讲稿第一章概率论的基本概念一、基本概念1.随机试验2.样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母2表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点3.随机事件2中的元素称为样本点，常用の表示。（1）样本空间的子集称为随机事件（用A，B表示）。（2）样本空间的单点子集称为基本事件。(3）实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4)必然事件2.(5)不可能事件Φ。(6）完备事件组（样本空间的划分）4.概率的定义（公理化定义）5.古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个：2）每个基本事件出现的可能性是相等的：称这种数学模型为直典概型，k_A包含的基本事件数P(A)_基本事件总数n6．几何概型A的长度（面积、体积）P(A)= Q的长度（面积、体积）7.条件概率P(AB)设事件B的概率p(B)>0.对任意事件A，称P(AIB)=P(B)为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。8．条件概率的独立性
讲 稿 第一章 概率论的基本概念 一、基本概念 1. 随机试验 2. 样本空间 试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母 表示（本 书用 S 表示）每个结果叫一个样本点. 3．随机事件 中的元素称为样本点，常用 表示。 (1) 样本空间的子集称为随机事件(用 A,B 表示)。 (2) 样本空间的单点子集称为基本事件。 (3) 实验结果在随机事件 A 中，则称事件 A 发生。 (4) 必然事件 。 (5) 不可能事件 。 (6) 完备事件组（样本空间的划分） 4．概率的定义（公理化定义） 5．古典概型 随机试验具有下述特征： 1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性是相等的； 称这种数学模型为古典概型。 = 。 6．几何概型 的长度（面积、体积） 的长度（面积、体积） = A p(A) 7．条件概率 设事件 B 的概率 p(B) 0 .对任意事件 A ，称 P(A|B)= 为在已知事件Ｂ发生的条 件下事件Ａ发生的条件概率。 8．条件概率的独立性 P(A) = = 基本事件总数 A包含的基本事件数 n k ( ) ( ) P B P AB
A、BEF,若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B) P(C)P(ABC)=P(A)P(B）P(C)称A,B,C相互独立。二、事件的关系的关系与运算1.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A，记作ACB。2.事件的相等设A,BCQ,若ACB，同时有BCA，称A与B相等，记为A=B,3.并(和)事件与积(交)事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AUB“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作A·B或AΛB4.差事件“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A-B5.对立事件称“Q-A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。AUA-AAA=Φ6.互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即AB=Φ，称A与B为互不相容事件（或互斥事件)。7.事件的运算法则AUB= BU A, AB= BA1)交换律(AUB)UC = AU(BUC)(AB)C = A(BC)2)结合律(AUB)nC=(AnC)U(BnC)3)分配律(ANB)UC=(AUC)(BUC)4)对偶原则AUB=AB，ANB-AUB三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件A、B，有P(AUB)=P(A)+P(B）-P(AB）
A、B ,若 P(AB)= P(A) P(B) 则称事件 A、B 是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件 A,B,C 满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称 A,B,C 相互独立。 二、事件的关系的关系与运算 １.事件的包含关系 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含了 A， 记作 。 ２. 事件的相等 设 A,B ,若 ，同时有 ，称 A 与 B 相等，记为 A=B， ３.并(和)事件与积(交)事件 “A 与 B 中至少有一个发生”为 A 和 B 的和事件或并事件。记作 . “A 与 B 同时发生”这一事件为 A 和 B 的积事件或交事件。记作 或 ４.差事件 “A 发生 B 不发生”这一事件为 A 与 B 的差事件，记作 ５.对立事件 称“ ”为 A 的对立事件或称为 A 的逆事件，记作 。 ６.互不相容事件（互斥事件） 若两个事件 A 与 B 不能同时发生，即 ，称 A 与 B 为互不相容事件（或互斥事 件）。 ７.事件的运算法则 1)交换律 2)结合律 3)分配律 (A B) C = (AC) (B C) 4)对偶原则 A B = A B ， A B = A B 三、常用公式 1.加法公式 （1）对任意两个事件 A、B，有 P( )=P( )+P( )-P( ) F A B A B B A A B A B A B A − B − A A A A = A − = − A A AB = A B = B A, AB = BA (AB)C = A(BC),(AB)C = A(BC) (AB)C = (AC)(BC) A B A B AB
