第五章 连续系统的s域分析 内容提要 拉普拉斯变换 1.定义 信号的单边拉普拉斯变换 正变换式:F(s)=f(t)e-dt 反变换式:f(t)=1i(s)eds 2j-∞ 信号的双边拉普拉斯变换 正变换式:F(s)=f(t)e-dt 反变换式:f()=f(s)eds 1.性质 单边普拉斯变换的性质见表5-1双边拉普拉斯变换见表5-2 192
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第五章连续系统的s域分析 表5-1单边拉普拉斯变换的性质 时域 f()→F(s)s域 定义 F(se ds f(s)= F(ne dt,d>do 线性 a1f1(1)+a2f2(1) a, Fi(s)+a,F(s).d> max(d,, dz) 尺度变换 1F(÷),>a f(t-to )e(t-lo) eo F(s).g>>g 时移 f(a-b)(a-b),a>0,b≥0-c÷F(s),>m0 复频 F(s-s),g>>do+a F(s)-f(0),d> 时域微分 f(r)dx 1F(),0>max(o,0) 时域积分/-(t) F(s)+-f-1(0 f=”(t) F()+八-(0-) 时域卷积f1(D*f2() FI(s)F2(s),a>> max(or,dz) 时域相乘f1(1)f2() 1 F,(m)F: (s-mdn a>>d1+oz,ddo 初值定理 f(04)=limF(s),F(s)为真分式 终值定理 f(∞)= lim sF(s),s=0在sF(s)的收敛域内 表注:①表中为收敛坐标:②/“()g(,F“()如(,( f(r)d. 193
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 表5-2双边拉普拉斯变换简表 反因果信号 因果信号 序号 f(n) 收敛域 FLcs) 收敛域 f(r Re]0 Re[s]0 (t) 3-(-1)Rts]o te(r) 4-c(-D)R-a e-E(t) tee(t)Re[s]-a ee(r) 6-re“(-1)R] "e"ε(t) 7 cos(B1 )E(-o Re[s]o cos(A)e(n) sin(A)e(-t Re[s]o sin(B)E(t) tacos(B1) ecos(P)∈(1) e(-t) R]-a sin(Bt) Re[s]-a e sin(R )e(n) E(-1) 表注:a、B均为实数 二、求解方法 1.求解拉普拉斯逆变换的方法 (1)部分分式分解; (2)用留数定理求逆变换 y[F(s)]=>[F(s)]e的留数] 若p;为一阶极点,则在极点s=p;处的留数 若p;为k阶极点,则 1 5!:=(s-p)F(s)e 194
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第五章连续系统的s域分析 2.R,L,C元件s域关系为 VR(s)= RIR(s); VL(S)=SLIL(s) Vc(s)=1 Ic(s)。 3.系统函数H(s)与冲激响应h(t)构成变换对 H(s)=h(t)] 4.若激励与响应是同一端口,则网络函数称为“策动点函数”;若激励与响应不在同一端 口,就称为“转移函数” 5.频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。 典型例题与解题技巧 【例1】求下列函数的拉氏变换,考虑能否借助于延时定理 in(ot 当0<t< (1)f(t)= 0 (t为其他值) T (2)f(t)= sin(at + o) 解题分析延时性质f(t-t0)e(t-b)]=eF(s)变换函数表达式,借助延时性质求 解 解题过程(1)由f()= sinate(t)-c/t-T m+i(-2)1(-) 得(]-元m(+-2)(-21) +“平 (1+e-) (2)由sin(a+g)= sIna coSgp+ cOAx sinop得 ALsin(ax +p)]=g(sinat cos)+g(cosaw sinp) s2+ cosSet singe 【例2】分别求下列函数的逆变换的初值与终值 (1)-(s+6)
