第七讲§2一1投影法的基本知识 §2一2三视图的形成与投影规律 课题：1、投影法的基本知识 2、三视图的形成与投影规律 课堂类型：讲授 教学目的：1、介绍投影法的概念、种类、应用 2、讲解正投影法的基本性质 3、介绍三投影面体系和三视图的形成、投影规律 教学要求：1、掌握正投影法的基本性质 2、理解并掌握三视图的形成和投影规律 教学重点：1、正投影法的基本性质 2、三视图的投影规律 教学难点：三视图与物体方位的对应关系 教具：自制的三投影面体系模型、简单几何体模型 教学方法：讲授与课堂演示、举例相结合。 教学过程： 一、复习旧课 简要复习平面图形的作图方法和步骤。 二、引入新课题 在工程技术中，人们常用到各种图样，如机械图样、建筑图样等。这些图样都是按照不同的 投影方法绘制出来的，而机械图样是用正投影法绘制的， 三、教学内容 (一)投影法的基本知识 1、投影法的概念 举例：在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的 影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线（或叫投影线），地面或墙壁称为投影面，影子 称为物体在投影面上的投影。 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点S和任一点A,以及不通过点S 和点A的平面P,如图2-1所示，从点S经过点A作直线SA,直线SA必然与平面P相交于
第七讲 §2—1 投影法的基本知识 §2—2 三视图的形成与投影规律 课 题：1、投影法的基本知识 2、三视图的形成与投影规律 课堂类型：讲授 教学目的：1、介绍投影法的概念、种类、应用 2、讲解正投影法的基本性质 3、介绍三投影面体系和三视图的形成、投影规律 教学要求：1、掌握正投影法的基本性质 2、理解并掌握三视图的形成和投影规律 教学重点：1、正投影法的基本性质 2、三视图的投影规律 教学难点：三视图与物体方位的对应关系 教 具：自制的三投影面体系模型、简单几何体模型 教学方法：讲授与课堂演示、举例相结合。 教学过程： 一、复习旧课 简要复习平面图形的作图方法和步骤。 二、引入新课题 在工程技术中，人们常用到各种图样，如机械图样、建筑图样等。这些图样都是按照不同的 投影方法绘制出来的，而机械图样是用正投影法绘制的。 三、教学内容 （一）投影法的基本知识 1、投影法的概念 举例：在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的 影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线(或叫投影线)，地面或墙壁称为投影面，影子 称为物体在投影面上的投影。 下面进一步从几何观点来分析投影的形成。设空间有一定点 S 和任一点 A，以及不通过点 S 和点 A 的平面 P，如图 2－1 所示，从点 S 经过点 A 作直线 SA，直线 SA 必然与平面 P 相交于一
点a,则称点a为空间任一点A在平面P上的投影，称定点S为投影中心，称平面P为投影面， 称直线SA为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、 面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，对交点进行恰当的连线。 投影中心 投影线 投影 图2-1 投影法的振老 2中心投影法 如图2-2所示，作△ABC在投影面P上的投影。先自点S过点A、B、C分别作直线SA SB、SC与投影面P的交点a、b、c,再过点a、b、c作直线，连成△abc,△abc即为空间的△ ABC在投影面P上的投影。 上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为 投影法。 2、投影法的种类及应用 (1)中心投影法 投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影 法，如图2-2所示。 缺点：中心投影不能真实地反映物体的形状和大小，不适用于绘制机械图样。 优点：有立体感，工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 (2)平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法， 如图2-3所示。 根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种： 1)斜投影法一—投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图2一3()所示 2)正投影法一一投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图2一3(b)所示