（2）对任意三个事件A、B，CP(AU BUC)= P(A)+ P(B) + P(C)- p(AB)- p(AC)- p(BC)+ p(ABC)2.减法公式若ACB则 P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)≥P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB)3.对立事件概率公式对任一随机事件A，有P（A）=1-P（A);4.乘法公式当p(A)>0时：1p(AB)= p(A)P(BA)p(ABC)= P(A)P(B|A)p(CIAB)5全概率公式定理1：设B，B,，…,B,是一列互不相容的事件，且有UB,=Q，对任何事件A，有Z P(B,) P(AB,)P(A)=Tsl6、贝叶斯公式定理2：若B，B2，",B,是一列互不相容的事件，且UB,=Q-1p(B)p(A|B,)则对任一事件A有 p(B,[A)=≥ p(B,)(4/B,)j=l两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型贝努里试验：若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1）每次试验是相互独立的：2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A：3)每次试验的结果发生的概率相同p(A)=p>0p(A)=1-p=q称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为重贝努里试验。记为E”。设事件A在n次试验中发生了X次，则P(X=k)=Cp*(1-p)"-k,k=1,2,,n
（2）对任意三个事件 A、B，C p(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC) 2.减法公式 若 A B 则 P(B-A)= P(B)-P(A); P(B) P(A) P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式 对任一随机事件 A，有 P（ ）=1-P（A）； 4.乘法公式 当 p(A) 0 时: p(AB) = p(A)P(B | A) p(ABC) = p(A)P(B | A) p(C | AB) 5 全概率公式 定理 1：设 B B Bn , , , 1 2 是 一列互不相容的事件，且有 = = i n i B 1 ,对任何事件 A，有 P(A)= 6、贝叶斯公式 定理 2：若 B B Bn , , , 1 2 是一列互不相容的事件，且 = = i n i B 1 则对任一事件 A 有 = = n j j j i i i p B p A B p B p A B p B A 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段； 两个公式的不同点： 全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果” 贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因” 7.贝努里概型 贝努里试验:若试验 E 只有两个可能的结果 A 及 ，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型 设随机试验 E 具有如下特征： 1）每次试验是相互独立的； 2）每次试验有且仅有两种结果：事件 A 和事件 A ； 3）每次试验的结果发生的概率相同 p(A) = p 0 p(A) = 1− p = q 称试验 E 表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了 n 次，则这个试验也称为 n 重 贝努里试验。记为 。 设事件 A 在 n 次试验中发生了 X 次，则 P X k C p p k n k k n k n { = } = (1− ) , = 1,2, , − A ( ) 1 = n i P Bi ( ) P ABi − A n E
第二章一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1.随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数X(の)，则称实变量X为随机变量，通常用大写字母X，Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X为随机变量，X的可能取值为0，1，2....例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X，的可能取值为X=[0,5]。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X，Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2.分布函数定义2定义在样本空间Q上，取值于实数域的函数（の），称为是样本空间2上的（实值）随机变量，并称F(x)=P(X≤x)是随机变量（の）的概率分布函数.简称为分布函数分布函数的性质：(1）单调性若<x,则F(x)≤F(x)；(2) F(-o0)= lim F(x)=0F(+o0)= lim F(x)=1(3）右连续性F(x+0)=F(x）(4) Pia<X≤b)=F(b)-F(a)二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变可能取值为（a...，相应的概率=P(=））为随机