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 (s+1)2(s+2) 解题分析limf(1)=f(0+)= lims F(s) f(t)= limF(s) 直接利用初值定理和终值定理求解。 解题过程(1(0)-1mF()=lma+2++5 s2+7s+10≈1 lim f(∞)= lims(s)=lim s2+7s+10=0 s(s+3) (2)f(0+)=limsF(s)=lim712 (+2)=0 f(∞)= lims(s)=lim s(s+3) 0(s+1)2(s+2) 【例3】一个LTI系统对单位阶跃ε(t)的响应g(t)为g(t)=(1-e-te-)ε(t)。若系统 对某个输入x(t)的响应y(t)为y(t)=(2-3e-+e)e(t),试确定这个输入信号 解题分析当已知系统的冲激响应h(t)和由激励x()产生的响应y(1)时,满足卷积积分 关系y(1)=x(t)*h(t),欲求激励信号x(t)需要进行逆卷积运算。 在本例中,将时域中的逆卷积变换为复频域先求X(s)=x(t)],即x(t) 解题过程由题可知单位阶跃e(1)产生的阶跃响应g(t),则单位冲激信号8()产生的冲激 响应h(t)为 h()=ag()=(1-e=1e)6()+(1=e-te)e()=tee() 所以系统函数H(s)=9[h(t)] (s+1)2 该系统对于激励x(t)的响应y(t)其拉氏变换为 y(=y(s)=2-3+-1= +3s(s+1)(s+3) 由系统函数H(s)= Y(s) 可知,X(s)=x(t)],即 X(s) 6(s+1)A1A2 其中,A1=2,A2=4因此输入信号x(t)=[2+4e]e(t) 【例4】图5-1(a)所示电路,已知f(t)=10(1)V,(0-)=5V,z2(0-)=4A。求全响 应i1(t)与i2(t) 解题分析主要考查了KVL列积分方程求全响应的方法。 解题过程 F()=f(=101 196·
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第五章连续系统的s域分析 图 t>0时的s域电路模型如图5-1(b)所示。 对两个网孔列写KVL方程为 (a +R)H1(s)-R212(s)=F(s)+“2 一R12I1(s)+(R12+R2+Is)2(s)=Li2(0-) 代入数据整理得 3+3)1()-k1()=15 1()+(÷+5)1()=2 解上述方程组得 I1( +7s+12 I2(s)= 4s+50 s2+7s+12s+3s+4 进行反变换得时域中的全响应为 i1(t)=(-57e-+136e)e(t)A i2(t)=(38e-34et)e(t)A 历年考研真题评析 【题1】(哈尔滨工业大学2005年)假若某LTI系统的单位阶跃响应为2ee(t)+0(t),试 计算系统对于激励信号3e(t)的输出信号y(t)。 解题分析令阶跃响应g(t)=2eε(t)+δ(1),得系统的冲激响应 解题过程()=4g()=8()+28()-4c-(n) 则y(t)]=Y(s)=3ee(t)]·近h(t)] Y(s)=3 1(s+1)(s+2) 197
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 1 输出信号:y(t)=x1[Y(s)]=38(t)-[9e--12ea]e(t) 【题2】(电子科技大学2005年)求图5-2所示电路的系统函数H(s)和冲激响应h(t),设 激励信号为电压e(t)、响应信号为电压r(t 图5-2 解题分析s域网络模型使电路分析简化。根据s域网络模型写出电路方程,利用H(s (求系统函数并求其拉氏逆变换h(1)。 解题过程(1)图5-2(a)所示电路的s域网络模型如图5-3(a)所示。由此可写出结点 电流方程 C+点+立)RC E(s) H(s)=R(s) RCR。s+ R+ a=c-a2,且设a<co 图5-3 从而有 H(s) 1(s+a) RC s2+2as+o2 RC (s+ 因此h(t)=x1[H(s)] os(aat)-asin(at)e(D) (2)图5—2(b)所示电路的s域网络模型如图5-3(b)所示 由此列写电流方程 198
