一类生产过程模型稳定性的决策分析

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1998.02.044 第20卷第2期 北京科技大学学报 Vol.20 No.2 1998年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.1998 一类生产过程模型稳定性的决策分析 范玉妹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要应用系统优化方法对一类生产过程建立系统模型，在稳定性分析的基础上应用控制论中 极点配置理论方法对系统作决策分析.结果表明，优化策略下系统达稳时间短，生产利用率高， 关键词生产过程；稳定性；决策分析 分类号TB114.1 工业生产系统一般都是复杂的系统，其对应的微分或差分方程模型的阶数很高，但基本 单元系统通常都是二阶的，因此，可仅就生产系统二阶生产环节给出研究分析结果.其方法可 以将计算机应用到高阶系统中.在系统建模时可用连续模型也可用离型模型，这2种模型存 在着对应关系并有相近的研究方法，因此本文仅就连续性情况进行论述.二阶生产环节系统 模型中含有延迟、中间产品贮备、管理决策、计划指令及有关生产参数.这个模型别除了生产 中的细节，抽象为1个二阶线性微分方程，应用控制论的优化方法研究这个模型 1二阶生产环节系统的模型 建模思想与方法见文献[1] 对生产过程中的中间产品贮备环节分析如下：中间产品贮备目的是为了持续进行地下一 加工过程的生产，贮备量短缺将导致下一生产环节中断，中间产品生产任务下达将从两方面 刺激生产的进程，其一导致贮备量减少，其二促进生产速度形成新的贮备量；为了取得进行下 一加工过程生产的安全系数，必须使贮备量不低于贮备常量，因此必须不断进行测量，根据贮 备量情况对各个工艺进行管理控制；而贮备量形成不是瞬时的，是在得到生产指令后分期分 批，经过一定时间后完成的，这是系统的延迟效应 设：u是产品生产任务量，b是非负常数，b·u为贮备量常量；加工中的中间产品量转变为 中间产品量的速度与加工中中间产品量成正比，其比例系数为α；产品生产速率等于生产任 务量，得系统模型： dx di=ax-u (1) d di=-x-ax bu (2) 式中：x为实际的中间产品贮备量；x为加工中的中间产品贮备量；a为比例数数，表示加工 能力反映出延迟效应 应用控制论中系统表示方法如图1所示 1997-08-25收稿范玉妹女，50岁，副教授

第 卷 年 第 期 月 北 京 科 技 大 学 学 报 一类生产过程模型稳定性的决策分析 闷刁‘ 叫尸 工 下已 土‘ 实卜 北京科技大学应用科学学 院 ， 北京 摘要 应 用 系 统优化方 法 对一类生 产过程建 立 系统模型 ， 在稳定性 分析的基础 上 应 用控制论 中 极 点配置理论方法 对系统作决策分析 结果表 明 ， 优化策略下 系统达稳时间短 ， 生产利用率高 关健词 生产过程 稳定性 决策分析 分类号 工 业 生 产 系 统一般都是 复杂 的系统 ， 其 对应 的微分 或差分方程 模 型 的 阶数很 高 ， 但基本 单元 系统通 常都是 二 阶的 ， 因此 ， 可仅就生 产系统二 阶生产环节 给 出研究 分析结果 其方法 可 以 将 计算 机 应 用 到 高 阶系 统 中 在 系 统建模 时可 用 连 续模 型 也 可 用 离型模 型 ， 这 种模 型存 在 着 对应 关 系并 有相 近 的研 究方法 ， 因此 本文仅就 连 续性 情 况 进 行 论 述 二 阶生产 环节 系 统 模 型 中含有 延 迟 、 中间产品贮备 、 管理 决策 、 计划 指令及 有 关生 产参数 这 个模 型剔 除 了生产 中的细节 ， 抽象为 个二 阶线性 微分方程 ， 应用控制论 的优化方法研究这个模型 二阶生产环节 系统的模型 建模 思想 与方 法见 文 献【 对生产 过程 中的 中间产 品贮备环节分析 如下 中间产 品贮备 目的是 为 了持续进行 地下 一 加 工 过 程 的生 产 ， 贮备量 短 缺将导致 下 一 生产环 节 中断 ， 中间产品 生产任务下 达将从 两方 面 刺激 生 产的进程 ， 其一 导致贮备量减少 ， 其二促进生产速度形成新 的贮备量 为 了取得 进行 下 一加 工 过程 生 产 的安全 系数 ， 必须使贮备量不低于贮备常量 ， 因此必须 不 断进行 测量 ， 根据贮 备量 情 况 对各 个 工 艺进 行管理 控制 而贮备量形 成不是 瞬时 的 ， 是 在得 到 生 产指令 后分期分 批 ， 经过 一定 时 间后 完成 的 ， 这是系统的延迟效应 设 “ 是 产 品生 产任务量 ， 是 非负常数 ， · “ 为贮备量 常量 加工 中的 中间产 品量 转变为 中间产 品量 的速 度 与加 工 中 中间产 品量 成 正 比 ， 其 比例系数 为 产 品生 产 速 率等于 生 产任 务 量 ， 得 系 统模 型 叭 刁丁 凡 一 争一 、 一 。 、 。 式 中 为 实 际 的 中间产 品贮备量 毛为加工 中的 中间产 品贮备量 。 为 比例数数 ， 表示 加 工 能力反 映 出延 迟效应 应用控制论 中系 统表示 方法 如 图 所示 一 一 收稿 范玉妹 女 ， 岁 ， 副教授 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．02．044

