4.2离散余弦(cos)变换 离散余弦变换也称为DCT变换,一维离散余弦变换的定 义由下式表示: F(0)=-∑f(x) Nx=0 2x+1)l丌 F() ∑∫(x)cos 2N 式中,u为频率变量,=0,1,…,N-1。f(x)是时域N点序列, ⅹ=0,1,,N-1 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 1 4.2 离散余弦(cos) 变换 离散余弦变换也称为DCT变换，一维离散余弦变换的定 义由下式表示： 式中，u为频率变量，u=0,1,…,N-1。f(x)是时域N点序列， x=0,1,…,N-1
维离散余弦变换的反变换由下式表示: N-1 f(r) √N F(0)+ ∑F()co、(2x+1)ux =0 2N 二维离散余弦变换的定义由下式表示: F(0,0) ∑∑f(x,y) +1)ax F(,0)=∑∑f(x,y)cos x=0y=0 2N F(0,y)=∑∑f(x,y)cos y N x=0y=0 2N F(u, v)=2-IN-1 2x+1)n(2y+1)vz f(x, y)cos 2N 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 2 一维离散余弦变换的反变换由下式表示： 二维离散余弦变换的定义由下式表示：
其中,f(x,y)是空间域二维阵列函数,x,y=1,2,,N-1, F(u,v)是频域二维阵列函数。式中表示的阵列为N×N。 二维离散余弦变换的反变换由下式表示: f(x,y)=F(0.0)+∑F(20)cos 2x+1)x√2 ∑F(0,)cos 2y+lvt 2N N N-1N-1 ∑F(u2v) 2x+1)x(2y+17 cOS =1y=1 2N 如果采用矩阵形式表示,则一维离散余弦变换由下式表示: [F(u)]=[A][f(x) f(x)]=[A]TF(u)] 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 3 其中，f(x,y)是空间域二维阵列函数，x,y=1,2,…,N-1， F(u,v)是频域二维阵列函数。式中表示的阵列为N×N。 二维离散余弦变换的反变换由下式表示： 如果采用矩阵形式表示，则一维离散余弦变换由下式表示： [F(u)]=[A][f(x)] [f(x)]=[A]T[F(u)]
对4×4的变换矩阵[A为 3 COS 8元 2 cos cos cos 8 8 8 3丌 cOS √2cos√2cos cOS 8 8 维离散余弦变换矩阵形式表示为 [F(u,V)]=[A][f(x,y)]A]T Lf (x, y)]=LA]lF(u, V)ILA 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 4 对4×4的变换矩阵[A]为： 二维离散余弦变换矩阵形式表示为： [F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T [f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A]
离散余弦变换可以按照定义直接计算,但实际上它是 种有快速算法的正交变换,下面我们推导其快速算法。 由定义 F(l)=1∑f( (2x+1) X)cos N 2N (2x+1)ur N2J() Refe 2N 3 2x+1) Re{∑f(x) 2N =0 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 5 离散余弦变换可以按照定义直接计算，但实际上它是 一种有快速算法的正交变换，下面我们推导其快速算法。 由定义
如果把时域数据作如下拓展: f(xr) 0,1,2,,N-1 f2(x) 0 X=N,N-1,…,2N-1 则f(x)的离散余弦变换可以写成下式: 2N-1 F(0) =0 F() ∑f(x)cos (2x+1)u 2N x+1)L Re{∑f(x)e28} x=0 Re{e2N·∑f(x)2N} 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 6 如果把时域数据作如下拓展： 则fe(x)的离散余弦变换可以写成下式：
实际上 ∑f(x)2N 是2N点的离散傅立叶变换,所以,离散余弦变换可以通 过把数据序列拓展为2N,然后作离散傅立叶变换,得到 的结果取其实部便可以得到离散余弦变换。 同理,在作反变换时,首先将F(u)作如下拓展: F() u=0.1.2.…N-1 F2() 0 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 7 实际上 是2N点的离散傅立叶变换，所以，离散余弦变换可以通 过把数据序列拓展为2N，然后作离散傅立叶变换，得到 的结果取其实部便可以得到离散余弦变换。 同理，在作反变换时，首先将F(u)作如下拓展：
那么,反变换也可以由下式表示: f(x)=-F2(0)+1∑F()cos (2x+1)xr N 22N-1 (2x+1)L丌 Fe(0)+13∑Fe(u)Re{e N l=1 2N-1 xun (0)+15Re{∑F(n)e2N 2x7 F2(0) Re{∑[F()22N]·e2N} L=0 由上式可以看出,离散余弦反变换可以由[F(l)·e2N]的2N点的离散傅立叶反变换实现。 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 8 那么，反变换也可以由下式表示：
4.3 Walsh- Hadamard(沃尔什一哈达玛)变换 离散傅立叶变换和离散余弦变换在快速算法中都用到 复数乘法,相对而言仍需要较多的计算时间。在某些应 用领域,需要更为方便有效的变换方法,沃尔什一哈达 玛变换就是其中的一种 Wlsh- Hadamard变换是一种矩阵元素值仅由1或-1 组成的正交变换矩阵,因此,用这种变换矩阵作变换处 理时,仅用到加、减法运算,可大大提高变换处理速度 对于 Walsh- Hadamard矩阵,有两种典型的序,即 Hadamard序的H及 Walsh序的H,对4×4的矩阵,H及H 分别为: 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作
2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 9 4.3 Walsh－Hadamard(沃尔什一哈达玛）变换 离散傅立叶变换和离散余弦变换在快速算法中都用到 复数乘法，相对而言仍需要较多的计算时间。在某些应 用领域，需要更为方便有效的变换方法，沃尔什一哈达 玛变换就是其中的一种。 Walsh－Hadamard变换是一种矩阵元素值仅由1或一1 组成的正交变换矩阵，因此，用这种变换矩阵作变换处 理时，仅用到加、减法运算，可大大提高变换处理速度。 对于Walsh－ Hadamard矩阵，有两种典型的序，即 Hadamard序的Hh及Walsh序的Hw，对4×4的矩阵,Hh及Hw 分别为：
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