点 a，则称点 a 为空间任一点 A 在平面 P 上的投影，称定点 S 为投影中心，称平面 P 为投影面， 称直线 SA 为投影线。据此，要作出空间物体在投影面上的投影，其实质就是通过物体上的点、线、 面作出一系列的投影线与投影面的交点，并根据物体上的线、面关系，对交点进行恰当的连线。 图 2 － 1 投 影 法 的 概 念 图 2－ 2 中心投影法 如图 2－2 所示，作△ABC 在投影面 P 上的投影。先自点 S 过点 A、B、C 分别作直线 SA、 SB、SC 与投影面 P 的交点 a、b、c，再过点 a、b、c 作直线，连成△abc ，△abc 即为空间的△ ABC 在投影面 P 上的投影。 上述这种用投射线（投影线）通过物体，向选定的面投影，并在该面上得到图形的方法称为 投影法。 2、投影法的种类及应用 （1）中心投影法 投影中心距离投影面在有限远的地方，投影时投影线汇交于投影中心的投影法称为中心投影 法，如图 2－2 所示。 缺点：中心投影不能真实地反映物体的形状和大小，不适用于绘制机械图样。 优点：有立体感，工程上常用这种方法绘制建筑物的透视图。 （2）平行投影法 投影中心距离投影面在无限远的地方，投影时投影线都相互平行的投影法称为平行投影法， 如图 2－3 所示。 根据投影线与投影面是否垂直，平行投影法又可以分为两种： 1）斜投影法——投影线与投影面相倾斜的平行投影法，如图 2－3（a）所示。 2）正投影法——投影线与投影面相垂直的平行投影法，如图 2－3（b）所示
投 (a)斜投影法 (b)正投影法 图2一3平行投影法 正投影法优点：能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制机 械图样。 (二)三视图的形成与投影规律 在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面 上所得到的正投影称为视图。 一般情况下，一个视图不能确定物体的形状。如图2一6所示，两个形状不同的物体，它们在 投影面上的投影都相同。因此，要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所 得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。工程上常用的是三视图。 图2-6 一个视图不能确定物体的形状 1、三投影面体系与三视图的形成
（a） 斜投影法 （b） 正投影法 图 2－3 平行投影法 正投影法优点：能够表达物体的真实形状和大小，作图方法也较简单，所以广泛用于绘制机 械图样。 （二）三视图的形成与投影规律 在机械制图中，通常假设人的视线为一组平行的，且垂至于投影面的投影线，这样在投影面 上所得到的正投影称为视图。 一般情况下，一个视图不能确定物体的形状。如图 2－6 所示，两个形状不同的物体，它们在 投影面上的投影都相同。因此，要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向所 得到的几个视图，互相补充，才能将物体表达清楚。工程上常用的是三视图。 图 2－6 一个视图不能确定物体的形状 1、三投影面体系与三视图的形成
(1)三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成，如图2一7所示。 在三投影面体系中，三个投影面分别为： 正立投影面：简称为正面，用V表示： V正立投影面 水平投影面：简称为水平面，用H表示： 侧立投影面：简称为侧面，用W表示。 三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是 OX轴：是V面和H面的交线，它代表长度方向： OY轴：是H面和W面的交线，它代表宽度方向 令水平投影面 OZ轴：是V面和W面的交线，它代表高度方向： 三个投影轴垂直相交的交点O,称为原点。 图27三投影面体系 (2)三视图的形成 将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进 行投影，得到三个视图，这样才能把物体的长、宽、高三个方向，上下、左右、前后六个方位的 形状表达出来，如图2-8(a)所示。三个视图分别为： 主视图：从前往后进行投影，在正立投影面(V面)上所得到的视图。 俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面(H面)上所得到的视图。 主视图：从前往后进行投影，在侧立投影面(W面)上所得到的视图 a
（1）三投影面体系的建立 三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成，如图 2－7 所示。 在三投影面体系中，三个投影面分别为： 正立投影面：简称为正面，用 V 表示； 水平投影面：简称为水平面，用 H 表示； 侧立投影面：简称为侧面，用 W 表示。 三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是： OX 轴：是 V 面和 H 面的交线，它代表长度方向； OY 轴：是 H 面和 W 面的交线，它代表宽度方向； OZ 轴：是 V 面和 W 面的交线，它代表高度方向； 三个投影轴垂直相交的交点 O，称为原点。 图 2－7 三投影面体系 （2）三视图的形成 将物体放在三投影面体系中，物体的位置处在人与投影面之间，然后将物体对各个投影面进 行投影，得到三个视图，这样才能把物体的长、宽、高三个方向，上下、左右、前后六个方位的 形状表达出来，如图 2－8（a）所示。三个视图分别为： 主视图：从前往后进行投影，在正立投影面（V 面）上所得到的视图。 俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面（H 面）上所得到的视图。 主视图：从前往后进行投影，在侧立投影面（W 面）上所得到的视图。 （a） （b）
