口第六章机器人静力学和动力学 静力学和动力学分析,是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析,它还是机器人控制器设计 动态仿真的基础 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式,作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时,各关节 力(矩)与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力(矩)间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性,其动力学模型也常常很复杂,因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性,因此,如何合理简化机 器人动力学模型,使其适合于实时控制的要求,一直是机器 人动力学研究者追求的目标
2 第六章 机器人静力学和动力学 静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分 析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、 动态仿真的基础。 机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器 人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节 力（矩）与接触力的关系。 机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动 态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由 于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此 很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的 控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机 器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器 人动力学研究者追求的目标
6.1机器人静力学 、杆件之间的静力传递 在操作机中,任取两连杆L,L1。设在杆L上的O点 作用有力矩M1和力F1;在杆L上作用有自重力(过质 心C1);r和r分别为由O到O+和C的向径。 F Gi="emi
3 6.1 机器人静力学 一、杆件之间的静力传递 在操作机中，任取两连杆 ， 。设在杆 上的 点 作用有力矩 和力 ；在杆 上作用有自重力 〔过质 心 ）； 和 分别为由 到 和 的向径。 Li Li+1 Li+1 Oi+1 Mi+1 Fi+1 Li Gi Ci i r Ci r Oi Oi+1 Ci Fi+1 Mi+1
按静力学方法,把这些力、力矩简化到的固联坐标系 xy=,可得: .=F,+g M1=Mt+1+r1×F+1+ra1×G 或 R+Fi+l+Ro M1= R2 MM+r R1F计1+r2×RG1 0 式中G=-mg(m1.为杆1的质量)。 求出F和M在轴上的分量,就得到了关节力和扭矩 它们就是在忽略摩擦之后,驱动器为使操作机保持静力平 衡所应提供的关节力或关节力矩,记作,其大小为 kF. kM
4 按静力学方法，把这些力、力矩简化到 的固联坐标系 ，可得： Li o x y z i i i i − 1 1 1 i i i i i i i Ci i F F G M M r F r G + + + = + = + + 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Ci i F R F R G M R M r R F r R G + + + + + + + + + = + = + + 或 式中 ( 为杆 的质量)。 0 G m g i i = − mi Li 求出 和 在 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩， 它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平 衡所应提供的关节力或关节力矩，记作 ，其大小为 Fi M i i z i i = i kF i kM
当忽略杆件自重时G;,上式可简记为 R i+1 01F7+1 r1×R+1R+11M 若以z10表示不计重力的关节力或力矩值,对于转动关节 则有: z1=z0+k∑( ri.c X 一式中rc,—是自O到杆L的质心C,的向径 5
5 1 1 1 1 1 1 0 i i i i i i i i i i i i i i i F R F M r R R M + + + + + + = 当忽略杆件自重时 Gi ，上式可简记为： 若以 表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节 则有 ： i0 0 ( ) , j n i i j i i C j i k r G = = + 式中 ri C, j ——是自 Oi 到杆 Lj 的质心 Cj 的向径
例1求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。 解: 设已知 F3=F&, Fax, 0] F2=RF3=LF3 F2 0J M2=r2XF2+2×R引一m28) l2 F grf2S12 0×]F3+0×-g2 0 0 G L, Far-lcagm2 cu τ2=k2·M2=laF3y-lc2m2c1 式中c12=cos(6+62),s1g=sim(1+日2) 6
6 例1 求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。 解： 设已知
2“3y FisRT Fa+cF 2 By M1=R2M2+1XF+xC计 F 0×s2F+c2F3y I2F3r-4c2g m2C12 1 fIgs +0|×一m1Bc 0 0 Faxcl2+G,ce)+4,s2F3x-( c2m28c12+Icim18c:) 7
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k·M F器(2+l12)+l12F-(l2m28z+lm8c) 当略去重力力矩时,有t s2 l,+lcr 0 2522 H1C1+lciA 根据公式(7-6),得 51 2s12 c !|n ≥21 8
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二、操作机的静力平衡 设有操作机如图所示,每个关节都作用有关节力矩1(广 义驱动力,指向=的正向),在末端执行器的参考点P处 将产生力F和力矩M2由于F、M。是操作机作用于外 界对象的力和力矩,为了和输入关节力矩一起进行运算, 故应取负值。 P .5P
9 二、操作机的静力平衡 设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 (广 义驱动力，指向 的正向)，在末端执行器的参考点 处 将产生力 和力矩 。由于 、 是操作机作用于外 界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 一起进行运算， 故应取负值。 i z Pe i Fe M e Fe M e i
利用虚功原理建立静力平衡方程,令 o=Fer, Fey, Fes, Mex, Mey, Me: I 6q=[a12…41,…Oan] 6p=|ox2,6y2 e 2 于是,操作机的总虚功是: SW=t 8g- 8p 根据虚功原理,若系统处于平衡,则总虚功虚功之和)为0, t og-Qdp=0 10
10 1 , , , , T i n = , , , , , T Q F F F M M M ex ey ez ex ey ez = 1 , , , , T q q q q = i n , , , , , T p x y z e e e x y z = 利用虚功原理建立静力平衡方程，令 于是，操作机的总虚功是： 根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)为0， 即 T T W q Q p = − 0 T T q Q p − =
由机器人运动微分关系可知,δp=Jq,则有 r-Jo 5q 因为q是独立坐标,则6≠0,所以有 JQ 式中J—是速度分析时引出的雅可比矩阵,其元素为相应 的偏速度。 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点P间所产生的 力和力矩之间的关系式 该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可 比矩阵J进行变换。这种变换关系,也可推广到任两杆间固 联直角坐标系中的广义力变幻,这时应将关节空间与直角坐 标空间的雅可比矩阵,换作直角坐标空间的雅可比矩阵
11 式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。 由机器人运动微分关系可知， p J q = ，则有 0 T T − = J Q q 因为 qi 是独立坐标，则 q 0 ，所以有 T = J Q 上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 间所产生的 力和力矩之间的关系式。 Pe 该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可 比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固 联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐 标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