《信号分析与处理》第三章 离散信号傅立叶分析

第三章离散信 号傅立叶分析

第三章 离散信 号傅立叶分析

介绍 傅立叶分析定义了信号时域和频域之间的 种变换,这里时间和频率变量可以取连续值, 也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立 叶变换对 离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本 也是最重要的运算特别是有了快速傅立叶算 法,离散傅立叶变换得到了广泛应用

介绍 傅立叶分析定义了信号时域和频域之间的 一种变换,这里时间和频率变量可以取连续值, 也可以取离散值,因而形成了几种形式的傅立 叶变换对. 离散傅立叶变换是数字信号处理中最基本 也是最重要的运算.特别是有了快速傅立叶算 法，离散傅立叶变换得到了广泛应用

31周期序列的 傅里叶级数

3.1 周期序列的 傅里叶级数

3.1周期序列的傅里叶级数DFS) 1离散周期序列 f(n)=f(n+M) 以N为周期的离散周期信号,N为整数.同样 离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和 -2Z e k 0,1 是以基波频率2z成谐波关系的复指数序列集 j(k+/NNI 为N的周期序列,所以展开式只有有限项谐波

3.1 周期序列的傅里叶级数(DFS) 1 离散周期序列 以N为周期的离散周期信号,N为整数.同样， 离散周期序列可以分解为无穷虚指数份量的和 jk n j k lN n N N e e 2 2 ( + ) = f (n) = f (n + N) { } 0,1, 1... 2 e k = − jk n N  是以基波频率 2 N  成谐波关系的复指数序列集 为N的周期序列，所以展开式只有有限项谐波

x() 0246 XN(n)=-+cosn+sinn 22 22 ?’个个?↑ 4-20246 (b) xN(m)=+(e2+e2)-j( 0 Ini n 图l(a周期序列(b)直流分量(c)余弦分量(d)正弦分量

图1(a)周期序列(b)直流分量 (c)余弦分量 (d)正弦分量 x n n n N 2 sin 2 1 2 cos 2 1 2 1 ( )   = + + ( ) 4 1 ( ) 4 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 j n j n j n j n N x n e e j e e     − − = + + − −

特点 、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。 体kn_Nk=0,士N,±2N 0其余k值 n= 人号n=1-2“1-e3x(Nk=0士N,±2N n=0 1、↓1八k3-0其余k值 2、正交性 ∑ 0 m-k≠IN N

   =    = =  其余k值 N k N N e n N j k n N 0 2 0, , 2 特点: 1、基波和高次谐波在任一周期内的求和均为零。    =   = − − = − −  = − = 其余k值 N k N N e e e e e N N N N j k j k j k N j k N n j k n 0 0, , 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0      2、正交性 0 2 ( )  = =  − n N j m k n N e  m − k  lN

2离散周期序列的傅里叶级数展开式 展开式 2丌 Jkn xx(n)三 ∠c k= k=∑x() n=

2 离散周期序列的傅里叶级数展开式 展开式  =  = k N j k n N k N x n c e 2 ( )  =  − = n N j k n k N N x n e N c 2 ( ) 1

()=∑cke"N k= Ln= 在上式右边对n求和时,只当k=m时为非零,所以有: Jm-arn NIne N k=1∑x()% n=<N:

 =  = k N j k n N k N x n c e 2 ( ) 系数的确定 ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 交换求和顺序         =         =      =  − =  =  =  − =  − n N j k m n k N k n N k N j k n k j m n n N j m n N N N N N c e x n e e c e     在上式右边对 n 求和时，只当 k = m 时为非零，所以有: x n e c m N n N jm n N N  = =  − 2 ( )  =  − = n N j k n k N N x n e N c 2 ( ) 1

3系数的性质 性质-Ck±MN=Ck(为整数) 说明离散周期序列的DFS的系数仍然是一个周期序列 性质二对实数序列,具有共轭对称性,即: k=Ck 性质三ck的模为k的偶函数,Ck的相位(幅角)为 k的奇函数

3 系数的性质 性质一 c c (l为整数) klN = k 性质二 对实数序列，具有共轭对称性，即： * k k c = c − 性质三 的模为 的偶函数， 的相位(幅角)为 的奇函数。 k c k k c k 说明离散周期序列的DFS的系数仍然是一个周期序列

4离散周期信号的频谱 以Ck~W=Nk画出的波形称为频谱图,w称为圆周角频率 例1求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式(N=4 x(1)1 4-20246

4 离散周期信号的频谱 k 以 c ~ w N k 画出的波形称为频谱图,w称为圆周角频率 2 = 例1 求周期脉冲序列的傅里叶级数展开式( N=4)