Vol.20 No.2 范玉妹：一类生产过程模型稳定性的决策分析 ·193· 围图1中间产品生产环节系统 由图1可见，此系统是闭环系统，根据系统稳态性质可求出系统稳定值.a,b,u为常数.当 ∞时，内部状态变量x(④，(0都是常数，即有x=0,x0.从图1和式(1)，(2)知稳态时有 a-4=0 x=(b-1)w 即 x=ula (3) -x-ax +bu=0 此即表明本系统是稳定的.但不管a,b如何选取，中间产品贮备量x达不到预定值，存在一定 的误差.为此在管理决策处作一点变动，相应方程(1)，(2)变为： dx, d=a5-4 (4) d =-X-a+(b+1)u (5) 则系统稳定值为x=bu,x=Wa,相应决策处x的常量控制依据就是(b+1)u一x的大小. 2二阶生产环节系统稳定性分析 上述分析表明系统是稳定的，不管，b,“如何取，在管理决策下终将达到均衡，系统稳定 值也容易求出.但是，生产管理的目的并不仅此，当系统受到干扰后尤其是系统失稳后，如何 采取相应的策略，使系统在最短时间内达到平稳进行正常生产，这是最重要.下面讨论影响系 统稳定或起伏的因素以及从非平稳到平稳的过渡过程即策略的评价 设初始状态变量x(0)=x(0),x(0)=x(0),对系统方程作拉氏变换，得到 Sx(s)x(0)=ax(s)-u/s Sx()-x0)=-x()-ax+(b+1)4/s 由此解出： 网= s(s a)x(0)sax(0)-(s+a)u+a(b+1)u s(s2+a5+a) (6) 回=0-0)-6+1)w-4 -s(s2+as a) (7) 若初始状态处于稳态值，即x(0)=b4,(0)=ula代入式(6)，（⑦）中可解出 x(s)=ub/s x(1)ub (s)=u/as 反演得到 (0=u/a’

乙 范玉妹 一类 生产过程模型稳定性 的决策分析 丫二 图 中间产品生产环节系统 由图 可 见 ， 此 系 统是 闭环 系统 ， 根据 系 统稳 态性 质 可 求 出系 统稳定 值 ， ， “ 为常数 当 卜 时 ， 内部状态变量 ， ， 毛 都是 常数 ， 即有 ， 毛一 从 图 和 式 ， 知稳态 时有 一 毛 ︸﹄ 毛 协日” 一 一 一 毛 此 即表 明本系统是稳定 的 但不管 ， 如何选取 ， 中间产 品贮备量 的误差 为此在管理 决策处作一点变动 ， 相应方程 ， 变为 电 刁了 毛 一 达不到 预定值 ， 存在 一定 了、‘爪了、 ︼、 ︸ 、、少户 叭 一 一 一 毛 则系 统稳定值 为 ，毛 ， 相 应决策处 的常量控 制依据就是 “ 一 的大小 二 阶生产环节系统稳定性分析 上述分析表 明系 统是稳定 的 ， 不管 ， ， “ 如何取 ， 在 管理 决 策下终将达 到 均衡 ， 系 统稳 定 值也容易求 出 但是 ， 生产管理 的 目的并不 仅此 ， 当系 统受到 干扰后 尤 其是 系 统失 稳 后 ， 如何 采取相 应 的策略 ， 使系统在最短 时间 内达到 平稳进行 正 常生 产 ， 这 是最重要 下 面讨论影 响系 统稳定或起伏的因素以及从非平稳到平稳的过渡过程 即策略的评价 设初始状态变量 ， ， 以 一以 ， 对系 统方 程作拉 氏变换 ， 得到 狱 一 毛 一 熟 一 毛 一 一 凡 由此解 出 戈 凡 一 ， ， 一 毛 一 一 若初始状态处于 稳态值 ， 即 一 ， 一 ， 毛 代人 式 ， 中可解 出 毛 一 ’ 反演得 到 毛

