口第五章机器人操作机工作空间 5.1概述 工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B.Roth 在1975年提出了操作机工作空间的概念。 511基本概念 操作机的工作空间:机器人操作机正常运行时,末端执 行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围;或者说该原 点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工 作空间,记作W(B。 今灵活工作空间:在总工作空间内,末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作W(P)。 次工作空间:总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的 部分。记作Ws(P)
2 第五章 机器人操作机工作空间 5.1 概述 5.1.1 基本概念 工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能。B．Roth 在1975年提出了操作机工作空间的概念。 ➢ 操作机的工作空间：机器人操作机正常运行时，末端执 行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原 点可达点占有的体积空间。这一空间又称可达空间或总工 作空间，记作W(P)。 ➢ 灵活工作空间：在总工作空间内，末端执行器可以任意 姿态达到的点所构成的工作空间。记作Wp (P)。 ➢ 次工作空间：总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的 部分。记作Ws(P)
根据定义,有 w(p)=w,(p)+w(p) 般说来,工作空间都是一块或多块体积空间,它们都具 有一定的边界曲面(有时是边界线)。W(P边界面上的点所 对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形。与奇异位形相应 的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的,所以操作机的工作空 间边界面又常称作雅可比曲面,即雅可比矩阵的行列式等于 零所对应的曲面。 灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响,通常分 作两类: I类一末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间, 表示为Wl(P); I类—只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间, 表示为W2(P)
3 根据定义，有: 一般说来，工作空间都是一块或多块体积空间，它们都具 有一定的边界曲面(有时是边界线)。W(P) 边界面上的点所 对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形。与奇异位形相应 的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的，所以操作机的工作空 间边界面又常称作雅可比曲面，即雅可比矩阵的行列式等于 零所对应的曲面。 灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响，通常分 作两类： I类 —末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为 Wp1 (P) ； II类 —只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间， 表示为 Wp2 (P)。 ( ) ( ) ( ) W p W p W p = + p s
下面以平面3R操作机为例,说明上述基本概念。 如图所示的3R操作机,由三杆L,L,和H组成。后两杆的 长度之和小于L1的长度。取手心点P为末端执行器的参考点, 令h,B分别为h,b杆的长度,h为手心点P到关节点O的 长度(即H杆的长度),则: 1)圆a:半径为R=4+l2+h, 圆C:半径为R1=1-l2-h, 分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P)。 2)圆2:半径为R1=41+l2-h, 圆a:半径为R1=1+2+h, 分别是灵活工作空间的边界。 它们之间的环形面积即W(P)
4 下面以平面3R操作机为例，说明上述基本概念。 如图所示的3R操作机，由三杆L1，L2，和H组成。后两杆的 长度之和小于L1的长度。取手心点P 为末端执行器的参考点， 令l1，l2 分别为l1，l2 杆的长度，h为手心点P 到关节点O8 的 长度(即H杆的长度)，则： 1)圆C1:半径为 ， 圆C4:半径为 ， 分别是该操作机的总工作空 间的边界。它们之间的环形 而积即W(P) 。 R l l h 1 1 2 = + + R l l h 4 1 2 = − − C1 C4 C2 C3 2）圆C2:半径为 ， 圆C3:半径为 ， 分别是灵活工作空间的边界。 它们之间的环形面积即Wp(P)。 R l l h 1 1 2 = + + R l l h 4 1 2 = + −
3)圆G到圆之间;圆O到圆C之间两环形面积即为次工作 空间。 由此可以看出: 1)在W(P)中的任意点为全 W(P 方位可达点。 2)在G和圆上的任一点, 只可实现沿该圆的切线方 W(P)! 向的运动。 3)末杆H越长,即h越大,O 越大,C越小,总工作空C 间越大;但相应的灵活工 CI 作空间则由于的增大和 3的减小而越小。 4)工作空间同时受关节的转角限制。 5
5 C1 C4 C2 C3 3）圆C1到圆C2之间；圆C3到圆C4之间两环形面积即为次工作 空间。 由此可以看出： 1)在Wp(P)中的任意点为全 方位可达点。 2)在C1和C4圆上的任一点， 只可实现沿该圆的切线方 向的运动。 3)末杆H越长，即h越大，C1 越大，C4越小，总工作空 间越大；但相应的灵活工 作空间则由于C2的增大和 C3的减小而越小。 4)工作空间同时受关节的转角限制
512工作空间的两个基本问题 1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变 化范围,求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。 2)给出某一限定的工作空间,求操作机的结构形式、参数和 关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。 5.2工作空间的形成及确定 Zn-1 521工作空间的形成 Zn-2 Wn-uimn (Pn)=Rot(zn,0,-) W-i(P Pn末杆上的参考点 W(*)一参考点占据的工作空间 工作空间边界上的界限点构成界限 曲面。界限曲面可以用不同方法求出。 6
