第三章离散信 号傅立叶分析
第三章 离散信 号傅立叶分析
介绍 傅立叶分析定义了信号时域和频域之间的 种变换,这里时间和频率变量可以取连续值, 也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立 叶变换对 离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本 也是最重要的运算特别是有了快速傅立叶算 法,离散傅立叶变换得到了广泛应用
介绍 傅立叶分析定义了信号时域和频域之间的 一种变换,这里时间和频率变量可以取连续值, 也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立 叶变换对. 离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本 也是最重要的运算.特别是有了快速傅立叶算 法，离散傅立叶变换得到了广泛应用
31周期序列的 傅里叶级数
3.1 周期序列的 傅里叶级数
3.1周期序列的傅里叶级数DFS) 1离散周期序列 f(n)=f(n+M) 以N为周期的离散周期信号,N为整数.同样 离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和 -2Z e k 0,1 是以基波频率2z成谐波关系的复指数序列集 j(k+/NNI 为N的周期序列,所以展开式只有有限项谐波
3.1 周期序列的傅里叶级数(DFS) 1 离散周期序列 以N为周期的离散周期信号,N为整数.同样， 离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和 jk n j k lN n N N e e 2 2 ( + ) = f (n) = f (n + N) { } 0,1, 1... 2 e k = − jk n N 是以基波频率 2 N 成谐波关系的复指数序列集 为N的周期序列，所以展开式只有有限项谐波
x() 0246 XN(n)=-+cosn+sinn 22 22 ?’个个?↑ 4-20246 (b) xN(m)=+(e2+e2)-j( 0 Ini n 图l(a周期序列(b)直流分量(c)余弦分量(d)正弦分量
图1(a)周期序列(b)直流分量 (c)余弦分量 (d)正弦分量 x n n n N 2 sin 2 1 2 cos 2 1 2 1 ( ) = + + ( ) 4 1 ( ) 4 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 j n j n j n j n N x n e e j e e − − = + + − −
特点 、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。 体kn_Nk=0,士N,±2N 0其余k值 n= 人号n=1-2“1-e3x(Nk=0士N,±2N n=0 1、↓1八k3-0其余k值 2、正交性 ∑ 0 m-k≠IN N
= = = 其余k值 N k N N e n N j k n N 0 2 0, , 2 特点: 1、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。 = = − − = − − = − = 其余k值 N k N N e e e e e N N N N j k j k j k N j k N n j k n 0 0, , 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 2、正交性 0 2 ( ) = = − n N j m k n N e m − k lN
2离散周期序列的傅里叶级数展开式 展开式 2丌 Jkn xx(n)三 ∠c k= k=∑x() n=
2 离散周期序列的傅里叶级数展开式 展开式 = = k N j k n N k N x n c e 2 ( ) = − = n N j k n k N N x n e N c 2 ( ) 1
()=∑cke"N k= Ln= 在上式右边对n求和时,只当k=m时为非零,所以有: Jm-arn NIne N k=1∑x()% n=<N:
= = k N j k n N k N x n c e 2 ( ) 系数的确定 ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 交换求和顺序 = = = − = = = − = − n N j k m n k N k n N k N j k n k j m n n N j m n N N N N N c e x n e e c e 在上式右边对 n 求和时，只当 k = m 时为非零，所以有: x n e c m N n N jm n N N = = − 2 ( ) = − = n N j k n k N N x n e N c 2 ( ) 1
3系数的性质 性质-Ck±MN=Ck(为整数) 说明离散周期序列的DFS的系数仍然是一个周期序列 性质二对实数序列,具有共轭对称性,即: k=Ck 性质三ck的模为k的偶函数,Ck的相位(幅角)为 k的奇函数
3 系数的性质 性质一 c c (l为整数) klN = k 性质二 对实数序列，具有共轭对称性，即： * k k c = c − 性质三 的模为 的偶函数， 的相位(幅角)为 的奇函数。 k c k k c k 说明离散周期序列的DFS的系数仍然是一个周期序列
4离散周期信号的频谱 以Ck~W=Nk画出的波形称为频谱图,w称为圆周角频率 例1求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式(N=4 x(1)1 4-20246
4 离散周期信号的频谱 k 以 c ~ w N k 画出的波形称为频谱图,w称为圆周角频率 2 = 例1 求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式( N=4)