图2一8三视国的形成通展开 (3)三投影面体系的展开 在实际作图中，为了画图方便，需要将三个投影面在一个平面（纸面）上表示出来，规定： 使V面不动，H面饶OX轴向下旋转90°与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合， 这样就得到了在同一平面上的三视图，如图2一8(b)所示。可以看出，俯视图在主视图的下方。 左视图在主视图的右方。在这里应特别注意的是：同一条OY轴旋转后出现了两个位置，因为OY 是H面和W面的交线，也就是两投影面的共有线，所以OY轴随者H面旋转到OYH的位置，同 时又随者W面旋转到OYw的位置。为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图2一8 (c)所示。由于画三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略，如图2一8() 所示。 2、三视图的投影规律 从图2一9可以看出，一个视图只能反映两个方向的尺寸，主视图反映了物体的长度和高度， 俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的宽度和高度。由此可以归纳出三视图的投 影规律： 主、俯视图“长对正”（即等长）： 主、左视图“高平齐”（即等高）： 俯、左视图“宽相等”（即等宽）： 三视图的投影规律反映了三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。无论是整个物体还是
（c） （d） 图 2－8 三视图的形成遇展开 （3）三投影面体系的展开 在实际作图中，为了画图方便，需要将三个投影面在一个平面（纸面）上表示出来，规定： 使 V 面不动，H 面绕 OX 轴向下旋转 90°与 V 面重合，W 面绕 OZ 轴向右旋转 90°与 V 面重合， 这样就得到了在同一平面上的三视图，如图 2－8（b）所示。可以看出，俯视图在主视图的下方， 左视图在主视图的右方。在这里应特别注意的是：同一条 OY 轴旋转后出现了两个位置，因为 OY 是 H 面和 W 面的交线，也就是两投影面的共有线，所以 OY 轴随着 H 面旋转到 OYH 的位置，同 时又随着 W 面旋转到 OYW 的位置。为了作图简便，投影图中不必画出投影面的边框，如图 2－8 （c）所示。由于画三视图时主要依据投影规律，所以投影轴也可以进一步省略，如图 2－8（d） 所示。 2、三视图的投影规律 从图 2－9 可以看出，一个视图只能反映两个方向的尺寸，主视图反映了物体的长度和高度， 俯视图反映了物体的长度和宽度，左视图反映了物体的宽度和高度。由此可以归纳出三视图的投 影规律： 主、俯视图“长对正”（即等长）； 主、左视图“高平齐”（即等高）； 俯、左视图“宽相等”（即等宽）； 三视图的投影规律反映了三视图的重要特性，也是画图和读图的依据。无论是整个物体还是
物体的局部，其三面投影都必须符合这一规律。 图2一9视图闻的“三等”关系 3、三视图与物体方位的对应关系 物体有长、宽、高三个方向的尺寸，有上下、左右、前后六个方位关系，如图2一10()所 示。六个方位在三视图中的对应关系如图2一10(b)所示。 主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系： 俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系： 左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。（要求学生必须熟记。） 前 (a)立体图 (6)投形图 图2一10三视图的方位关系 注意：以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的 侧为物体的前面
物体的局部，其三面投影都必须符合这一规律。 图 2－9 视图间的“三等”关系 3、三视图与物体方位的对应关系 物体有长、宽、高三个方向的尺寸，有上下、左右、前后六个方位关系，如图 2－10（a）所 示。六个方位在三视图中的对应关系如图 2－10（b）所示。 主视图反映了物体的上下、左右四个方位关系； 俯视图反映了物体的前后、左右四个方位关系； 左视图反映了物体的上下、前后四个方位关系。（要求学生必须熟记 。） （a）立体图 （b）投影图 图 2－10 三视图的方位关系 注意：以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一 侧为物体的前面
四、小结 1、概念：投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。 2、正投影法的基本性质 3、三视图的投影规律 4、三视图与物体方位的对应关系 第八讲 §2一3点的投影 课题：1、点的投影及其标记 2、点的三面投影规律 3、点的三面投影与直角坐标 4、特殊位置点的投影 5、两点的相对位置 课堂类型：讲授 教学目的：1、介绍空间点及其投影的标记标记符号 2、讲解点的三面投影规律 3、讲解特殊位置点的投影 4、讲解两点的相对位置和重影点 散学要求：1、理解并掌握在两面和三面投影图中点的投影规律 2、熟练掌握点的投影与与其直角坐标的关系以及由点的两个投影求作第三投影的方法 3、掌握由点的轴测图作投影图和由点的投影图作轴测图的方法 4、根据两个点的投影，能够理解并判别该两点在空间的相对位置 5、掌握重影点的概念及其可见性的判别方法 教学重点：1、在两面和三面投影图中点的投影规律 2、重影点的概念和两点的相对位置 教学难点：1、点的三面投影与直角坐标的关系 2、特殊位置点的投影 教具：自制的三投影面体系模型 教学方法：课堂教学中要加强三等关系和六方位关系的基本训练，着重突出空间概念的培养，这 是树立空间概念，搭起空间架子的起步。这部分教学要突出空间位置的判断。运用直 观教具，采用讲授和演示教学法，讲情三投影面体系的有关内容和展开方法。注意以