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第五章连续系统的s域分析 +SCI+SCz U,()-sCR2(s)=sCIE(s) 1(s) 解得 R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1 R(s)=Cle(s) R(s) RiR2C.C2s 则1(=E(s)R1R2C1C2s2+(R1C1+R1C2+R2C2)s+1 令a=RR:C1CP=RC1+RC:+RC,从而有 设p1 号(-P+√/2-),n=是(--√2-5) H(s)=1+ piaTa Pgb+a 所以h(t)=8(t) (p1q3+a)e"-(p2a3+a)e2]e 【题3】(吉林大学2006年)一个连续时间LTI系统如图5一4所示,试确定该系统的系统 图5一 解题分析由系统框图求时域傅里叶变换s域的性质得H(s)。 解题过程令牙x(t)]=X(s),y(t)]=Y(s),由系统图得 X(s)+-Y(s) +-Y(s) 2=Y(s) 即Y(s) X(s)+Y()(s+1)(s+2)s(s+2)1(s) Y(s) 根据系统函数定义H(=X(),可求得该系统的系统函数
/01 !"#$%!&’( "! 4! ’!6! ’!6’#G!"!#&!64’"!##!6!F"!# &!6’G!"!#’ "! 4’ ’!6’#4"!## + , - $ ] 4!4’6!6’!’ ’ "4!6! ’4!6’ ’4’6’#!’! 4!4’6’! 4"!##!6!F"!# i 9"!## 4"!# F"!## 4!4’6!6’!’ 4!4’6!6’!’ ’ "4!6! ’4!6’ ’4’6’#!’! æ%# ! 4!4’6!6’ &!6! ’4!6’ ’4’6’&óôõ 9"!## !’ !’ ’%&!’% ê0! # % ’"&&’ & ’ & 3 ! %#&0’ # % ’"&&& & ’ & 3 ! %#&i 9"!##!’ ! 0’ &0!"0!%&’% !&0! &0’%&’% !&0’ # Âà :"%##)"%#’ ! 0’ &0! )"0!%&’%#%0!% & "0’%&’%#%0’%*#"%# "="# "ö÷àá’$$4â#g¥øù5únoÑÆ)&3ÂÇ&«¬7Äno#no XY 9"!#$ Æ)&3 ?=’( noûÆ\56üýþ)*!6#/09"!#$ ?=EF æ !)-"%#*# A"!#&!)@"%#*#C"!#& + , -) noÆ A"!#’ ! !C"!#* ! !’!’ ! !C"!. / 0 # ! !’’#C"!# ¿C"!## )A"!#’ ! !C"!#* ! "!’!#"!’’#’ ! !"!’’#C"!# C"!#)!& ! !"!’’#& ! !"!’!#"!’’#*# A"!# "!’!#"!’’# îÖnoXY78 9"!##C"!# A"!# &Á\Äno#noXY 9"!## ! !2 ’2!’ ’!&’ %#""%
信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 【题4】(华中科技大学2005年)已知网络函数H(s)的极点位于s=-3处,零点在S a,且H(∞)=1.此网络的阶跃响应中,包含一项为K1e。若a从0变到5,讨论相 应的K1如何随之改变 解题分析阶跃函数与系统函数关系 G(s)=1H(3) 解题过程先由H(s)与G(s)关系导出g(t),讨论K1如何改变 H(S)= K +2 故 H(s)=s+2 又知 G(s) H(s)=-8+a s(s+3) 故 (t)=x[G(s)]= 由题意知阶跃响应中包含一项K1e-,则 a-3 当a从0到5时K1从1变到-2 【题5】(西北工业大学2006年)已知信号表示式为 f(t=ee(-t+eaE(t) 式中a>0,试求f(t)的双边拉氏变换,给出收敛域。 解题分析对于某些函数f(t),当a选在一定范围内时,积分式 为有限值,这就是双边拉氏变换(也称为指数变换或广义傅里叶变换)。 用定义式求所给信号的拉氏变换求出收敛域 解题过程记f(t)的双边拉氏变换为FB(s),有 FB(s)= f(t)e"dt (ars)' dt -(ts) 一项当σ-a时收敛,故有 【题6】(北京理工大学2005年)直接用拉氏变换解下列微分方程 (1)y(2)(t)+3y1)(t)+2y(t)=8(t) y(0-) 200
