山东理子大军 SHANDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY G 第七章.荷载的统计方法 §7-1荷载的概率模型 §7-2荷载效应组合规则 §7-3常遇荷载的统计分析 §7-4荷载的代表值
2 第七章.荷载的统计方法 §7-1 荷载的概率模型 §7-2 荷载效应组合规则 §7-3 常遇荷载的统计分析 §7-4 荷载的代表值
§7.1荷载的概率模型 一、平稳二项随机过程模型 195 结构上的荷载可分为3类：永久荷载、可变荷载和偶然荷载。 永久荷载在结构使用期间，其值不随时间变化，或其变化与平均值相比 可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载，如结构自重、土压 力、预应力等。可变荷载在结构使用期间，其值随时间变化，且其变化与平 均值相比不可以忽略不计，如楼面活荷载、屋面活荷载和积灰荷载、吊车荷 载、风荷载、雪荷载等。偶然荷载在结构使用期间不一定出现，一旦出现， 其值很大且持续时间很短的荷载，如爆炸力、撞击力等。 施加在结构上的荷载，不仅具有随机性，一般还与时间有关，在数学上 可采用随机过程概率模型来描述。在一个确定的设计基准期T内，对荷载随机 过程作一次连续观测（如对某地的风压连续观测50年），所获得依赖于观测时 间的数据称为随机过程的一个样本函数。每个随机过程都是由大量的样本函 数构成的。 荷载随机过程的样本函数十分复杂，它随荷载的种类不同而异。目前对 各类荷载过程的样本函数及其性质了解甚少。在结构设计和可靠度分析中， 主要讨论的是结构设计基准期T内的荷载最大值Q,。不同的T时间内，统计得 到的Q值很可能不同，即Q为随机变量。为便于对Q的统计分析，通常将楼面 活荷载、风荷载、雪荷载等处理成平稳二项随机过程(Q(t),t∈T),其基本 假定如下。 3
3 §7.1 荷载的概率模型 一、平稳二项随机过程模型 结构上的荷载可分为3类：永久荷载、可变荷载和偶然荷载。 永久荷载在结构使用期间，其值不随时间变化，或其变化与平均值相比 可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载，如结构自重、土压 力、预应力等。可变荷载在结构使用期间，其值随时间变化，且其变化与平 均值相比不可以忽略不计，如楼面活荷载、屋面活荷载和积灰荷载、吊车荷 载、风荷载、雪荷载等。偶然荷载在结构使用期间不一定出现，一旦出现， 其值很大且持续时间很短的荷载，如爆炸力、撞击力等。 施加在结构上的荷载，不仅具有随机性，一般还与时间有关，在数学上 可采用随机过程概率模型来描述。在一个确定的设计基准期T内，对荷载随机 过程作一次连续观测(如对某地的风压连续观测50年)，所获得依赖于观测时 间的数据称为随机过程的一个样本函数。每个随机过程都是由大量的样本函 数构成的。 荷载随机过程的样本函数十分复杂，它随荷载的种类不同而异。目前对 各类荷载过程的样本函数及其性质了解甚少。在结构设计和可靠度分析中， 主要讨论的是结构设计基准期T内的荷载最大值QT 。不同的T时间内，统计得 到的QT值很可能不同，即QT为随机变量。为便于对QT的统计分析，通常将楼面 活荷载、风荷载、雪荷载等处理成平稳二项随机过程(Q(t),t∈T) ，其基本 假定如下
§7.1荷载的概率模型 1950 (1)荷载一次持续施加于结构上的时段长度为x,而在设计基准期T 内可分为Y个相等的时期，即r=T/π。 (2)在每一时段上荷载出现的概率为p,不出现的概率为q=1-p。 (3)在每一时段上，当荷载出现时，其幅值是非负随机变量，且在 不同时段上其概率分布函数F:(X)=P[Q(t)≤x,t∈]相同，这种概率 分布称为任意时点荷载概率分布。 (4)不同时段上的幅值随机变量是相互独立的，且与在时段上荷载 是否出现也相互独立。 以上假定实际上是将荷载随机过程的样本函数模型化为等时段的矩 形波函数（图7.1）。 荷载的样本函数
4 §7.1 荷载的概率模型 图7.1 荷载的样本函数