四、小结 1、 概念：投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。 2、正投影法的基本性质 3、三视图的投影规律 4、三视图与物体方位的对应关系 第八讲 §2—3 点的投影 课 题：1、点的投影及其标记 2、点的三面投影规律 3、点的三面投影与直角坐标 4、特殊位置点的投影 5、两点的相对位置 课堂类型：讲授 教学目的：1、介绍空间点及其投影的标记标记符号 2、讲解点的三面投影规律 3、讲解特殊位置点的投影 4、讲解两点的相对位置和重影点 教学要求：1、理解并掌握在两面和三面投影图中点的投影规律 2、熟练掌握点的投影与与其直角坐标的关系以及由点的两个投影求作第三投影的方法 3、掌握由点的轴测图作投影图和由点的投影图作轴测图的方法 4、根据两个点的投影，能够理解并判别该两点在空间的相对位置 5、掌握重影点的概念及其可见性的判别方法 教学重点：1、在两面和三面投影图中点的投影规律 2、重影点的概念和两点的相对位置 教学难点：1、点的三面投影与直角坐标的关系 2、特殊位置点的投影 教 具：自制的三投影面体系模型 教学方法：课堂教学中要加强三等关系和六方位关系的基本训练，着重突出空间概念的培养，这 是树立空间概念，搭起空间架子的起步。这部分教学要突出空间位置的判断。运用直 观教具，采用讲授和演示教学法，讲情三投影面体系的有关内容和展开方法。注意以
下几个要点： 投影面展开前：(1)空间点对投影面的距离及对应坐标的关系。 (2)空间点的投影与其对应坐标的关系。 投影面展开后：要演示两投影连线与投影轴的关系，从而引出投影规律 教学过程： 一、复习旧课 简要复习有关投影法的几个基本概念。重点复习三视图的形成、投影规律和方位关系。 二、引入新课题 任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学习和掌握了几何元素的投影规律和特 征，才能透彻理解机械图样所表示物体的具体结构形状。本次课先来学习点的投影。 三、教学内容 (一)点的投影及其标记 当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。如图2-11()所示，假设空 间有一点A,过点A分别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a、a”,便是点A在三 个投影面上的投影。 规定用大写字母（如A)表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的 小写字母（如a、a和a")表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2一11(b)所示的带边框的三面投影图 即得到点A两面投影：省略投影面的边框线，就得到如图2一Ⅱ（©）所示的A点的三面投影图， (注意：要与平面直角坐标系相区别。) a (x,z) a(x,y) a
下几个要点： 投影面展开前：（1）空间点对投影面的距离及对应坐标的关系。 （2）空间点的投影与其对应坐标的关系。 投影面展开后：要演示两投影连线与投影轴的关系，从而引出投影规律。 教学过程： 一、复习旧课 简要复习有关投影法的几个基本概念。重点复习三视图的形成、投影规律和方位关系。 二、引入新课题 任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学习和掌握了几何元素的投影规律和特 征，才能透彻理解机械图样所表示物体的具体结构形状。本次课先来学习点的投影。 三、教学内容 （一）点的投影及其标记 当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个投影。如图 2－11（a）所示，假设空 间有一点 A，过点 A 分别向 H 面、V 面和 W 面作垂线，得到三个垂足 a、a′、a″，便是点 A 在三 个投影面上的投影。 规定用大写字母（如 A）表示空间点，它的水平投影、正面投影和侧面投影，分别用相应的 小写字母（如 a、a′ 和 a″）表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图 2－11（b）所示的带边框的三面投影图， 即得到点 A 两面投影；省略投影面的边框线，就得到如图 2－11（c）所示的 A 点的三面投影图， （注意：要与平面直角坐标系相区别。） （a） （b）