·194· 北京科技大学学报 1998年第2期 此即表明在初始状态处于稳定时，系统达到稳定状态所需时间为零 若初始状态处于非稳态时，即x0)=0,(0)=0,代人式(6)，(7)中有 x(d=二w+abu s(s2+as a) (8) s(b 1)u+u x(S)= s(s2+as +a) (9) 第1种情况：系统有重极点，即a2=4a,应用待定系数法及拉氏变换反演得到 x0=bu-bue-u+5bmre号 0=u1a-u/0e+bu+re号 (11) 此式表明，系统波动与α无关即工艺生产有足够能力克服系统内部由于初态非稳造成的影 响，而b,“的输人是造成波动的主要因素；一般b是定常数，从式(11)，(12)中可得x(),x(④波 动与u值的关系. 第2种情况：系统有共轭复根，即a242.此时它同第1种情况类似 对实际系统a取值均为a2<4a时，则a取值多少为宜由实际情况而定.比如要求x,波动 最小，即min叫2=∫((0-u/a)2d要求x与bu之差最小，即min叫-∫(x(0-bw2d. 对两者目标赋权1[1小、[2]，则总目标函数为min[(x()-bu)2+(:()-u/2)门dk.结合 式(4)，(5)就可形成一个最优生产控制问题， 3二阶生产环节系统的决策分析 对实际生产系统，除要求系统稳定外，还要尽快地达稳本文的模型中4作为系统输人一 般是不可改变的，因此改善系统达稳品质只有从改善内部参数和结构着手.控制论中关于极 点配置理论为改善系统达稳品质提供了】种方法 将式(1)，(2)改写为dx/dt=Ad0+Gu(0. 若从实际问题中得到的系统其条件满足可控判别准则，由文献[2]中关于系统可控判别 准则及控制方法的定理，则可找到K,从什BK中得到系统决策即系统达稳品质的改进方法， 现仅对式(4)，(5)特例作一演示性说明.令a=1,b=2则有

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 此 即表 明在初始状态处于稳定时 ， 系 统达到稳定状态所需 时间为零 若初 始状态处于非 稳态 时 ， 即 ， 以 ， 代人式 ， 中有 一 一 ， 一 ， 。 应用待定系数法及拉 氏变换反 演得 到 毛 第 种情 况 系 统有重极点 ， 即 矿 ’ 。 ‘、了 刁‘几卫 、、少尸 一 “一 ”一 号 ‘ 一 · 告 ·” · ，一号 ‘ 、 ” 一 ‘ 一 · ‘ · 一号 ‘ ” · 告 · ‘ 一号 此 式 表 明 ， 系 统波 动 与 无 关 即工 艺生 产有 足 够 能 力克服 系 统 内部 由于 初 态非稳 造 成 的影 响 ， 而 ， “ 的输人是 造 成波 动的主要 因素 一般 是 定 常数 ， 从式 、 中可得 ， 毛 波 动 与 “ 值 的 关系 第 种情况 系 统有共扼复根 ， 即 “ ， 应用 特定 系数法及拉 氏变换反 演得 到 一 ”一 ”一号 ‘ 一 一 告 一 ， 封 － 苦 ‘ 一 · 一 告 一 ， ， 、 一 ‘ 一 · · 一号 ‘ 一 一 告 一 ， 。 一 琴 一 告 一 · 一 号 ‘ 一 · 一 告 一 ， 此式 表 明 ， ， 毛 波 动周期 与 有 关 第 种情 况 当 矿 此 时它 同第 种情 况类似 对实际系统 取值均 为 时 ， 则 取值多少 为宜 由实际情况 而定 比如要求 波 动 最小 ， 即而叭 了毛 一 。 ’， 要求 与 之差最小 ， 即而喊 了， 一 ’ 对两者 目标赋似 川 、 双 ， 则总 目标函数为而 牡， 一 ’ 以 一 “ ’ 结合 式 ， 就 可形 成一个最优生产控制 问题 二阶生产环节系统的决策分析 对实 际生 产 系 统 ， 除要 求 系 统稳定外 ， 还要尽快地 达稳 本文 的模 型 中 作为系 统输人 一 般是 不 可 改 变 的 ， 因此 改 善 系 统达稳 品质 只 有从 改 善 内部 参数 和结构 着 手 控 制论 中关于 极 点配置理论为改善系 统达稳 品质提供 了 种方法 将式 ， 改写 为 注戏 若从实 际 问题 中得 到 的系 统其条件 满足 可 控判别准则 ， 由文 献【 中关于 系 统可 控 判别 准则及 控制方法 的定理 ， 则 可 找到 ， 从 中得 到系 统决 策 即系统达稳 品质 的改进方法 现 仅 对 式 ， 特 例 作 一 演 示 性 说 明 令 ， 则 有

