x y x y 1 1 2 2 3 3 x y + x y + x y 2 2 2 , ( ) , ( ) ( ) x x x t dt x x y x t y t dt = = = − − = n Z x, y x(n)y *(n)
二.信号的正交分解 1、矢量正交与正交分解 矢量V=(vx1Vx2,v3)与=(Vy,v2,y3)正交的定义: 其内积为0。即 ∑ 0 由两两正交的矢量组成的矢量集合--称为正交矢量集 例如对于一个三维空间的矢量A=(2,5,8),可以用一个三维正交矢量 集{v,v,V}分量的线性组合表示。即 A=v+2.5V+4v 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间,在信号空间找到若干 个相互正交的信号作为基本信号,使得信号空间中任意信号均可表示成它 们的线性组合
二.信号的正交分解 1、矢量正交与正交分解 矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义： 其内积为0。即 0 3 1 = = i= xi yi T x y V V v v 由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集 例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量 集{ vx，vy，vz }分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干 个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它 们的线性组合
2、正交函数集 定义在(t1,t2)区间的两个函数φ1(和q2(t,若满足 ∫O):(odt= l≠J K;≠0,i 则称φ1(t)和q2(t在区间(t1,t)内正交。 若n个函数q;t),φ2(t),…,φ(构成一个函数集,当这些 函数在区间(t1,t)内满足 0(),9()>=0 q1(1)q2(t)dt=0 =K 则称此函数集为在区间t1,t2)的正交函数集 如果在正交函数集{q(,q4(t),…,φn(t)}之外,不存在 函数p((0)满足oO=0 则称此函数集为完备正交函数集
定义在(t1，t 2 )区间的两个函数1 (t)和 2 (t),若满足 = 2 1 ( ) ( )d 0 * 1 2 t t t t t = = 2 1 0, 0, ( ) ( )d * t t i i j K i j i j t t t 则称 1 (t)和 2 (t) 在区间(t1，t 2 )内正交。 若n个函数 1 (t)， 2 (t)，…， n (t)构成一个函数集，当这些 函数在区间(t1，t 2 )内满足 则称此函数集为在区间(t1，t 2 )的正交函数集。 i i i i j t t K t t = = ( ), ( ) ( ), ( ) 0 如果在正交函数集{1 (t)， 2 (t)，…， n (t)}之外，不存在 函数φ(t)(≠0）满足 = 2 1 ( ) ( )d 0 t t i t t t 则称此函数集为完备正交函数集。 2、正交函数集
3、正交函数集实例 例1:三角函数集{1,cos(n2t),sin(n92t),n=1,2,} 例2:虚指数函数集{ea,n=0,±1,±2,…} 是两组典型的在区间(t,t+T)(T=2r/2)上的完备正交函数集。 例3沃尔什函数 walah)是区间(0,1)的完备正交函数集 Wal(k, t)=IISgncos(k,2 m] ost Wal(0, t)=Sgn(cos Ot] =1 Wal(1, t)=Sgnlcos sgnlcos Ot]=Sgnlcos t Wal(2, t)=Sgn(cos 2 Wal(3, t)=Sgnlcos 2n](cos t]=Wal(l, t)Wal(2, t) Wal(4, t)=Sgn cos 4t] Wal(5, t)=wal(4, *wal(l, t) Wal(6, t)=Wal(4, tWal(2, t) Wal(7, t)=Wal(4, t)wal(2, twal(l, t)=Wal(6, twal(l, t)
例3:沃尔什函数(walah)是区间（0，1）的完备正交函数集 例1：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 例2:虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…} 是两组典型的在区间(t0，t 0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。 ( , ) cos( 2 ) 0 1 1 0 = − = Wal k t Sgn k t t p r r r (7, ) (4, ) (2, ) (1, ) (6, ) (1, ) (6, ) (4, ) (2, ) (5, ) (4, ) (1, ) (4, ) cos 4 (3, ) cos 2 cos (1, ) (2, ) (2, ) cos 2 (1, ) cos cos0 cos (0, ) cos 0 1 Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Wal t Sgn t Wal t Sgn t Sgn t Wal t Wal t Wal t Sgn t Wal t Sgn t Sgn t Sgn t Wal t Sgn t = = = = = = = = = = = = 3、正交函数集实例
