第十章时间序列分析 我们对经济量进行分析的最终目的,是为了预测某些经济变量的未来 值。进行预测的方法有两种。一种是根据一定的经济理论,建立各种相互 影响的经济变量之间的关系模型,根据观测到的经济数据估计出模型参数」 利用模型来预测有关变量的未来值。这种方法的优点在于精确地考虑到了 各经济变量之间的相互影响,有理论依据,但是由于抽样信息不完备,经 济模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实,因而得到的结 果不可能是相当准确。 另一种方法是利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值,而不 考虑变量值产生的经济背景。这种方法假定数据是由随机过程产生的,根 据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方法在短期预测方 面是很成功的
我们对经济量进行分析的最终目的，是为了预测某些经济变量的未来 值。进行预测的方法有两种。一种是根据一定的经济理论，建立各种相互 影响的经济变量之间的关系模型，根据观测到的经济数据估计出模型参数， 利用模型来预测有关变量的未来值。这种方法的优点在于精确地考虑到了 各经济变量之间的相互影响，有理论依据，但是由于抽样信息不完备，经 济模型和经济计量模型不可能真正准确地反映了经济现实，因而得到的结 果不可能是相当准确。 另一种方法是利用要预测的经济变量的过去值来预测其未来值，而不 考虑变量值产生的经济背景。这种方法假定数据是由随机过程产生的，根 据单一变量的观测值建立时间序列模型进行预测。这种方法在短期预测方 面是很成功的。 第十章 时间序列分析
第一节确定性时间序列模型 、移动平均模型 对于时间序列: 平均数y+y=1+y-2+ t-N+1 称为时间序列υ的移动平均数序列。该表达式的模型称为移动平均 模型。移动平均模型主要作用是消除干扰,显示序列的趋势性变化, 并用于趋势预测。 、加权移动平均模型 平均数 ay+ay-+a2y-2+…axy-Nt,t≥N 称为时间序列y)的加权移动平均数序列。其中a0、a…、a为加权因子 C∑a)N=1 i=0
第一节 确定性时间序列模型 一、移动平均模型 并用于趋势预测。 模型。移动平均模型主要作用是消除干扰，显示序列的趋势性变化， 称为时间序列 的移动平均数序列。该表达式的模型称为移动平均 平均数 对于时间序列： t t t t t N t T y t N N y y y y y y y y + + + = − − − + ˆ , , , 1 2 1 1 2 二、加权移动平均模型 ( )/ 1 ˆ , 1 0 0 1 0 1 1 2 2 1 = + + + = − = − − − + a N y a a a t N N a y a y a y a y y N i i t N t t t N t N t 称为时间序列 的加权移动平均数序列。其中 、 、 、 为加权因子： 平均数
该式表达的模型称为加权移动平均模型,其作用除消除干扰、显示 序列的趋势变化外,还可通过加权因子的选取,是趋势预测更加准确。 、二次移动平均模型 对经过一次移动平均产生的序列才进行移动平均,即: ++2+…yN,t≥N 由此构成的序列程为时间序列y的二次移动平均数序列,该式表达的 模型称为二次移动平均模型 四、指数平滑模型 如果采用下式求得序列的平滑预测值: y=y-1+a( 则称此预测模型为指数平滑模型,其中α称为平滑常数,0<α<1 该式也可写为 =y1-1+(1-a)y1 即预测只是前期实际智育预测值的加权和。α的选择:选择不同的 α带入模型,计算预测值序列。以实际值与预测值之差的平方和最 小为原则确定α的值
序列的趋势变化外，还可通过加权因子的选取，是趋势预测更加准确。 该式表达的模型称为加权移动平均模型，其作用除消除干扰、显示 三、二次移动平均模型 对经过一次移动平均产生的序列才进行移动平均，即： 模型称为二次移动平均模型。 由此构成的序列程为时间序列 t的二次移动平均数序列，该式表达的 t t t t N t t N N y y y y y y , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 1 + + + = − − − + 四、指数平滑模型 如果采用下式求得序列的平滑预测值： 小为原则确定 的值。 带入模型，计算预测值序列。以实际值与预测值之差的平方和最 即预测只是前期实际智育预测值的加权和。 的选择：选择不同的 （ ） 该式也可写为 则称此预测模型为指数平滑模型，其中 称为平滑常数， 。 1 1 1 1 1 ˆ 1 ˆ 0 1 ˆ ˆ ( ˆ ) − − − − − = + − = + − t t t t t t t y y y y y y y
