Logistic映射数字流混沌奇怪吸引子及参数

D0I:10.13374j.issn1001-053x.2002.03.074 第24卷第3期 北京科技大学学报 VoL.24 No.3 2002年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2002 Logistic映射数字流混沌奇怪吸引子及参数 郑德玲赵耿徐国保 北京科技大学信息工程学院，100083，北京 摘要对离散点混沌产生器进行了研究，并发现了具有“钢盔”形奇怪吸引子.这将是对 Logistic映射理论研究的补充和完善.而后，从理论上推导了Logistic映射在μ∈(3.571448，，4) 的区间特性，发现在该混沌带内存在无穷多个稳定的不动点.这一发现为Logistic映射在数字 混沌保密通信应用时的系统参数选取提供了理论依据。 关键字混沌；数字流混沌产生器；Logistic映射；奇怪吸引子；混沌保密通信 分类号TN918 混沌运动的重要特点突出表现在它在相空 的混沌为离散点混沌（文献中称为数字混沌、迭 间轨迹的收缩区域（吸引子）迥然不同于通常的 代混沌、离散混沌、差分方程混沌).它由离散点 规则运动.对此类吸引子的分析描述是研究混 混沌产生器实现 沌的一个重要方法 1.1L0 gistic映射的离散点混沌及奇怪吸引子 吸引子是系统行为的最后归宿（或终态集）， Logistic方程是源于一个人口动力学模型. 在相空间中用点或点集表示.经典理论中有3 一个简单的一维映射表现出的动力学行为，差 类吸引子（不动点、极限环、二维环面），吸引子是 分方程如下： 不随时间变化的几何体，其附近的轨道都要趋 xa1=(1-x) (2) 于它.它们都是整数维形体.混沌运动的吸引子 式中，x∈(0,1)，4∈(1,4)，它的奇怪吸引子非常简 与此完全不同，有耗散的混沌系统的长期行为 单，以致没有学者对其感兴趣.因为在一个凸的 稳定于相空间的一个点集合上.但这个点集合 抛物线上，离散点随机地遍布其上.但奇怪吸引 内部运动又是极不稳定的，故称此点集合为奇 子的分形图却被广为研究，如图1所示 怪吸引子，它们都是分数维形体 目前研究的混沌产生器有连续流混沌产生 器和离散点混沌产生器.值得注意的是在研究 Logistic映射数字流混沌产生器时，发现Logistic 映射数字流混沌的奇怪吸引子 1离散点混沌产生器及其奇怪吸引 子 定义1考虑如下非线性系统： 1.0 3.03.571448 X=GoF(xA)x(0)=Xo (1) 图1 Logistic分形图 式中，x()∈M∈R,w(附∈R,{G}eR是M上的具 Fig.1 Fractal diagram of Logistic mapping 有P个参数的微分同胚群，F:M一M为一微分同 1.2 胚，若x()是混沌的，x∈M,称光滑的n维状态流 Henon映射的离散点混沌， 方程如下： 形M上所有通过x的x()为离散点混沌.其物理 x+1=1-+yn 意义为是由非线性差分方程描述的离散映射产 (3) y=bx 生的混沌或由微分方程描述，但由采样器采样 它是二维的，具有“银河”状奇怪吸引子，如 图2所示. 收稿日期2001-12-02郑德玲女，62岁，教授，博士生导师 *国家自然科学基金资助(No.69772014)

DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2002. 03. 074

Vol.24 郑德玲等：Logistic映射数字流混沌奇怪吸引子及参数分析 351· 3.0 的，离散点混沌在相空间中的轨迹由离散点组 (a)a=1.5,b=0.3奇怪吸引子 成，而数字流混沌的奇怪吸引子是离散点线性 1.5 连接的连续轨线.各类混沌的奇怪吸引子具有 总体稳定性、吸引性和内部分形性.吸引子之外 0.0 的一切方向的运动状态都将向吸引子靠拢并具 有把吸引子外的所有状态都集聚到吸引子上的 -1.5 强大凝聚力，反映出极强的稳定作用.状态轨迹 -3.0 一旦到达吸引子内部，其运动轨线就相互排斥， 3.0 (b)a=1.7,b=0.1奇怪吸引子 对应着不稳定方向.然而，混沌吸引子上的两轨 迹决不是永远按指数分离，而是在有限空间内 1.5 不断重叠嵌套，既吸引又排斥，产生分形结构. 0.0 1.0a)μ=4.0 -1.5 xm=0.68 0.8 -3.0l 0.6 -3.0-1.5 0.0 1.53.0 x 0.4 图2 Henon映射奇怪吸引子 Fig.2 Strange attractor of Henon mapping 0.2 1.3数字流混沌产生器及发现的奇怪吸引子 1.0b)=3.8 定义2设有满足定义1的非线性系统： x=0.68 X1=GOF(x)x(0)=x0 (4) 0.8 式中，k=gt),k∈IR,tt∈R,g)为g:IR→R光 0.6 滑映射，若对任意时刻1，t∈[tw,t]有 0-x-W0∈R 0.4 (5) 成立，则x()是数字流混沌 0.2 根据定义由离散映射产生而通过D/A转换 0 0.1 0.40.6 0.81.0 为连续流输出的混沌为一种数字流混沌.在过 去作这样的定义是没有意义的，因为没有实现 图3 Logistic数字流混沌奇怪吸引子 也不需要有这样的混沌产生器.