(c) 图2一1Ⅱ点的两面投影 (二)点的三面投影规律 1、点的投影与点的空间位置的关系 从图2-11(a)、(b)可以看出，Aa、Aa、Aa”分别为点A到H、V、W面的距离，即： Aa=aax=a"ay(即a"arw),反映空间点A到H面的距离： Aa=aax=a"a,反映空间点A到V面的距离： Aa”=aaz=aay(即aym),反映空间点A到W面的距离： 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画 出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。 2、点的三面投影规律 由图2-11中还可以看出： aayn=aa 即aa⊥Ox aax=a'avw即aa"⊥Oz aax=a"az 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因空间 点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即aaLOX: (2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直Oz轴，即aa”⊥OZ: (3)点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a”到OZ轴的距离，即aax=a"a:。(可 以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系) 根据上述投影规律，若己知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影
（c） 图 2－11 点的两面投影 （二）点的三面投影规律 1、点的投影与点的空间位置的关系 从图 2－11（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″ 分别为点 A 到 H、V、W 面的距离，即： A a = a′a x = a″a y (即 a″aYW)，反映空间点 A 到 H 面的距离； A a′=a a x = a″a z ，反映空间点 A 到 V 面的距离； A a″ = a′a z = a a y (即 aYH)，反映空间点 A 到 W 面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关系，若已知点的空间位置，就可以画 出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。 2、点的三面投影规律 由图 2－11 中还可以看出： a aYH = a′a z 即 a′a⊥OX a′a x = a″aYW 即 a′a″⊥OZ a a x = a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因空间 点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律： （1）点的正面投影和水平投影的连线垂直 OX 轴，即 a′a⊥OX； （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直 OZ 轴，即 a′a″⊥OZ； （3）点的水平投影 a 和到 OX 轴的距离等于侧面投影 a″ 到 OZ 轴的距离，即 a a x = a″a z 。（可 以用 45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系） 根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影
3、讲解例题（例2-1）己知点A的正面投影a和侧面投影a”(图2-12)，求作其水平投影a。 az YE (a)题目 (b)解答 图2一12已知点的两个投影求第三个投影 强调：一般在作图过程中，应自点0作辅助线（与水平方向夹角为45°），以表明aax=a"az 的关系。 (三)点的三面投影与直角坐标 1、点的三面投影与直角坐标的关系 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。投影 面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点0作为坐标原点。 由图2一13可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系： 点A到W面的距离=Oax=aa,=aaYH=x坐标： 点A到V面的距离=Oavu=aax=a"az=y坐标： 点A到H面的距离=Oa=aax=a"aw=z坐标
3、讲解例题（例 2－1） 已知点 A 的 正面投影 a′ 和侧面投影 a″（图 2－12），求作其水平投影 a 。 （a）题目 （b）解答 图 2－12 已知点的两个投影求第三个投影 强调：一般在作图过程中，应自点 O 作辅助线（与水平方向夹角为 45°），以表明 a a x = a″a z 的关系。 （三）点的三面投影与直角坐标 1、点的三面投影与直角坐标的关系 三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。投影 面 H、V、W 作为坐标面，三条投影轴 OX、OY、OZ 作为坐标轴，三轴的交点 O 作为坐标原点。 由图 2－13 可以看出 A 点的直角坐标与其三个投影的关系： 点 A 到 W 面的距离 = Oa x = a′a z = a aYH = x 坐标； 点 A 到 V 面的距离 = OaYH = a a x = a″az = y 坐标； 点 A 到 H 面的距离 = Oa z = a′ a x = a″aYW = z 坐标