第三章随机变量及其分布>随机变量及其分布函数离散型随机变量及其分布律>连续型随机变量
1 ➢ 离散型随机变量及其分布律 ➢ 连续型随机变量 ➢随机变量及其分布函数 第三章 随机变量及其分布
$3.1随机变量及其分布函数1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）掷一颗般子面上出现的点数每天从蚌埠下火车的人数昆虫的产卵数
2 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）. 掷一颗骰子面上出现的点数 每天从蚌埠下火车的人数 昆虫的产卵数 §3.1 随机变量及其分布函数
·2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说把试验结果数值化正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字9527而叫号码一样，二者3建立了一种对应关系
3 • 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果. 也 就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动场 上不叫运动员的名字 而叫号码一样，二者 建立了一种对应关系
随机变量的定义设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点の Q，均有唯一的实数X(の)与之对应，称 X = X(の)为样本空间Q上的随机变量。2R0X(o)！
4 ◼ 随机变量的定义 设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一 个样本点 ，均有唯一的实数 与 之对应，称 为样本空间Ω上 的随机变量。 X ( ) X X = ( ) X ( ) R
例1从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球（记为4，5号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，×是如何表示的？观察取出的两个球的颜色(1）35(2)观察取出的两个球的号码解（1）试验的样本点和基本事件(の}=（取出两个白球}20=0(の)=(取出两个黑球)X =300= 02(の}=（取出一个白球与一个黑球}10=0(2)试验的样本点和基本事件2=0,,且1≤i<j≤3(のi,}=（取出第号球与第j号球】X =1=0i,且1≤i≤3,4≤j≤5={(ij)}(l≤i<j≤5)00=0,且4i≤5,j≤5KU
5 例1 从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球 （记为4,5号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示 取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，X 是如何表示的？ （1）观察取出的两个球的颜色 （2）观察取出的两个球的号码。 解 (1)试验的样本点和基本事件 1 ＝｛取出两个白球｝ 2 ＝｛取出两个黑球｝ 3 ＝｛取出一个白球与一个黑球｝ 1 2 3 4 5 1 2 3 2 0 1 X = = = = ＝｛取出第i号球与第j号球｝ ＝｛（i,j）｝ (1 5) i j i j , (2)试验的样本点和基本事件 , , , , 3 1 , 3,4 5 0 , 5, < 5 i j i j i j j X j i j = = = = 2 且1 i＜ 且1 i 且4 i
用随机变量表示事件A =(@|X(@)L)=(XeL)XeL也可以是等式或是不等式。如在般子试验中，用X表示出现的点数，则A="出现偶数点”可表示为：{X=2}U(X=4)U(X=6)BP(A出现的点数+于4必-可表示为2)+XX-4或X3）P(B)=P(X<4)=P(X≤3)U
6 ◼用随机变量表示事件 = {X L} 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 A=“出现偶数点”可表示为：{X=2} {X=4} {X=6} B=“P(A)=P( 出现的点数小于４”可表示为： {X=2} {X=4} {X=6}) {X< 4}或{X3} P(B)=P(X< 4)=P(X3) A { | X( ) L} = X L 也可以是等式或是不等式。 =P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)
随机变量的分布函数Distribution Function分布函数的定义设X为一随机变量,则对任意实数x，X≤x)是一个随机事件，称F(x)= P(X≤xOF(x)是一个普为随机变量X的分布函数通的函数！定义域为（一8，十8）;值域为［o,1」KU
7 二、 随机变量的分布函数 设X为一随机变量,则对任意实数x，{X≤x} 是一个随机事件，称 为随机变量X的分布函数 定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。 F(x)是一个普 通的函数！ Distribution Function ◼ 分布函数的定义 F P X ( ) x x = ( )
分布函数的性质■单调不减性若x <x2 ,则F(x)≤F(x2)■右连续性F(x +O) = lim F(x)= F(xo)X-→Xo非负有界性0≤ F(x) ≤1■规范性F(-o0)= lim F(x)=0, F(+oo)= lim F(x)=1X-→+00X→-00不可能事件F(-0) = P(X <-0)必然事件F(+0) = P(X < +00)反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质KU
8 分布函数的性质 ◼单调不减性 ◼非负有界性 0≤ F(x) ≤1 ( ) lim ( ) 0, ( ) lim ( ) 1 x x F F x F F x →− →+ − = = + = = 1 2 若x x 1 2 , ( ) ( ) 则F x F x F P X ( ) − = − ( ) 不可能事件 F P X ( ) + = + ( ) 必然事件 ◼右连续性 0 0 0 ( 0) lim ( ) ( ) x x F x F x F x → + = = 反之，具有上述四个性质的实函数，必是某个随机变量的 分布函数。故该四个性质是分布函数的充分必要性质。 ◼规范性
问一间1是不是某一随机变量的分布函数？F(x)1+ x不是lim F(x) = 0因为x-→+801(x≤0)函数G(x) =可作为分布函数1+ x(x>0)U
9 2 1 ( ) 1 F x x = + 是不是某一随机变量的分布函数？ 不是 因为 lim ( ) 0 x F x →+ = 函数 2 1 ( 0) ( ) 1 1 ( 0) x G x x x = + 可作为分布函数
例2设一袋中，依次有标着一1、2、2、2、3、3数字的6个球从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。解X可能取的值为一1,2，3，且F(x) = P(X ≤ x)111P(X = -1) =P(X = 2) =P(X =3)=3'26当x<-1时， {XSx} 是一个不可能事件，故 F(x)=P(X≤x)=0,当-1≤x<2时,， {X≤x} =(X=一1),故 F(x)=P(X≤x)= P(X =-1):6当2≤x<3时,[ X≤x] =[X=一1)U(X=2}, 故2F(x) = P(X ≤ x) = P(X = -1) + P(X = 2) =3’当3≤x时，【X<x}是一个必然事件，故F(x) = P(X ≤x)=1,0,x<-1,即，X的分布函数为1/6,-1≤x<2,F(x) =2/3,2 ≤x<3,[1,3≤x.U
10 例2 设一袋中，依次有标着－1、2、2、2、3、3数字的6个球， 从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求X的分布函数。 解 X可能取的值为－1,2，3，且 1 ( 1) 6 P X = − = 1 ( 2) , 2 P X = = 1 ( 3) , 3 P X = = 当x＜-1时，｛X≤x｝是一个不可能事件，故 F x P X x ( ) ( ) 0, = = 当-1 ≤x<2时，｛X ≤ x｝={X=－1}，故 F x P X x P X ( ) ( ) ( 1) = = = − 1 , 6 = 当2 ≤x<3时， ｛X ≤ x｝ ={X=－1}∪{X=2}，故 F x P X x P X P X ( ) ( ) ( 1) ( 2) = = = − + = 2 , 3 = 当3 ≤ x时，｛X≤x｝是一个必然事件，故 F x P X x ( ) ( ) 1, = = 即，X的分布函数为 0, 1, 1/ 6, 1 2, ( ) 2 / 3, 2 3, 1, 3 . x x F x x x − − = F x P X x ( ) ( ) =