§7.1荷载的概率模型 1956 根据上述假定，导出荷载在设计基准期T内最大值Q的概率分布Fr(x)。 由假设(2)和(3)，任一时段x内的概率分布F,(x): F.(x)=P[O()x 1E] =P[Q(回≠0]pQ()≤x,tetQ)≠0 (7-1) +P[@(g)=0]P@()≤x,t∈xQ=0 =pF(x)+q1=pF(+(1-p)=1-p[1-E(x)] 由假设(1)和(4)，可得设计基准期T内最大值Q的概率分布Fr(x): R(=P[O,=P00-ΠP[0se (7-2) {-p-(]=-=]
5 §7.1 荷载的概率模型 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 11 i i i F x PQ x t PQt PQt x t Qt PQt PQt x t Qt pF x q pF x p p F x τ τ τ τ τ = ∈ = ≠⋅ ∈ ≠ + =⋅ ∈ = = ⋅ + ⋅= ⋅ + − =− ⋅ − ≤ ， ≤ ， ≤ ， ( ) [ ] ( ) ( ) { ( ) } { ( ) } 0 1 1 max 11 11 r T T j t T j r r i i j F x PQ x P Qt x PQt x p Fx p Fx τ τ = = = = = ∈ = − − =− − ∏ ∏ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ， (7-1) (7-2)
§7.1荷载的概率模型 设荷载在T年内出现的平均次数为N,则： 1950 N=pr 显然，(1)当p=1,N=r时，由式(7-2)得： B(=[(x) (2)当p<1时，利用近似关系式得：e-x≈1-x(x为小数)。 如果式(7-2)中p[1-F:(x)]项充分小，则： p0-✉) 由此： (x)[(x)] 由上述可知，荷载统计时需确定3个统计参数：①荷载在T内变动次数 或变动一次的时间τ；②在每个时段τ内荷载Q出现的频率p;③荷载任意时点 概率分布Ex)。采用平稳二项随机过程模型确定设计基准期T内的荷载最大值 的概率分布对于几种常遇的荷载，参数可以通过调查测定或经验判断 得到
6 §7.1 荷载的概率模型 ( ) ( ) N F x Fx T i = ( ) ( ) { } ( ) { } { ( ) } 1 1 1 [1 ] i i r pr p Fx p Fx pr F x e e T i F x − − − − ≈ = ≈ −−
§7.1荷载的概率模型 、195 二、荷载统计参数分析 按照上述平稳二项随机过程模型，可以直接由任意时点荷载概率分布 F:(x)的统计参数推求设计基准期T内荷载概率分布F7(x)的统计参数。 1.F:(x)为正态分布 F() y-4) -exp dy 2π 21 若已知设计基准期T内荷载的平均变动次数为N,可以证明F7(x)也近似服 从正态分布，即： y-4 exp d 26 其统计参数的均值：和方差σ：可按下列公式近似计算： ≈4+3.5 N
7 §7.1 荷载的概率模型 ( ) ( ) 2 2 1 exp d 2π 2 x i i i i y F x y µ −∞ σ σ − = − ∫ 4 1 T i 3.5 1 i N µ µ σ ≈+ − 4 i T N σ σ ≈
§7.1荷载的概率模型 1950 2.为极值I分布 F(x)=exp exp 其中，心：和u:为常数。其与均值：和方差o:的关系为： o,=1.2826a 4=4+0.5772a 由式(7-4)或(7-5)，得： F(x)=[F.(x)]=exp exp exp (In N)exp x-u-a:In N exp -exp 显然，F7(x)仍为极值型分布，将其表达为： F:(x)=exp X-1
8 §7.1 荷载的概率模型 ( ) exp exp T T T x u F x α − = −−
§7.1荷载的概率模型 、1956 参数μT、a与μ1、a:间的关系为： u,+a,In N dT=a 均值μT、方差o,与参数μ，、a的关系式仍为式(7-10)的形式 ,由此可得μT、a与μ1、o:的关系为： o7=g=1.28260% 4=4,+nN=0.5772a,+u+gnN 9