而本文实现了 Fig.3 Digital-flow chaos strange attractor of Logistic 这样的混沌产生器 mapping 通过对Logistic映射连续化，动力学方程为： x1=4x(1-x) 2 Logistic映射在混沌参数带内存 =会-W (6) 在无穷多个不动点 在μ=4，x=0.66,k=0,1,…,350及4=3.8，x= 传统的观点认为Logistic映射在μ∈ 0.66,k=0,1,…,350时，仿真结果发现如图3所示 3.571448,…4)之间是混沌的，具有复杂的动力 的Logistic映射连续流化“钢盔”形奇怪吸引子. 学特性.而本文研究证明了Logistic映射在 这在我们查阅的大量的文献中未发现论及过. μ∈(3.571448，，4)之间存在无穷多个不动点， 从仿真结果来看，Logistic映射离散点混沌 对每一个μ值至少存在2个不动点吸引子，且不 的奇怪吸引子有散布在一条抛物线上的点组 动点吸引子收敛于同一点.同时还发现μ=4时， 成，它一点都不奇怪.而离散点Logistic映射经 至少存在2个有限字长不动点.这为Logistic映 连续流化后的数字流Logistic映射已具有了连 射保密通信系统中参数选择提供了依据 续流混沌的特点.因而它可用于混沌遮掩、混沌 Logistic映射数字流混沌输出仿真随着μ值 开关、混沌凋制解调的保密通信中， 的增大，依次呈现出不动点一分叉（周期2，周期 从以上几种混沌产生器的奇怪吸引子，不 4,…)→阵发混沌带→混沌态.然而，需要说明的 难发现连续流混沌在相空间中的轨迹是连续 是在u∈[3.571448，，4]其间也还包含着奇数周

·352· 北京科技大学学报 2002年第3期 期和不动点轨迹.理论上还可证明有下述2个 时尽可能避开μx(0)=1或μx(0)=4-1的点.尽管 定理成立. 实际实现时由于运算的有限字长效应，这些点 定理1 Logistic映射x(k+1)=4(k)(1-x(k), 的绝大多数将演变为混沌轨迹，因为满足定理 x(∈(0,1)，4∈[3.571448，"，4，如果存在x《0),或 1的(1)，(2)条件的x(0)绝大多数是无法精确取值. x"《0)∈(0,1)，使(1)μx(0)=1,或(2)μ"(0)x"0)= 但在k一0的时刻之后的一段时间内信号将不保 4”-1,则该映射均收敛于一个稳定的不动点.在 密，运算位数愈长，不保密时间愈长 4'=4"=4时，满足条件(1)，(2)的2个不动点是同 定理2L0 gistic映射x(k+1)=4x(k)(1-x(k), 一个点，并有x《0)+x"0)=1. x(0∈(0,1)，i=0,1,2,…,k,,如果4x(0)为整数，则 证明：(1)将x"(0)=1代入映射式，有 该映射是一个稳定的不动点，且为有限字长的 x1)=4x《0)1-x(0)》=1-x0); 不动点. x(2)=u'x(1(1-x(1)=u(1-x(0)(1-x《0))= 显然满足该条件的点只有3个，即x(0)= ux(0)1-x(0)=1-x《0). 0.25,0.5,0.75,可分别代入证明（略）在混沌保密 显然，在条件(1)下该映射收敛于一个稳定的不 通信中此3点不可取，因为它是有限字长的稳 动点1-x《0) 定不动点.此时无加密作用阿 (2)将ux"《0)=4”-1代入映射式，有 3 x(1)=u'x"0)(1-x"《0)=("-1)1-x"0)= 结论 ”-1-x"(0)+x'0)=x'"(0); 本文在对离散点混沌产生器研究的基础 x(2)=41)1-x(1)=x"0(1-x"0)=x"(0). 上，发现了一种新型的奇怪吸引子一“钢盔” 显然，在条件(2)下，该映射收敛于一个稳定的 形奇怪吸引子，通过对Logistic映射的特性分 不动点x"(0).由(1)和(2)可知在相同的μ值时 析，证明了混沌参数区存在无穷多个不动点吸 x0)+x0)=+-1-1, 引子，它为保密通信参数选取提供了理论根据. 即1-x《0)-x"(0).证毕. 参考文献 一般文献中均为当4∈[3.571448，…，4时， 1王东生，曹磊.混沌，分形及其应用M.合肥：中国科 Logistic映射进入混沌态并表现出复杂的动力 技大学出版社，1995 学特性，并未指明尚存在不动点 2吴祥，陈忠.混沌学导论M.上海：上海科学技术出 版社，1997 该定理明确了2点： 3郝柏林.分叉、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它J).物 (1)由于μ∈[3.571448，…，4]在区间上的取值 理学进展，I987,3(3):392 是无限的，满足定理1的条件(1)，(2)的点也有无 4 Kapitaniak T,Chua L Q,Zhong G Q.Experimental Hy- 穷多个，即存在无穷多个不动点 perchaos in Coupled Chua's Circuits [J].IEEE Trans on (2)在每一个μ值下，4∈[3.571448，…，4]，至少 CAS,1994,44(7):499 存在2个不动点吸引子的初值x(0),x"(0)以1为 5赵耿，郑德玲.Logistic映射数字混沌产生器[】.