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第五章连续系统的s域分析 (2)y2)(t)+2y1(t)+y(t)=8(t)+281(t) 解题分析本题主要考查了由拉氏变换求微分方程 解题过程(1)[2Y(s)-sy(0-)-y(0-)]+3[sY(s)-y(0-)]+2Y(s)=1 (s2+3s+2)Y(s)=1+sy(0-)+y(0-)+3y(0-) Y(s)= A s+1s+ 求出系数:A1=4,A2=-3 则y(t)=X[Y(s)]=4e--3e2t≥0 (2)[s2Y(s)-y(0)-y'(0)]+2[sY(s)-y(0-)]+Y(s)=1+2s 2+2s+1)Y(s)=1+2s+sy(0)+y(0)+2y(0-) Y(s) s2+2s+1(s+1)2(s+1) 求出系数:A1=2,A2=3 则y(t)=x[Y(s)]=2te-+3e=(2t+3)et≥0 课后习题全解 ◎5.1求下列函数的单边拉普拉斯变换并注明收敛域。 (3)3sint+2cost (4)cos(2t+45) (5)e2+e (6e sin (2t) (7)te (8)28(t)-e 解1)1-e]=1]-e-] +1=x41,R5y>0 ]=1] + 1_2 +2 s(s+1)(s+2)kes>0 (3)4[3sint+ 2cost]=3[sint]+2[cost] 3 2s+3 x2+1s2+1,Res>0 (4)5r cos(21+45)1=/2 cos2t1-v2sT sin2tl √2 √2 s2+4s2+4√2(2+4) Rels]>o (5)e+e]=e]+e-] Rels]>1
/01 !"#$%!&’( "’#@"’#"%#’’@"!#"%#’@"%##)"%#’’)"!#"%# @"$& ##!&@"!#"$& ##’ ?=’( »À˶ÌÍ&)*\?@_Î$ ?=EF "!#)!’ C"!#&!@"$& #&@B"$& #*’2)!C"!#&@"$& #*’’C"!##! "!’ ’2!’’#C"!##!’!@"$& #’@B"$& #’2@"$& # C"!## !’) !’ ’2!’’# D! !’!’ D’ !’’ \ånY!D! #3&D’ #&2 i@"%## !&!)C"!#*#3%&% &2%&’% %%$ "’#)!’ C"!#&!@"$& #&@B"$& #*’’)!C"!#&@"$& #*’C"!##!’’! "!’ ’’!’!#C"!##!’’!’!@"$& #’@B"$& #’’@"$& # C"!## 2!’) !’ ’’!’!# 2!’) "!’!#’ # D! "!’!#’ ’ D’ !’! \ånY!D! #’&D’ #2 i@"%## !&!)C"!#*#’%%&% ’2%&% # "’%’2#%&% %%$ 456(7* 1)"! \XY#$%&’&()*ïO=LM6$ "!#!&%&% "’#!&’%&% ’%&’% "2#28.:%’’678% "3#678"’%’3)K# ")#%% ’%&% "4#%&% 8.:"’%# "5#%%&’% "9#’)"%#&%&% ? "!#!)!&%&%*# !)!*&!)%&%* # ! !& ! !’!# ! !"!’!# &1%)!*$$ "’#!)!&’%&% ’%&’%*# !)!*&’!)%&%*’!)%&’%* # ! !& ’ !’!’ ! !’’ # ’ !"!’!#"!’’# &1%)!*$$ "2#!)28.:%’’678%*#2!)8.:%*’’!)678%* # 2 !’ ’!’ ’! !’ ’!#’!’2 !’ ’!&1%)!*$$ "3#!)678"’%’3)K#*# !’ ’!)678’%*&!’ ’!)8.:’%* # !’ ’! !’ ’3& !’ !’ ’3# !&’ !’"!’ ’3# 1%)!*$$ ")#!)%% ’%&%*# !)%%*’!)%&%* # ! !&!’ ! !’!# ’! !’ &!&1%)!*$! %!*#%