Vol.20 No.2 范玉妹：一类生产过程模型稳定性的决策分析 ·195· ,]][ (14) 如果认为达稳时间过长，目前生产能力又有余地，则可改进系统达稳品质即改变决策方法 式(14)的方程A阵的特征根据即系统极点为 1V3 把系统极点向虚轴靠拢，如果把极点移到i,一i上，则新系统A阵的特征方程是y2+1=0,则 作如下调整 配置目的：使新系统的特征方程为y2+1=0, 因为Rank(AB:)=2,故原系统能控. 计算本系统特征方程 ay2+ay+a=0,a2=l,a1=1,a。=1, 则 K=(a。-a,a1-a)=(0,1), 式中，a,a,为新系统的特征方程系数. 由 P=(AB:B) 等到 p[9] 则 K=K.P-1=(-1/3,1、3), 新系统A为 A=A+BK 1/3 2/31 -1/3 由此得到经改进的生产系统： 】 2 =+5“ 是=-3x-35+3 51 易知本系统极点为士，其平稳值则变为x0-弘0=子“ 5 2 可见，x()的期望保有值由2u变为(53)4，x平稳值则由u变为(23)，x()的获得速率 为：(1/3)x(④+(2/3)x();减少速率仍为生产任务山，x(④的获得速率为3，减少速率(5/3)x(0 +(1/3)x()这就是系统的新生产控制优化策略，在这种优化策略下，系统达稳时间短，生产 能力利用率高. 4结论 现代工业生产实际存在的系统往往是高阶的和离散的.但基本单元系统是二阶的.因此

范玉妹 一类生产过程模型稳定性 的决策分析 奥 一 一 几 · 一 · 一 如 果 认 为 达稳 时 间过 长 ， 目前 生 产能力 又 有 余地 ， 则 可 改 进 系 统 达 稳 品质 即 改 变 决 策 方 法 式 的方程 阵的特征根 据 即系统极点 为 一委李 ， ， ，， 一 喜 一 乙 乙 一 乙 李乙 把系 统极点 向虚轴靠拢 ， 如果把极点移到 ， 一 上 ， 则新 系 统 阵的特征方程是 尹 ， 则 作如下 调整 配置 目的 使新 系统的特征方程 为 尹 ， 因为 切 均 ， 故原系统能控 计算本系统特征方程 尹 夕 ， ， ， 。 ， 则 。 一 。 ， 一 ， ， 式 中 ， 瓦 ， 石为新 系 统 的特征方程 系数 等到 尸 一 ‘ · ， 尸 一 ’ 一 一 装长 天‘ · 尸一 新 系 统 为 由此得到 经改进 的生产系 统 毛 一飞‘ ︸， 叭 一 叭 一 一 一 一 一 工 “ ’ 一 一 ， ‘ ‘ 、 ， 一 一 。 一 、 ， 易 知本示 犹做 点刀 士 ， 兵十杨但则 父刀 万 ， 毛 一 “ 可 见 ， 的期望 保有值 由 变 为 ， 毛 平稳值 则 由 。 变 为 。 ， 的获 得 速率 为 毛 减 少速率仍 为生产任务 “ ， 毛 的获得 速 率为 ， 减少 速 率 毛 这就是 系 统的新 生 产控 制优化策 略 ， 在 这种 优化 策略下 ， 系 统达稳 时 间短 ， 生 产 能力利用率高 结论 现 代工 业 生 产 实 际存在 的系 统往 往是 高 阶的和 离散 的 但基 本 单元 系 统是 二 阶 的 因此

·196· 北京科技大学学报 1998年第2期 其相应的稳定性的决策分析方法可在本文提供的思想与方法上加以推广. 参考文献 1范玉妹指数延迟函数的一种解析表达式及参数的确定.运筹学杂志，1990,9(2)：31 2古田胜久.佐野昭著线性系统理论基础.朱春无译.北京：国防工业出版社，1983 Decision Making Analysis of Production Process Model Stability Fan Yumei Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on the method of system optimization,a production process model is established.An decision making analysis of production process model stability behaviors is conducted using the system control theory and its method.There are enough facts show that using this method costs the system much less time to get stability and makes the productivity more efficiently utilized. KEY WORDS production process;stability;decision making analysis

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 其相 应 的稳 定性 的决策分 析方法 可 在本文提供 的思想 与方 法 上加 以 推广 参 考 文 献 范玉妹 指数延 迟 函数的一种解析表达式及参数的确定 运筹学杂志 ， ， 古 田 胜久 佐野昭 著 线性 系 统理论基础 朱春无译 北京 国 防工业 出版社 ， 卢 刀 阴已 二 】 ， ， 飞 ， 盯 而 ， 代犯 代兄 巍