9 §7.1 荷载的概率模型 参数μT、αT与μi 、αi 间的关系为： 均值 μT 、方差σT 与参数μT 、αT的关系式仍为式(7-10)的形式 ，由此可得 μT 、αT与 μi 、σi的关系为： uu N Tii = +α ln α α T i = 1.2826 σσ α Ti i = = ln 0.5772 ln µ µα α α T ii N uN ii i = + = ++
§7.2荷载效应组合规则 结构在设计基准期内，可能经常会遇到同时承受恒载及两种以上可变荷 载的情况，如活荷载、风荷载、雪荷载等。在进行结构分析和设计时，必须 研究和考虑两种以上可变荷载同时作用而引起的荷载效应组合问题。因此， 为确保结构安全，考虑荷载效应组合，研究多个可变荷载是否相遇以及相遇 的概率大小问题。一般说，多种可变荷载在设计基准期内最大值相遇的概率 不是很大。例如最大风荷载与最大雪荷载同时存在的概率，除个别情况外， 般是极小的。但是研究这个问题远比单个荷载的问题复杂得多。 1.Turkstras组合规则 该规则轮流以一个荷载效应的设计基准期T内最大值与其余荷载的任意 点值组合，即取： Sci =max S,(t)+S (to)+L+(t)+S(t)+L+S,(to)(i=1,2,L ,n) (7-15) 1e0.T 在时间T内，荷载效应组合的最大值取为式(7-15)组合的最大值，即： Sc=max(Sci,SC2,L,Sc) (7-16) 其中任一组合的概率分布，可根据式(7-15)中各求和项的概率分布通过 卷积运身得列 10
10 §7.2 荷载效应组合规则 结构在设计基准期内，可能经常会遇到同时承受恒载及两种以上可变荷 载的情况，如活荷载、风荷载、雪荷载等。在进行结构分析和设计时，必须 研究和考虑两种以上可变荷载同时作用而引起的荷载效应组合问题。因此， 为确保结构安全，考虑荷载效应组合，研究多个可变荷载是否相遇以及相遇 的概率大小问题。一般说，多种可变荷载在设计基准期内最大值相遇的概率 不是很大。例如最大风荷载与最大雪荷载同时存在的概率，除个别情况外， 一般是极小的。但是研究这个问题远比单个荷载的问题复杂得多。 1. Turkstras组合规则 该规则轮流以一个荷载效应的设计基准期T内最大值与其余荷载的任意 点值组合，即取： 在时间T内，荷载效应组合的最大值取为式(7-15)组合的最大值，即： 其中任一组合的概率分布，可根据式(7-15)中各求和项的概率分布通过 卷积运算得到。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 10 10 0 [0, ] max ( ) ( 1,2, , ) Ci i i i n t T S St S t S t S t S t i n − + ∈ = + ++ + ++ = L LL C max( , , , ) C C Cn 1 2 S SS S = L (7-16) (7-15)
§7.2荷载效应组合规则 、195 图7.2为3个荷载随机过程，按Turkstras规则组合的情况。显然，该规 则并不是偏于保守的，因为理论上还可能存在着更不利的组合。这种组合规 则比较简单，并且通常与当一种荷载达到最大值时产生失效的观测结果相一 致。近年来，对荷载效应方面的研究表明，在许多实际情况下， “Turkstras:组合规则”是一个较好的近似方法。 JA Y++max X+max,+ maxY+X,+X 图7.23个不同荷载的组合
11 §7.2 荷载效应组合规则 图7.2为3个荷载随机过程，按Turkstras规则组合的情况。显然，该规 则并不是偏于保守的，因为理论上还可能存在着更不利的组合。这种组合规 则比较简单，并且通常与当一种荷载达到最大值时产生失效的观测结果相一 致 。 近年来 ， 对荷载效应方面的研究表明 ， 在许多实际情况下 ， “Turkstras组合规则”是一个较好的近似方法。 图7.2 3个不同荷载的组合