燕山大学：《画法几何》第6次 换面法 第三章 换面法

第三章换面法 问题的提出 ★如何求一般位置直线的实长? ★如何求一般位置平面的真实大小? 解决方法:更换投影面。 换面法: 物体本身在空间的位置不动,而用某 新投影面(辅助投影面)代替原有投影 面,使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置,然后将物体向新投影面进 行投射

第三章 换面法 一、问题的提出 ★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。 解决方法：更换投影面

二、新投影面的选择原则 ●平行于新的投影面 b;●垂直于新的投影面 1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面, 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系

V H A B a b a b 二、新投影面的选择原则 1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 ⚫ 平行于新的投影面 ⚫ 垂直于新的投影面 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。 P a1 ' b1

、点的投影变换规律 1.更换一次投影面 (1)新投影体系的建立 ●旧投影体系ⅹY ●新投影体系X1 A点的两个投影:a,aA点的两个投影:a,a1

V H A a a ⚫ ⚫ ⚫ ax X   ⒈ 更换一次投影面 ⚫ 旧投影体系 X —V H ⚫ 新投影体系 P1 H X1 — A点的两个投影：a，a A点的两个投影：a，a1  ⑴ 新投影体系的建立 三、点的投影变换规律 X1 P1 a1 ' ax1 ⚫  ⚫ ⚫ V ⚫ H X P1 H X1 a a a1 '  ax ax1

(2)新旧投影之间的关系 oaa1⊥X1 一般规律: 1 点的新投影和与它有关的原投影的连线,必垂直 于新投影轴。 ②点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离

ax1 ⚫ ⚫ V ⚫ H X P1 H X1 a a a1 ' V H A a ⚫ ⚫ ⚫ ax X X1 P1 a1 ' ax1 ⚫ ⑵ 新旧投影之间的关系  aa1  ⊥ X1  a1 ax1 = aax  点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 ax a     一般规律：  点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。

(3)求新投影的作图方法 更换Ⅴ面 更换H面 1 1 H 作图规律: 由点的不变投影向新投影轴作垂线, 并在垂线上量取一段距离,使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离

⚫ ⚫ X V H a a ax 更换H面 ⑶ 求新投影的作图方法 ⚫ ⚫ V H X P1 H X1 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。 a a X1P1 V ⚫a1  ax ax1 ax1 更换V面 ● a1  作图规律：   .

2更换两次投影面 (1)新投影体系的建立 按次序更换 先把V面换成平面P,P1⊥H,得到中间新投影体系:x1B 再把H面换成平面P2,P2⊥P1,得到新投影体系:X2

⒉ 更换两次投影面 先把V面换成平面P1， P1⊥H，得到中间新投影体系: P1 H X1 — 再把H面换成平面P2，P2⊥ P1，得到新投影体系: X2 —P1 P2 ⑴ 新投影体系的建立 按次序更换 A a V H a ax X X1 P1 a1  ax1 ⚫ P2 X2 ⚫ ⚫ ⚫ ax2 a2 ⚫      

(2)求新投影的作图方法 作图规律 a2a1⊥X2轴 a2ax2aax1 X X

ax2 ⚫ a a X V H ⚫ ⑵ 求新投影的作图方法 ⚫ a2 X1 H P1 X2 P1 P2 作图规律 a2a1  ⊥ X2 轴 a2ax2 = aax1 a1  ⚫ ax ax1  .

四、换面法的四个基本问题 1.把一般位置直线变换成投影面平行线 例:求直线AB的实长及与H面的夹角。 空间分析:用P面代替V面,在P/H投影体系中,AB∥P1。 作图: b 换H面行吗?不行! 新投影轴的位置? 与ab平行

V H A B a b a b 四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 X1 H P1 P1 a1  b1  空间分析： 换H面行吗？不行！ 作图： 例：求直线AB的实长及与H面的夹角。 a b a b X V H 新投影轴的位置？ a1  ● b1  ● 与ab平行。 

2.把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析:一次换面把直线变成投影面平行线 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 作图: 2 b ∧x2 PIl H b b11 a2=b2 X2轴的位置?PP2 与a1'b1垂直

a1  ● b1  ● V H a a X B b b A 2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析： a b a b X V H X1 H1 P1 作图： X1 P1 a1  b1  X2 P2 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 X2轴的位置？ ⚫ a2b2 ax2 a2b2 ⚫ . 与a1  b1 垂直 一次换面把直线变成投影面平行线；

小结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。 换面法就是改变投影面的位置,使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系, 同时又有利于解题需要,这样才能使正投影规 律继续有效 、点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本 问题是解题的基本作图方法,必需熟练掌握

小 结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。 一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握