北京 模互补 科技大学学报，2001,23(2)：173 在保密通信中定理1的意义在于选取参数 6赵耿，郑德玲，一类数字混沌保密语音通信系统 北京科技大学学报，2001,23(2)：168 Logistic Mapping Digital-flow Chaos Strange Attractor and Its Parameter Analysis ZHENG Deling,ZHAO Geng,XU Guobao Information Engineering Shool,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A new type of chaos generator,digital-flow chaos generator is proposed.The strange attractor like helmet'in Logistic mapping digital-flow chaos generator is found by simulation.The section characteris- tic of Logistic mapping in theory is deduced.And infinitude of immovable points in Logistic mapping chaos section during uE(3.571448,..,4)is found.The basis of chosen parameter for chaotic secure communication is provided. KEY WORDS chaos;digital-flow chaos generator;logistic mapping;strange attractor;chaotic secure com- munication

. 3 5 2 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 0 2 年 第 3 期 期 和 不 动点轨迹 . 理论 上还可证 明有下述 2 个 定 理成立 . 定 理 1 L o g i s ti c 映射 x (+k l ) = 越(k) ( l 一 x ( k) ) , x ( i ) E ( o , l ) , 户 E [ 3 . 5 7 1 4 4 8 , … , 4 ] , 如果 存在 x 义0 ) , 或 x 尸 义o ) 任 ( 0 , l ) , 使 ( l 加到0 ) = l , 或 ( 2加 ’义o x) ` 义o ) = 赵 ` , 一 1 , 则该 映射均收敛于 一个稳定 的不动点 . 在 产 ’ = 户“ 二 户时 , 满足 条件 ( l) , (2 )的 2 个 不 动点是 同 一个 点 , 并有 x ,(0 )+x ” ) = 1 . 证 明 : l( )将户份 ` ,(0 ) = 1代人 映射式 , 有 x ( l ) = 户吮 ,( 0 ) ( l一 x ( 0 ) ) = l一 x ,( 0 ) ; x ( 2 ) = 户份( l ) ( l一 x ( l ) ), 义l一 x ,( 0 ) ) ( 1一 x 义O))) = 户份义0 )( 1一 x ( 0 )) = l 一 x 义0 ) . 显 然 , 在 条件 ( l) 下该映射收敛 于 一个稳定 的 不 动 点 l 一x 飞0 ) . (2 ) 将召、 ` ,(0 ) = 产 ` l一 1代人 映射 式 , 有 x ( l ) = 产 ` 份 尸 ,( 0 ) ( l一 x ` ,( O) ) = 伍 `尸一 l )( l一 x ` ,( o ) ) = 刀 ’ `一 1一产 `份 ` ,( 0 )+x ’ 义0 ) = x ` 义0 ) : x ( 2 )刁优 ( l )( l一 x ( l )) = 洲尤 尸 ,( 0 ) ( l一 x ` 飞0 )) = x ’ 义0 ) . 显然 , 在条件 (2 )下 , 该映射 收敛 于一个稳定 的 不 动点 x ` ,(0 ) . 由 ( l) 和 (2) 可 知在相 同的产值时 时尽可 能避开户 x( 0) = 1或户 x( 0) = 户一 1的点 . 尽管 实际实现 时 由于运 算 的有 限字长效应 , 这些点 的绝大 多数将 演变为混沌轨 迹 , 因 为满 足定 理 1的( l), ( 2 )条件的 x( 0) 绝大多数是无法精确取值 . 但在 k 一 O的时刻之后的一段 时间内信号将不保 密 , 运 算位数愈 长 , 不 保密时 间愈 长 ` .e] 定理 2 L o g i s t i e 映射 x (+k l ) = x4 (k) ( 1一 x (k) ) , x ( i ) 任 ( o , l ) , i 一 o , 1 , 2 , … , k, … , 如果 4x ( 0 )为整 数 , 则 该映射是一个稳 定的不动点 , 且为有 限字 长的 不动点 . 显然 满足该 条件 的点只 有 3 个 , 即 x( 0) = .0 25 , .05 , .07 5 , 可分别代人 证 明 (略) 在混沌保 密 通信 中此 3 点不 可 取 , 因 为它是有 限字 长的稳 定不动点 . 此 时无加 密作用 ` .0] x 飞0 ) + x `义0 ) 一 土 洲竺工- 即 l 一 x 义0 ) = x 代0 ) . 证毕 . 