6 5.1.2 工作空间的两个基本问题 1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变 化范围，求工作空间。称为工作空间分析或工作空间正问题。 2)给出某一限定的工作空间，求操作机的结构形式、参数和 关节变量的变化范围。称工作空间的综合或工作空间逆问题。 5.2 工作空间的形成及确定 5.2.1 工作空间的形成 Zn-1 Zn Zn-2 Pn ( 1) ( ) ( , ) ( ) W P Rot Z W P n j n n j n j n j n − + − − − = Pn — 末杆上的参考点； W(*) —参考点占据的工作空间。 工作空间边界上的界限点构成界限 曲面。界限曲面可以用不同方法求出
522工作空间的确定 、解析法 由操作机工作空间的形成可以看出,其工作空间W(P)的 界限曲面∑m(P)可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此,多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 若在空间有一条曲线正存在,它上面的每一个点都是与曲 线族{T}中的每一条曲线相切的切点,曲线中的不同的线与 相切于不同点,称为该曲线族的包络。 若存在一曲面Σ,与曲面族x}中的任一曲面都沿一条曲 线C相切,这时Σ就称作该曲面族的包络
7 1、解析法 5.2.2 工作空间的确定 由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 的 界限曲面 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成 的曲线族或曲面族的包络。因此，多次运用单参数曲面族的 包络公式能够顺序求得工作空间的界限曲面。 0 ( ) W Pn 0 ( ) W P n 若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲 线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与 相切于不同点，称 为该曲线族的包络。 若存在一曲面 ，与曲面族 中的任一曲面都沿一条曲 线 相切，这时 就称作该曲面族的包络。 Ct
下面给出一种分组求解操作机工作空间W(P)包络界限曲 面w(P)的基本思想。 对于自由度F≤6的机器人操作机,将操作机的前三杆(或前 关节)划为一组,在第三杆上设置参考点P(相当于腕点),求 其绕各关节运动形成的曲面的包络,得到界限曲面二参考 将后面各杆(4、5、6杆)划为另一组,在末杆上取 点 P(可取手心点),求出其绕后面关节运动形成的曲面(线)的 包络,得到界限曲面Σm)° 让Em()沿m(e)运动,就形成了双参数曲面族,可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面m(P) 可见,求工作空间的问题,可以归结为求曲面(线)族的包 络问题
8 下面给出一种分组求解操作机工作空间 包络界限曲 面 的基本思想。 0 ( ) W Pn 0 ( ) W P n 对于自由度 的机器人操作机，将操作机的前三杆(或前 三关节)划为一组，在第三杆上设置参考点P3(相当于腕点)，求 其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 。 将后面各杆（4、5、6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点 P6(可取手心点)，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的 包络，得到界限曲面 。 让 沿 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应 的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。 F 6 0 3 W P( ) 3 ( ) W P n 3 ( ) W P n 0 3 W P( ) 0 ( ) W P n 可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包 络问题
分别用r、Σ;{}、{};F、Σ表示母线、母面,曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络: 设有曲线用向量方程表示: ()=(x(),y(,() 式中t是曲线T的几何参数。 再设曲线I以a为参数运动,则在空间相应于不同的a,就 形成了一系列的以『为母线的曲线族。记作{T},其方程为: B r=r(t, a)=(x(t, a), y(t, a),=(t, a) 一式中是曲线的运动参数。曲线族的包络方程为: 0 式中=Or ot’la /0a
9 分别用 、 ； 、 ； 、 表示母线、母面，曲线族、曲 面族以及它们的包络。 曲线族的包络： 设有曲线 用向量方程表示： ： r r t x t y t z t = = ( ) ( ( ), , ( ) ( )) 式中t是曲线 的几何参数。 再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的 ，就 形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作 ，其方程为: ： r r t x t y t z t ( , , , , , , ) ( ( ) ( ) ( )) = = 式中 是曲线 的运动参数。曲线族的包络方程为： ： ( , ) 0 t r r t r r = = 式中 rt r ， t = r r =
曲面族的包络: 设有曲面Σ用向量方程表示: 式中W,w是曲面Σ的几何参数。 再设曲面2以a为参数运动,得到曲面族{x},其方程为 ru v C 曲面族的包络Σ的方程为: r=r(uva r,×r,)·F 0 式中r+=br 5 Or aa 10
10 曲面族的包络： 设有曲面 用向量方程表示： ： r r u v = ( , ) 式中 u，v 是曲面 的几何参数。 再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族 ，其方程为: ： r r u v ( , , ) = ： ( , , ) ( ) 0 u v a r r u v r r r = = 曲面族的包络 的方程为： 式中 r u r ， ， u = r r = v r r v =
若再以B为参数运动,得到曲面族{},其包络(称为 次包络)的方程为 r=r(u,v,a,B) ru 0 式中r*=Or * 水 O O 水水 水水 O
11 若 再以 为参数运动，得到曲面族 ，其包络（称为 二次包络） 的方程为: ： ( , , , ) ( ) 0 ( ) 0 u v a u v r r u v r r r r r r = = = 式中 r u r ， u = v r r v = r r = r r =