五、二次指数平滑模型 在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算,即构成二次指数 平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型
五、二次指数平滑模型 在一次指数平滑模型的基础上再进行指数平滑计算，即构成二次指数 平滑模型。同样可以构成三次指数平滑模型
第二节随机时间序列模型的特征 、随机过程( stochastic process) 一个特定的变量在不同的时点或时期的观测值y1,y2,…,yr,称为一 个时间序列。假设这些观测值是随机变量Y1,Y2,…,Y的实现,而随 机变量Y1,Y2,…,Y1是无穷随机变量序列Y,Y101,…,Y1, 的一部分(其中t可以是-∞)。这个无穷随机变量序列Y,t=±1, ±2,…,±∞称为一个随机过程。 个具有均值为零和相同有限方差的的独立随机变量序列e称为白噪声 ( white noise)。如果e服从正态分布,则称为高斯白噪声 例如,一个一阶自回归过程:Y=p1+e1,-1<p<1e是白噪声: E(e)=0,var(e,)=a。<0,且cov(e2e)=0(S≠D 假定改随机过程的起点为t0=-∞,可以证明E(Y1=0,var(Yb=o。这里每 个随机变量的曲志都依赖于其前期水平,这是依据现在和过去的观测值预 测未来值的基础。因此,度量时间序列元素之间的依赖性的协方差在序列 特性描述方面非常重要
第二节 随机时间序列模型的特征 一、随机过程（stochastic process） 一个特定的变量在不同的时点或时期的观测值y1，y2，…，yT，称为一 个时间序列。假设这些观测值是随机变量Y1， Y2， …， YT的实现，而随 机变量Y1， Y2， …， YT是无穷随机变量序列Yt0， Yt0+1， …， Y1， Y2， …的一部分(其中t0可以是-)。这个无穷随机变量序列Yt，t=1， 2，…，称为一个随机过程。 一个具有均值为零和相同有限方差的的独立随机变量序列et称为白噪声 (white noise)。如果et服从正态分布，则称为高斯白噪声。 例如，一个一阶自回归过程： Yt = Yt−1 + et ，−1 1,et是白噪声： E(e ) 0,var(e ) 0, cov(e ,e ) 0(s t) t = t = e 且 t s = 假定改随机过程的起点为t0= - ∞，可以证明E(Yt )=0，var(Yt )=σy。这里每 个随机变量的曲志都依赖于其前期水平，这是依据现在和过去的观测值预 测未来值的基础。因此，度量时间序列元素之间的依赖性的协方差在序列 特性描述方面非常重要
、自协方差函数和自相关函数 自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具 个随机过程y的两个元素y和Y之间的协方差为 cov(Y, Y=e(Y-E(nIlYk-e(Y+D 称为自协方差( auto cov ariance)协方差度量了单一随机过程两个元素之间 的线性依赖关系。对于=p}1+e1,协方差 cov(Y2,Y1-1)=E(Y1-01[H t+k 0)=p 对于非负整数k,有 cov(,Y+k)=E(Y+k)=E[Y,(1+k-1+e1+k-1) E(,p+k1)+E(e1+k-1)=PE(Yy1+k-1) EIY(PX+-2+e1+k-2)=PE(Y,Y+-1) 这里σ是时间不变量,cov(x,Hk)不依赖于时点t,仅依赖于两个随机变量 之间的时间间隔k,因此可以用γk表示cov,yk)yk是时间间隔k的函数, 且yk=yk自协方差序列y(k=土1,±2,…)称为随机过程Y的自协方差函数 auto cov ariance function
二、自协方差函数和自相关函数 自协方差函数是描述时间序列随机型结构的重要工具。 。 且 。自协方差序列 ， ， ）称为随机过程 的自协方差函数 之间的时间间隔 ，因此可以用 表示 。 是时间间隔 的函数 这里 是时间不变量， 不依赖于时点 ，仅依赖于两个随机变量 对于非负整数 ，有 的线性依赖关系。对于 协方差 称为自协方差（ ）协方差度量了单一随机过程两个元素之间 一个随机过程 的两个元素 和 之间的协方差为： ( cov ) ( 1 2 cov( , ) , cov( , ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) cov( , ) ( ) [ ( )] cov( , ) ([ 0][ 0]) , cov cov( , ) ([ ( )][ ( )]) 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 auto ariance function k Y k Y Y k Y Y t E Y Y e E YY E Y Y E e E YY Y Y E YY E Y Y e k Y Y E Y Y Y Y e auto ariance Y Y E Y E Y Y E Y Y Y Y k k k t k t t k k Y t t k Y k t t k t k t t k t t k t k t t k t t k t t k t t k t k t t t t k Y t t t t t k t t t k t k t t t k = = = = = + = = + = = = + = − − = = + = − − − + + + − + − + − + − + − + − + + + − + − − + − + + + +
自协方差函数y本质上依赖于随机变量的计量单位。例如,工资按美 元和按美分计量的自协方差不同 E(Z121+k)=E(100X7,100X7+)=10000E(,Y2+k) 将自协方差标准化:把每个〃除以随机过程的方差y=1,可以得到自相关 函数( autocorrelation function,ACF k=0.±1+2 对于H=p1+,n=2 p,k=1,2 Yo 由于只有随机过程的样本,只能根据样本数据计算出样本自相关函数 (Sample autocorrelation function) 样本协方差內 ∑(X-Y)(Y+k-Y) 样本方差 ∑(-y) 样本自相关函数:B=
对于 。 函数 ： 将自协方差标准化：把每个 除以随机过程的方差 可以得到自相关 元和按美分计量的自协方差不同： 自协方差函数 本质上依赖于随机变量的计量单位。例如，工资按美 , , 1,2, , 0, 1, 2, ( , ) , E( , ) E(100 ,100 ) 10000E( , ) 2 2 0 1 0 0 = + = = = = = = = = = − + + + Y Y e k k autocorrelation function ACF Z Z Y Y Y Y k Y Y k k t t t k k k k Y t t k t t k t t k k 由于只有随机过程的样本，只能根据样本数据计算出样本自相关函数 （Sample autocorrelation function) ： k ˆ 0 2 0 ˆ ˆ ˆ ) ˆ )( ) ˆ k k t t t k k n Y Y n Y Y Y Y = − = − − = + 样本自相关函数： （ 样本方差 （ 样本协方差
、平稳随机过程 并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间 隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔,且具 有常数均值和有限方差的随机过程,称为平稳过程( stationary process): (1)E(X1)= (2)Var(Y,)<∞ (3)covY1,+k)=E[(Y1-)(Y1+k-1)=yk 显然,白噪声过程是一个平稳过程,而Y=p1+e(|pk1)也是一个 平稳过程。 如果随机过程不满足上述条件,则称为非平稳随机过程。 平稳随机过程产生的时间序列,为平稳序列。平稳性是时间序列的一个 重要的特性,它保证了随机过程基本上没有结构变动,而结构变动会给预测 带来困难,甚至不可预测
