《材料力学》课程教学课件（PPT讲稿）第十三章 能量原理在位移分析中的应用

第十三章能量原理在位移分析中的应用810-1基本概念810-2互等定理810-3福应用于弹性杆件的虚位移原理

第十三章 能量原理在位移分析中的应用 §10-1 基本概念 §10-2 互等定理 §10-3 应用于弹性杆件的虚位移原理

M第十三章能量方法IFs13-1概述WY4V. =WF线性：二W- { FdAFA一AT42dA/A-

第十三章 能量方法 §13—1 概 述 线性： =  =    W Fd F 2 1 F dΔ Δ Δ F F Δ F V =W

S13-2杆件应变能的计算一、轴向拉（压）；FN (X)FLXWF△=V,而△dx12EAF?LA(13.2)F2EAAdx或(13.3)2EA4L应变能219密度：08(13.4)Da22E

一、轴向拉（压）； , 2 1 W = F =V EA FL 而  = EA F L V 2 2   =  = L N EA F dx V 2 2  或： 应变能 密度： , E v 2 2 1 2   =   = dX FN（X） P Δ Δ F X （13.3) （13.2) §13-2 杆件应变能的计算 （13.4)

二、扭转；M.L外力功；W==M.P=Vs,P而：?：GIpMeMeM.lMe2GIp(13.6)dxT(x)dxT或：(13.7)2GIP

二、扭转； 外力功； , W = Me  =V 2 1 P e GI M L 而：  =  = l GIP T x dx V 2 2 ( )  或： Me P φ e GI M l V 2 2   = Me Me dX （13.7) （13.6)

三、纯剪切：1(tdydz)dx · dxdydz2(13.5)

三、纯剪切： 2 1 v = τ γ （13.5) (dydz)dx  dxdydz 1  2 1 = x z y γ   x z y dy dz dx

四、弯曲：(Fs的影响略去）M,(x)内力与变形dxdoXdxEI仍成正比M.(X) +dM, (X)Mz (X)do1dodw1.(x)+dMM.(x■一12222FsIFsM?(x)dedxM.(x)de22EI(x)Mz (X) +dM, (X)M口M'(x)dxdw2EIdedo22(13.8)

四、弯曲: (FS的影响略去) dx EI M x d z z ( )  = 内力与变形 仍成正比   2 ( ) 2 1 2 ( ) 2 1  d M x dM d dW M x = z + z + z dx EI M x M x d z z z 2 ( ) ( ) 2 1 2 =  =   = = L z z L EI M x dx V dW 2 2 ( )  FS FS Mz（X） Mz（X）+dMz（X） z X dX 2 d 2 d Mz（X） Mz（X）+dMz（X） dθ （13.8)

同理，存在M、（x）M;(x)dx有：主轴平面2EIL若M或M为常量（纯弯曲）M,1M,lV或：V.2EI2EI

同理，存在My（x） 有 ：  = L y y EI M x dx V 2 2 ( )  若Mz或My为常量（纯弯曲） z Z EI M l V 2 2  = y y EI M l V 2 2 或：  = z 主轴平面 y x

综上：变形能表达式可统一为：1(13.9)FS=W2力F-------广义力力偶线位移-------与F对应的广义位移角位移公式适用范围：(1)载荷由0加至最终值：（2）在线性范围内

综上： 变形能表达式可统一为 ： V W F 2 1 = = F-广义力 δ-与F对应的广义位移 力 力偶 线位移 角位移 公式适用范围： (1)载荷由0加至最终值； （2）在线性范围内。 （13.9)

S 13-3变形能的普遍表达式一、V，的普遍表达式：：V。与加载的中间过程无关，只与载荷最终值有关设F..F，按相同比例由0分别加至各自最终值。则：各载荷与相应位移保持线性关系1V.=W=二F.oFS+=一F0+...+nn222L0d(10.12)H30-K320101S10332d3

一、Vε 的普遍表达式： § 13-3 变形能的普遍表达式 ∵ Vε 与加载的中间过程无关，只与载荷最终值有关 ∴ 设 F1 . Fn按相同比例由0分别加至各自最终值。 则： 各载荷与相应位移保持线性关系 δ1 F δ F1 F1 Fn F3 F2 δ1 δ2 δ3 δn V W F  F  Fn  n 2 1 2 1 2 1  = = 1 1 + 2 2 ++ （10.12) （13.8) 3  1 3 F1 3 2F1 3 2 1

二、组合变形杆件的V：dx杆上同时存在Fv、M、Mz、T：dx即微段d(L) de,、de、dp杆变形X有：1+=T(x)dp+=M,(x)de, +=M,(x)de.F(x)d())+dv2222M?FT2M?NZdxdx +dx+dx +2EA2EI2EI2GIp1ZT(x)dxFn(x)dxM(x)dxdod()=de三GIpEAEI

杆上同时存在 F N 、 M y 、 M z 、 T ： 即微段 杆变形： d ( L )、 d y 、 d z 、 d 有： x dx dx y x z 二、组合变形杆件的 V ε ： N z z y d z dV F x d l T x d M x d M (x)  21 ( ) 21 ( ) 21 ( ) ( ) 21  =  + + + EA F x dx d l N ( ) (  ) = GIP T x dx d ( )  = EI M x dx d ( )  = dx G I T dx E I M dx E I M dx EA F z P z y N y 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + +