第六章弯曲变形86—1工程中的弯曲变形问题
第六章 弯曲变形 §6—1 工程中的弯曲变形问题
S6-2挠曲线微分方程E。研究平面弯曲梁且不计剪力F对梁变形的影响一。有关概念：F挠曲线一梁变形后的轴线1XO（为连续光滑的曲线）w=f（x）一挠曲线方程(6.1)挠度和转角挠度一梁横截面形心的垂直线位移w度量梁变形的转角一梁横截面绕中性轴转过的角度0两个基本量dw挠度和转角的关系0 =0'= tg0'1dxdwer转角方程= arctan((6.2)dx
研究平面弯曲梁且不计剪力FS对梁变形的影响 一. 有关概念： ① 挠曲线 — （为连续光滑的曲线） w = f（x）—挠曲线 方程 梁变形后的轴线 ② 挠度和转角 挠度 — 梁横截面形心的垂直线位移w 转角 — 梁横截面绕中性轴转过的角度θ 度量梁变形的 两个基本量 ③ 挠度和转角的关系 = 转角方程 （6 .2） w θ Θ’ (6.1) F x y §6—2 挠曲线 微分方程 x dx dw tg = arctan( ) dx dw =
④挠度和转角的符号规定挠度：向上为正，反之为负：转角：逆时针为正，反之为负
④挠度和转角的符号规定： 挠度：向上为正，反之为负； 转角：逆时针为正，反之为负。 w θ F x y x
二.挠曲线微分方程HMX由已知：EI由高数：M3/203/2EI2D10小变形，1°=0.0175弧度,::02=(w)<0.0175远小于1：上式近似为：MA=±w"EIP
二.挠曲线微分方程： 由已知： EI M = 1 由高数： ( ) 3/ 2 2 1 1 y y + = ( ) EI M w w = + = 3/ 2 2 1 1 小变形， ＜1 ( ) 2 2 2 1 = 0.0175弧度， = w ＜0.0175 远小于1 EI M = w = 1 上式近似为： x w θ F x y
MX±w"EIMdW(6.5)（梁挠曲线近似微分方程）dr2EI①小变形忽略了w2公式适M近似在（推用）o忽略了Fs用条件：0EIO细长梁（略Fs）M0d'wdwdrodr2MMC2
y EI M w = EI M dx d w = 2 2 （6.5） ——（梁挠曲线近似微分方程） ① 忽略了w′2 ② 忽略了FS 近似在 ① 小变形 ② σ＜σp ③ 细长梁（略FS ） （推 用） EIz M = 公式适 1 用条件： x w θ F x y
S63积分法求弯曲变形1MdWFCEIdxd'wEI= M(x)dr?dwEI0(x)= EI( M(x)dx+c积分一次：dx再积分一次：LM(x)dx dx + cx + DElw(x)= (C、D一积分常数
EI M dx d w = 2 2 ( ) 2 2 M x dx d w EI = 积分一次： = = M x dx + c dx dw EI (x) EI ( ) 再积分一次： EIw(x) = M (x)dx dx + cx + D C、D — 积分常数 §6—3 积分法求弯曲变形 F x y
积分常数CD由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。光滑连续条件位移边界条件AAAAAAAA金W =0WAL=WARWA=△WAL =WARW=00.=0△一弹簧变形OAL =OAR
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 A A A A A A ~ ~ ~ ~ A ~ A A A A A ~ ~ ~ ~ ~ A A A A A A ~ ~ ~ ~ ~ A A A A A A ~ ~ ~ ~ ~ A A A A A A ~ ~ ~ ~ ~ wA = 0 wA = 0 A = 0 wA = 位移边界条件 光滑连续条件 wAL = wAR AL = AR wAL = wAR －弹簧变形
边界条件举例：BWA=02个①悬臂梁：X=0：0=0BX=0,WA=简支梁：2②012个WB=0X=L,FpllFp2B图示梁，M要分段，有M（x）、M，3Cx方wi(x)W2(x)相应的有：0(x)0,(x)共4个积分常数两个边界条件：X=0, WA=0,0=0两个连续光滑条件：X=a,W1c=W2c ic=Q2C
边界条件举例： ① 悬臂梁： ② 简支梁： ③ 图示梁，M要分段，有M1（x）、M2（x） x = 0： wA= 0 θA= 0 2个 2个 x = 0， wA= 0 x =L， wB= 0 相应的有： ( ) ( ) 1 1 x w x ( ) ( ) 2 2 x w x 共4个积分常数 两个边界条件： x = 0，wA = 0， θA= 0 两个连续光滑条件： x = a，w1c = w2c ， θ1C= θ2C L A B x1 x2 B a b L A FP1 FP2 L A B
例：对图示梁进行变形分析PbaBA解：一、取坐标系，列挠曲线微分方程SRpbRA1.求反力：RA = RBL2.写M(x)M(x)pbAC: M(x) = Pbxz - P(x2 -α)CB: M(x,) :三XLI3.列挠曲线微分方程d'wpbd'wpbCB: EI-xz -P(xz -a)AC:EIXdr?dr?LL二、积分：XpbdwAC:EI+C2LdxXpbElw =+Cx +DL6
例：对图示梁进行变形分析 解：一、取坐标系，列挠曲线微分方程 1.求反力: 2.写M（x1）、M（x2） 1 1 : ( ) x L pb AC M x = x P(x a) L pb CB : M (x2 ) = 2 − 2 − x P(x a) L pb dx d w CB EI = − − 2 2 2 2 : 2 1 2 : x L pb dx d w AC EI = x P a b L A B x1 x2 RB RA L pb RA = 二、积分： 3.列挠曲线微分方程: 1 2 1 2 C x L pb dx dw AC： EI = + 1 1 1 3 1 6 C x D x L pb EIw = + + c
AC:CB:X,_PL+C,pbdwdwEIEI+C22LdxL2dxx P(x2-a)Xpbpb+C,x2 + D,EwElw=+C,x +DL66L6三、定常数：代入得: C,=C,连续光滑条件：==a: =D, = D,Wi = W2由边界条件：得： D, =0X =0,w, =0得: pb L_P(L-a)"X = L,W, = 0-+C,L=0,L 66PbpbaL?-b2B?A.C,=A6LCXMIN
1 1 1 3 1 6 C x D x L pb EIw = + + 1 2 1 2 C x L pb dx dw EI = + AC： CB： ( ) 2 2 2 3 2 3 2 6 6 C x D x P x a L pb EIw + + − = − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 C x P x a L pb dx dw EI + − = − 三、定常数： 连续光滑条件： : 1 2 x = x = a 1 2 = w1 = w2 代入得： C1 = C2 D1 = D2 由边界条件： 0, 0 x1 = w1 = , 0 x2 = L w2 = 得： D1 = 0 ( ) 2 2 2 6 L b L pb C = − − ( ) 0, 6 6 2 3 3 + = − − C L L P L a L 得： pb x P a b L A B c