三、平稳随机过程 并非所有随机过程的两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间 隔。我们把任意两个元素之间的协方差都只依赖于它们的时间间隔，且具 有常数均值和有限方差的随机过程，称为平稳过程(stationary process)： t t k t t k k t t Y Y E Y Y Y E Y = − − = = + + (3) cov( , ) [( )( )] 2 var( ) (1) ( ) （ ） 平稳过程。 显然，白噪声过程是一个平稳过程，而Yt = Yt −1 + et （| |1）也是一个 如果随机过程不满足上述条件，则称为非平稳随机过程。 平稳随机过程产生的时间序列，为平稳序列。平稳性是时间序列的一个 重要的特性，它保证了随机过程基本上没有结构变动，而结构变动会给预测 带来困难，甚至不可预测
四、平稳性的检验 1、博克斯-皮尔斯(Box- Pierce)Q统计量 平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔k的增大而衰减,因 此,对时间序列的样本自相关函数是否显著地不为零,来检验序列的平稳 性 Q统计量定义为 Q=n∑P2,其中n为样本容量,m为滞后长度 k=1 Q统计量近似(大样本)遵循自由度为m的x2分布。如果计算的Q统计量 大于一定显著水平下的临界值,则拒绝ρ同时为零的假设,序列为非平稳 序列。 2、单位根检验( Unit root test) 考虑以阶自回归模型 Y=py+e,其中e白噪声。 如果p=1,则为非平稳时间序列。因此可对Y1=pyx1+e作回归,检查戶 是否显著等于1。若p=1则存在单位根
四、平稳性的检验 1、博克斯-皮尔斯（Box-Pierce)Q统计量 平稳过程的一个显著特征是自相关函数随时间间隔k的增大而衰减，因 此，对时间序列的样本自相关函数是否显著地不为零，来检验序列的平稳 性。 序列。 大于一定显著水平下的临界值，则拒绝 同时为零的假设，序列为非平稳 统计量近似（大样本）遵循自由度为 的 分布。如果计算的 统计量 其中 为样本容量， 为滞后长度。 统计量定义为： k m k k Q m Q n n m Q Q ˆ , 2 1 2 = = 2、单位根检验（Unit root test) 考虑以阶自回归模型： 是否显著等于 。若 则存在单位根 如果 ，则为非平稳时间序列。因此可对 作回归，检查 其中 白噪声。 1 1 1 ˆ , e 1 1 t = = = + = + − − t t t t t t Y Y e Y Y e
或者对其一阶差分后的形式:△y=(1-p)X1+e1=Y1+e进行估计, 检验δ是否显著为0。 由于按通常方式计算的p的t统计量不遵从t分布,将之称为t统计量。 通过査找统计量表,根据与临界值的比较来决定是否拒绝ρ=l的假设 该检验称为迪基一富勒(DF)检验。 如果计算的t统计量的绝对值超过DF临界r绝对值,则不拒绝所给 时间序列是平稳的假设,反之,如果小于临界值的绝对值,则时间序列 是非平稳的。 常用以下形式的回归作DF检验: △Y,=δY,-1+e, △Y=B1+oY1-1+e △Y1=B1+B2t+Y1-1+e 其中t为时间或趋势变量。在以上形式中,原假设均为δ=0,即存在单位根。 后面的两个式子式为了消除截距项和趋势项的影响
后面的两个式子式为了消除截距项和趋势项的影响。 其中 为时间或趋势变量。在以上形式中，原假设均为 ，即存在单位根。 常用以下形式的回归作 检验： 是非平稳的。 时间序列是平稳的假设，反之，如果小于临界值的绝对值，则时间序列 如果计算的 统计量的绝对值超过 临界 的绝对值，则不拒绝所给 该检验称为迪基 富勒（ 检验。 通过查找 统计量表，根据与临界值的比较来决定是否拒绝 的假设。 由于按通常方式计算的 的 统计量不遵从 分布，将之称为 统计量。 检验 是否显著为 。 或者对其一阶差分后的形式： 进行估计， 0 ) 1 t 0 (1 ) 1 2 1 1 1 1 1 1 = = + + + = + + = + − = = − + = + − − − − − t Y t Y e Y Y e Y Y e DF DF DF t Y Y e Y e t t t t t t t t t k t t t t t