第二章 一维随机变量及其分布 一、分布函数的定义与性质 1. 随机变量 定义 1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）ω唯一地对应一个实数 X () ，则 称实变量 X 为随机变量，通常用大写字母 X,Y,Z 等表示随机变量， 例 1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数 X 为随机变量， X 的可能取 值为 0，1，2. 例 2：某一公交车站每隔 5 分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则 侯车时间为随机变量 X , 的可能取值为 X =[0,5]。 例 3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可 以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。 2. 分布函数 定义 2 定义在样本空间 上，取值于实数域的函数 ( ) ，称为是样本空间 上的（实 值）随机变量，并称 F(x) = P{X x} 是随机变量 ( ) 的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若 1 2 x x , 则 1 2 F x F x ( ) ( ) ； （2） ( ) lim ( ) 0 x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = （3）右连续性 F(x + 0) = F(x) （4） P{a X b} = F(b) − F(a) 二、离散型随机变量 1.概念 定义 3：只取有限个或可列个值的变量 X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。 2.分布律及其表示 如果离散型随机变 X 可能取值为( . a1, a2, a3 )，相应的概率 为随机
变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。（1）分布律表示方法一一公式法p = P(g=α,)（2）分布律表示方法一一列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：..aia2...ap, = P(c=a,)P1P2·P:.aa2aPiP2..p分布列的性质：非负性：1）P,≥0Zp,=1规范性：2）F(x)=p,分布函数,Sta12)例1:已知X~(1)求a，(2)分布函数q2-a40x<0幸0≤x<11【解】a=F(x)=3/421≤x<2Lx≥2例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律：（2）为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为0，1，2。3-316P(X = 1):3P(X = 0} =P(X = 2)11510'1010[2131X-X的分布律(10510,[ox<0i0≤x<1F(x) =%1≤x<2[1X≥2
变量 X 的分布列，也称为分布律，简称分布。 （1）分布律表示方法——公式法 （2）分布律表示方法——列表法 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 的分布律： 分布列的性质: 非负性：1） pi 0 规范性：2） = = 1 1 i pi 分布函数 = x x i i F(x) p 例 1: 已知 − 2 4 1 0 1 2 ~ a a X (1)求 a ，(2)分布函数 【解】 2 1 a = − = 1 2 1 2 0 1 0 0 ( ) 4 3 4 1 x x x x F x 例 2：设袋中有五个球（3 个白球 2 个黑球）从中任取两球，X 表示取到的黑球数。（1）求 X 的分布律；（2）为随机变量 X 的分布函数 【解】X 可能取值为 0，1，2。 10 3 P{X = 0} = , 5 3 10 6 P{X = 1} = = , 10 1 P{X = 2} = X 的分布律 10 1 5 3 10 3 0 1 2 X ~ = 1 2 1 2 0 1 0 0 ( ) 10 9 10 1 x x x x F x
三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念定义1若×是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有F(x)=[f(t)dt，则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度2.密度函数f(x)具有下述性质：（1）非负性f(x)≥0(1)规范性[f(x)dx=1(3) p(x ≤X≤x2) =F(x2)-F(x)=f(x)db(4) p(X =x=0(5）由F(x)=[p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有dF(x) = F(x)= p(x)dx例3：设随机变量x的分布函数为F(x)=A+Barctanx。(1)求A,B，f(x)(2)求 pX≥1IX≥-1)F(-o)= lim F(x)= 0【解】F(+0)= lim F(x)=11A=!B=L得f(x)=A元(1+x)1-F(I)p(X ≥1|X ≥-1)=p(X≥1,X≥-1 _ P(X ≥1)1-F(-1)3p(X ≥-1)p(X≥-1)[kx0≤x<3为 (x)=}2-3≤x≤4。例4：设随机变量X的概率密度函数为20otherI(3)求(I≤X≤(1) k(2)分布函数241(1/6)【解】48