一 般 文 献 中均 为 当尸 任 3[ . 57 14 48 , … , 41 时 , oL is ict 映射进 人混沌态并 表现 出复杂 的动 力 学特性 , 并 未指 明尚存 在不 动点 . 该定理 明 确 了 2 点 : (l ) 由于户 任 3[ . 57 14 48 , … , 4〕在 区 间上 的取 值 是无 限 的 , 满足 定理 1 的条件( l), (2) 的点也有无 穷 多个 , 即存 在无穷多个 不动点 . (2 )在每一个召值下 声 任 3[ . 57 1 4 48 , … , 4] ,至少 存在 2 个不 动点吸 引 子 的初 值 x 义0) 声 尸 ,( 0) 以 1为 模互补 . 在保密通 信中定理 1的意义在于 选取参 数 3 结论 本 文在 对离 散 点 混沌 产 生器 研 究 的基 础 上 , 发现 了一种新 型 的奇怪吸 引子— “ 钢盔 ” 形奇怪 吸 引子 . 通过对 L og ist ic 映射 的特性分 析 , 证 明了 混沌参数 区存 在无穷多个不 动点吸 引子 , 它为保密通信参数选取提供 了理论根据 . 参 考 文 献 1 王东 生 , 曹 磊 . 混 沌 、 分形 及其 应用 【M I . 合 肥 : 中 国科 技 大学 出版社 , 19 9 5 2 吴祥 , 陈 忠 . 混 沌学导 论 [M〕 . 上海 : 上海科 学技 术 出 版 社 , 19 9 7 3 郝柏林 . 分叉 、 混沌 、 奇怪 吸引子 、 湍流 及其它 IJ] . 物 理 学进展 , 19 8 7 , 3 ( 3 ) : 3 9 2 4 K aP i t an i ak T, C h u a L Q , Z h o n g G Q . E x P e r im e n t a 1 H y - P e cr h a o s i n C o uP l e d C h u a , 5 C i r e u i t s [ J ] . IE E E rT an s o n C A S , 1 9 9 4 , 4 4 ( 7 ) : 4 9 9 5 赵耿 , 郑德 玲 . oL ig ist 。 映射数 字混 沌产 生器 [J] . 北京 科技 大学 学报 , 2 0 0 1 , 2 3 ( 2 ) : 17 3 6 赵耿 , 郑德 玲 , 一类 数 字混沌 保密 语音通 信系统 [J] . 北 京科技 大学 学报 , 2 0 0 1 , 2 3 ( 2 ) : 16 8 L o g i s t i c M ap P i n g D i g it a l 一 fl o w C h a o s S tr an g e A tr a e t o r a n d I t s P a r a m e t e r A n a ly s i s Z H E N G D e li ng, Z H注 O G e gn, J YU G u o b a o I n of mr at i o n E n g i n e e r i n g Sh o o l , U S T B e ij i n g , B e ij i n g 10 0 0 8 3 , C h i n a A B S T R A C T A n e w t y Pe o f e h a o s g e n e r a t o r, d i g i t a l 一 if o w c h a o s g e n e r at o r 1 5 P r o Po s e d . hT e s tr an g e at t r a e to r Iik e ’ h e lm e t , i n L o g i s t i c m a P Pi n g d i g it a l 一 fl o w e h a o s g e n e r at o r 1 5 fo un d b y s im u l a t i o n . hT e s e e t i o n e h ar a e t e r i s - t i e o f L o g i s t i c m ap Pi n g i n t h e o yr 1 5 d e d u e e d . A n d in if n it u d e o f i mrn o v a b l e P o int s i n L o g i s t i e m ap Pi n g c h a o s s e e t i o n d u r i n g 户 E ( 3 . 5 7 14 4 8 , … , 4 ) 1 5 fo un d . Th e b a s i s o f c h o s e n Par am e t e r fo r e h a o t i e s e e ur e c o m r n u l1 i c at i o n 1 5 P r o v ide d . K E Y WO R D S e h a o s: d i g it a l 一 fl o w c h a o s g e n e ar t o r : l o g i s t i e m ap P i n g : s tr a n g e a t t r a e t o r : e h a o t i e s e e ur e e o m - m u n i e a t i o n