概率论与教理统针3.5随机变量函数的分布
3.5 随机变量函数的分布
概率论与教理统针一维随机变量函数的分布一、一维离散型随机变量函数的分布二、一维连续型随机变量函数的分布三、小结
一、一维离散型随机变量函数的分布 二、一维连续型随机变量函数的分布 三、小结 一维随机变量函数的分布
概率论与散理统针一、一维离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量其概率分布已知Y = f(X)为X的函数问题如何根据随机变量X的分布求得随机变量Y = f(X)的分布?
( )为 的函数. 设 为离散型随机变量，其概率分布已知。 Y f X X X = 问题 求得随机变量 ( )的分布? 如何根据随机变量 的分布 Y f X X = 一、一维离散型随机变量函数的分布
概率论与教理统针例1 设 X的分布律为X0121111p4444求Y=X2 的分布律解Y的可能值为（-1)，0°，1'，2°;即 0, 1, 4.P(Y = 0) = P(X’ = 0) = P(X = 0) =4
Y 的可能值为 ( 1) , 0 , 1 , 2 ; 2 2 2 2 − 即 0, 1, 4. 解 { 0} { 0} { 0} 2 P Y = = P X = = P X = , 4 1 = . 求 2 的分布律 设 的分布律为 Y X X = X p − 1 0 1 2 4 1 4 1 4 1 4 1 例1
概率论与教理统针P(Y = 1} = P(X2 = 1) = P((X = -1)U(X = 1)= P[X = -1) + P(X = 1) =?1P[Y = 4) = P[X- = 4) = P[X = 2}=X2故Y的分布律为1p44.由此归纳出离散型随机变量函数的分布律的求法
{ 1} { 1} {( 1) ( 1)} 2 P Y = = P X = = P X = − X = = P{X = −1}+ P{X = 1} , 2 1 4 1 4 1 = + = { 4} { 4} { 2} 2 P Y = = P X = = P X = , 4 1 = 故 Y 的分布律为 Y p 0 1 4 4 1 2 1 4 1 由此归纳出离散型随机变量函数的分布律的求法. X p − 1 0 1 2 4 1 4 1 4 1 4 1
概率论与教理统针离散型随机变量函数概率分布的计算如果X是离散型随机变量其函数Y=f(X)也是离散型随机变量若X的分布律为XXkXi X2PkPP2Pk则Y= f(X)的分布律为Y = f(X)f(x) f(x2)...f(x)PkPP2Pk若f(x,)中有相同的值应将相应的pk合并
离散型随机变量函数概率分布的计算 也是离散型随机变量若 的分布律为 如 果 是离散型随机变量其函数 X X Y f X . , = ( ) X pk x1 x2 xk p1 p2 pk 则Y = f (X)的分布律为 若 ( )中有相同的值,应将相应的 合并. xk pk f Y = f (X ) pk f (x1 ) f (x2 ) f (xk ) p1 p2 pk
概率论与教理统针2-11X例2 设1I1Pk236求 Y= X2-5的分布律pXY=X2-51解 Y的分布律为-4-161Y-4-1-413111p22-122
Y 的分布律为 Y p − 4 − 1 2 1 2 1 X k p − 1 1 2 6 1 3 1 2 例 1 2 设 5 . 求Y = X 2 − 的分布律 解 5 2 p Y = X − 6 1 3 1 2 1 X -1 1 2 -4 -4 -1
概率论与教理统针二、一维连续型随机变量函数的分布例3 设随机变量X的概率密度为x0<x<4,8Px(x)=人其它.0,求随机变量Y=2X+8的概率密度解?第一步先求Y=2X+8 的分布函数 F,(y)F,(y) = P[Y ≤ y}= P[2X +8≤ y)
第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 F ( y). Y F ( y) P{Y y} Y = = P{2X + 8 y} 解 二、一维连续型随机变量函数的分布 . , . , , ( ) 求随机变量 的概率密度 其 它 设随机变量 的概率密度为 2 8 0 0 4 8 = + = Y X x x p x X X 例3
概率论与教理统针= px :px(x)dx2第二步由分布函数求概率密度Pr(y)= F,(y)=If2 px(x)dx)822XO22
p ( y) F ( y) Y y = p x x y X ( )d − − = 2 8 } 2 8 { − = y P X − − = ) 2 8 )( 2 8 ( y y pX 第二步 由分布函数求概率密度. = [ ( )d ] − − p x x y X 2 8 2 1 ) 2 8 ( − = y pX
概率论与教理统针8y-8D<4.所以 pr(y)=2282其它.0,y-88< y<16,32其它.0
− − = 0, . 4, 2 8 , 0 2 1 ) 2 8 ( 8 1 ( ) 其 它 所 以 y y p y Y − = 0, . , 8 16, 32 8 其它 y y