三、连续型随机变量 1.一维连续型随机变量的概念 定义 1 若 X 是随机变量， F x( ) 是它的分布函数，如果存在函数 f (x) ，使对任意的 x ， 有 − = x F(x) f (t)dt ，则称 X 为连续型随机变量，相应的 F x( ) 为连续型分布函数.同时称 f (x) p x( ) 是 F x( ) 的概率密度函数或简称为密度. 2.密度函数 f (x) 具有下述性质： （1）非负性 f (x) 0 （1）规范性 + − f (x)dx = 1 （3） { } 1 2 p x X x 2 1 1 2 2 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) x x P x x F x F x p y dy = − = 2 1 ( ) x x f x dx （4） p{X = x0 } = 0 （5）由 ( ) ( ) x F x p y dy − = 式可知，对 p x( ) 的连续点必有 ( ) '( ) ( ) dF x F x p x dx = = 例 3：设随机变量 X 的分布函数为 F(x) = A + Barctan x 。 （1）求 A，B ， f (x) (2)求 p{X 1| X −1} 【解】 ( ) lim ( ) 0 x F F x →− − = = ( ) lim ( ) 1 x F F x →+ + = = 得 2 1 A = ， 1 B = ， (1 ) 1 ( ) 2 x f x + = p{X 1| X −1}= 3 1 1 ( 1) 1 (1) { 1} { 1} { 1} { 1, 1} = − − − = − = − − F F p X p X p X p X X 例 4：设随机变量 X 的概率密度函数为 − = other x x kx x f x 0 3 4 2 2 0 3 ( ) 。 （1） k (2)分布函数 （3）求 } 2 7 p{1 X 【解】 （1/6）（ 48 41 ）
四、常见分布(1)两点（0-1）分布设离散型随机变量的的分布列为011-PP其中00为常数，则称服从参数为的普哇松分布，记为～P(k;).易验证(1)P(5= k)>0,k = 0,1,2, ..,(2)≥ P(= k)=Z"e=1nLk!k=0定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为p，（与试验总数n有关）如果当n→o0时，np→(α>0常数），则有ke-,k=0,1,2,...lim b(k;n, pn) =k!5x-→0(4)几何分布设=是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2，··.而取各个值的概率为
四、常见分布 (1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量 的的分布列为 0 1 1 P P − 其中 0 1 P ，则称 服从两点分布，亦称 服从（0—1）分布，简记为 ~( 0—1）分布. (2)二项分布 若离散型随机变量 的分布列为 ( ) , 0,1,2, , k k n k n p k C p q k n − = = = 其中 0 1, 1 = − p q p ，则称 服从参数为 n p, 的二项分布，简称 服从二项分布，记为 ~ ( ; , ). b k n p 易验证 0 ( ) 0, ( ) 1 n k k n k n n k P k C p q p q − = = = + = 显然，当 n =1 时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例. (3)普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量 的所有可能取值为 0，1，2， ，且 取各个值的概率为 ( ) , 0,1,2, , ! k e P k k k − = = = 其中 0 为常数，则称 服从参数为 的普哇松分布，记为 ~ ( ; ) P k .易验证 0 (1) ( ) 0, 0,1, 2, ; (2) ( ) 1 ! k k P k k P k e k − = = = = = = 定理（普哇松定理）在 n 重贝努里试验中，事件 A 在一次试验中出现的概率为 n p （与 试验总数 n 有关）如果当 n → 时， ( 0 n np → 常数），则有 0 lim ( ; , ) , 0,1,2, ! k n x b k n p e k k − → = = (4)几何分布 设 是一个无穷次贝努里试验序列中事件 A 首次发生时所需的试验次数， 且可能的值为 1, 2, . 而取各个值的概率为
P(= k)=(1-p)t-l p=qk-p,k=1,2....其中00,k =1,2,...(2)Z pgkl =1k=l(5)均匀分布若随机变量(の)的概率密度函数为1a≤x≤bp(x)=b-a[o其他时，则称随机变量≤(の)服从[a,bl上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为0xb记为~Ula,bl(6)指数分布若随机变量X的分布函数为[1-e-ix>0F(x)=p(X≤X)=lox≤0概率中称X服从参数为入的指数分布.而随机变量X的概率密度为[e-xx>0p(x):[o,x≤0(7)正态分布设随机变量X的概率密度为_(xμ)212g(*)f(x)=-e-80O)是两个常数，则称设随机变量x服从μ,o的正态分布，记为X～N(u,α2)
1 1 ( ) (1 ) , 1,2. . k k P k p p q p k − − = = − = = 其中 0 1, 1 = − p q p ，则称 服从几何分布.记为 ~ ( , ) g k p .易验证 1 1 1 (1) ( ) 0, 1,2, (2) 1 k k k P k pq k pq − − = = = = = (5)均匀分布 若随机变量 ( ) 的概率密度函数为 1 ( ) 0 a x b p x b a = − 其他 时，则称随机变量 ( ) 服从 [ , ] a b 上的均匀分布.显然 p x( ) 的两条性质满足.其分布函数为 0 ( ) 1 x a x a F x a x b b a x b − = − 记为 ~U a b [ , ]. (6)指数分布 若随机变量 X 的分布函数为 − = = − 0 0 1 0 ( ) { } x e x F x p X X x 概率中称 X 服从参数为 的指数分布.而随机变量 X 的概率密度为 , 0 ( ) 0, 0 x e x p x x − = (7)正态分布 设随机变量 X 的概率密度为 f (x) 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 x p x e x − − = − （*） , ( 0) 是两个常数，则称设随机变量 X 服从 , ( 0) 的正态分布，记为 ~ ( , ) 2 X N
相应的分布函数为_(-u)2gF(x)=dy,-8<x<8e12元并且称F(x)为正态分布，记作N(u,α).如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是一个正态变量N(O,1)分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以p(x)表示，相应的分布函数则记作),所以(0)-L0)4-上。a1√2元／(1)p(x)是偶函数，图像关于y轴对称，f(x)关于x=μ对称；(2）p(x)在x=0，f(α)在x=μ取得最大值；(3）x=±l是p(x)的拐点，x=±是f(x)的拐点；(4)若X~N(u,α),则p[X≤μ)=p(X≥μ)=0.5(5) Φ(-x)=1-Φ(x)例5：设随机变量服从正态N(108,9)分布，(1) 求P(101.1<≤<117.6)(2）求常数a使P(<a)=0.90【解】() P(101.1<5<117.6)= P(-2.3 ≤=108 <3.2)3= Φ(3.2)Φ(-2.3) = (3.2) (1Φ(2.3)=0.999313-1+0.989276=0.988589(-108_a-108)=0.90，所以(2) P(<a)= F33a-108 ~1.28, α=111.84;3五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布
相应的分布函数为 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 y x F x e dy x − − − = − 并且称 F x( ) 为正态分布，记作 2 N( , ) .如果一个随机变量 X 的分布函数是正态分布，也 称 X 是一个正态变量. N(0,1) 分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以 ( ) x 表示，相应的分布函数 则记作 ( ) x ，所以 2 2 1 ( ) ( ) 2 y x x x y dy e dy − − − = = (1) (x) 是偶函数，图像关于 y 轴对称， f (x) 关于 x = 对称； （2） (x) 在 x = 0， f (x) 在 x = 取得最大值； （3） x = 1 是 (x) 的拐点， x = 是 f (x) 的拐点； （4）若 ~ ( , ) 2 X N ，则 p{X } = p{X } = 0.5 （5） (−x) = 1− (x) 例 5：设随机变量 服从正态 N(108,9) 分布， （1）求 P(101.1 117.6) . （2）求常数 a, 使 P a ( ) 0.90 = 【解】 108 (1) (101.1 117.6) 2.3 3.2 3 (3.2) ( 2.3) (3.2) (1 (2.3)) 0.999313 1 0.989276 0.988589; P P − = − = − − = − − − + = （2） 108 108 ( ) 0.90 3 3 a P a P − − = = ，所以 108 1.28, 111.84 3 a a − = ； 五、一维随机变量函数的分布 1.一维离散型随机变量函数的分布
012-1例6，已知X求2X+1.2X2的分布列。0.20.20.40.2)351-1【解】2X+10.20.20.40.224.02x30.20.20.62.一维连续型随机变量函数的分布设y=f(x)为一通常的连续函数，令Y=g(X)，其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并称它为随机变量X的函数(1) F, (y)=p(Y≤y) =p(g(X)≤y) =[f(x)dx1g(X)syf,(y)= F'(y)例7：已知X～N(2.4)，求Y=2X-1的概率密度。(x-2)21【解】4fx(x)=Fe2/2元F,()=p(Y)=p(2X-1≤)=p(X2_(x2)2y+11.8dx22元_(y3)2/24f.(y)=F(y)=e-00<V<004/2元例8：已知随机变量X的概率密度为[2x0≤x≤8fx(x)=元L0other求Y=sinX的概率密度。解题步骤：（1）求出x的有效作用范围（fx(x)≠O的范围），并根据y=g(x）求出Y的有效作用范围[a,b]
例 6，已知 − 0.2 0.2 0.4 0.2 1 0 1 2 X ~ ， 求 2 2X +1, 2X 的分布列。 【解】 − + 0.2 0.2 0.4 0.2 1 1 3 5 2X 1 ~ 0.2 0.6 0.2 0 2 4 2 ~ 2 X 2.一维连续型随机变量函数的分布 设 y f x = ( ) 为一通常的连续函数，令 Y = g(X ) ，其中 X 为随机变量，那么 Y 也是随 机变量，并称它为随机变量 X 的函数. （1） = = = g X y FY y p Y y p g X y f x dx ( ) ( ) { } { ( ) } ( ) f y ( y) = ( ) / F y Y 例 7：已知 X ~ N(2,4) ，求 Y = 2X −1 的概率密度。 【解】 8 ( 2) 2 2 2 1 ( ) − − = x X f x e } 2 1 ( ) { } {2 1 } { + = = − = y FY y p Y y p X y p X e dx y x 8 ( 2) 2 1 _ 2 2 2 1 − − + = f y ( y) = ( ) / F y Y = 24 ( 3) 2 4 2 1 − − y e − y 例 8：已知随机变量 X 的概率密度为 = other x x f x X 0 0 8 2 ( ) 求 Y = sin X 的概率密度。 解题步骤： （1）求出 x 的有效作用范围（ f X (x) 0 的范围）， 并根据 y = g(x) 求出 Y 的有效 作用范围[ a,b ] ;