线性代数_行列式的性质

§1.3行列式的性质 阶行列式共有n!项,因此定义计算n阶行列式是较 为困难的,只有少数行列式用定义计算比较方便 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元 素的乘积.因此我们想到能否把一般的行列式化成三角 行列式来计算,这就需要研究行列式的性质 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 §1.3 行列式的性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃 n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列式是较 为困难的 只有少数行列式用定义计算比较方便 我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元 素的乘积 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角 行列式来计算 这就需要研究行列式的性质

行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式,记为D或D,即如果 1121 D=a21a22n,则D7=42a22a2 ann 显然,若D=D=b则bn=a(产=1,2 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 即如果 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a D        =  则 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n T a a a a a a a a a D        =  1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a D        =  则 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n T a a a a a a a a a D        =  显然 若D=|aij| DT=|bij| 则bij=aji(i j=1 2   n) 下页

行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式,记为D或D 性质1将行列式转置,行列式的值不变,即D=D7 证:记D=D=b则ban(=1,2,…,m,按定义及定 理1.3,D的一般项为 (-1)O)bb2…bm1=(-1)M)1(12amn N(i2…jn)+N(12m) i12 这也是D的一般项,所以D=Dr 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 性质1 将行列式转置 行列式的值不变 即D=DT  证 记D=|aij| DT=|bij| 则bij=aji (i j=1 2  n) 按定义及定 理13 DT的一般项为 n n j j nj N j j j − b b b  1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) j j j n N j j j n = − n a a a  1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) j j j n N j j j N n n ( 1) n a 1 a 2 a ( ) (1 2 ) 1 2 1 2 = −   +   这也是D的一般项 所以D=DT  n n j j nj N j j j − b b b  1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) j j j n N j j j n = − n a a a  1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) 下页

性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号. 证:记D交换D的第行与第(s<()行得到的行列式为 D1=b则b=an,b=0(=1,2,…,n),D1的一般项为 (-1)-)bb…b…bm1 =(-1)A(bma =(-1) NGj…jj1列。m =-(1U,/,y,"Jw, asi, a,"ani 它与D的一般项相差一个负号,所以D=D 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 性质2 互换行列式的两行(列)行列式的值变号 记D=|aij| 交换D的第s行与第t(st)行得到的行列式为 D1=|bij| 则bsj=atj  btj=asj(j=1 2  n) D1的一般项为 证 s t n s t n j sj tj n j N j j j j − b b b b    1 1 1 ( ) ( 1) s t n s t n j tj sj n j N j j j j = − a a a a    1 1 1 ( ) ( 1) t s n s t n j sj tj n j N j j j j = − a a a a    1 1 1 ( ) ( 1) t s n t s n j sj tj n j N j j j j =− − a a a a    1 1 1 ( ) ( 1)  它与D的一般项相差一个负号所以D1=−D 下页

性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论如果行列式中有两行(列的对应元素相同,则此行 列式的值为零 这是因为,将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得 的行列式仍为D,但由性质2可知其结果应为一D,因此D=D, 所以D=0 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同则此行 列式的值为零 这是因为 将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得 的行列式仍为D 但由性质2可知其结果应为−D因此D=−D 所以D=0 性质2 互换行列式的两行(列)行列式的值变号 下页

性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论如果行列式中有两行(列的对应元素相同,则此行 列式的值为零 性质3用数k乘以行列式的某一行(列),等于以数k乘此行 列式即如果设D=kan,则 D1=kh1ka2…kan=kana…am=kD 7 un2 unn 这是因为D的一般项为 12…in) (ka1) kIG1NU1J2 上面等号右端方括号内是D的一般项,所以D1=D 首页上页返回下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)等于以数k乘此行 列式 即如果设D=|aij| 则 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同则此行 列式的值为零 性质2 互换行列式的两行(列)行列式的值变号 这是因为D1的一般项为 i n n j ij n j N j j j ( 1) a (k a ) a 1 1 2 1 ( ) −    [( 1) ] 1 1 2 1 ( ) i n n j ij n j N j j j =k − a a a   上面等号右端方括号内是D的一般项所以D1=kD 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 n n n n i i in n a a a k a k a k a a a a D            = k D a a a a a a a a a k n n n n i i in n =            = 1 2 1 2 1 1 1 2 1  下页

性质2互换行列式的两行(列),行列式的值变号. 推论如果行列式中有两行(列的对应元素相同,则此行 列式的值为零 性质3用数k乘以行列式的某一行(列),等于以数k乘此行 列式 推论1如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因 子可以提到行列式外面. 推论2如果行列式有两行(列的对应元素成比例,则此行 列式的值为零 因为由推论1,可将行列式中这两行(列的比例系数提到 行列式外面,则余下的行列式有两行(列)对应元素相同,由性 质2可知此行列式的值等于零,所以原行列式的值等于零. 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子则公因 子可以提到行列式外面 推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例则此行 列式的值为零 性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)等于以数k乘此行 列式 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同则此行 列式的值为零 性质2 互换行列式的两行(列)行列式的值变号 因为由推论1 可将行列式中这两行(列)的比例系数提到 行列式外面 则余下的行列式有两行(列)对应元素相同 由性 质2可知此行列式的值等于零 所以原行列式的值等于零 下页

性质4如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两 个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和例如 2 2 l12 an+bna2+b2…an+bn=anan2…am+hb2…bm nn nl un2 nn 这是因为 NG2…jn)n, (-1)Oa1n1…a1+a1nbam 1)~O2 .+ N(iJ2"n a: ..h...a1jmn 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两 个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和例如 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 n n n n i i in n n n n n i i in n n n n n i i i i in in n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a            +            =      + +  +       i i n n j ij ij n j N j j j − a  a +b a  ( 1) ( ) 1 1 2 1 ( ) ( 1) [ ] 1 1 1 2 1 1 ( ) i n i n n j ij n j j ij n j N j j j = − a a a +a b a  i n n j ij n j N j j j = − a a a  1 1 2 1 ( ) ( 1) i n n j ij n j N j j j + − a b a  1 1 2 1 ( ) ( 1)  这是因为 下页

性质4如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两 个数的和,则此行列式可以写成两个行列式的和例如 2 2 l12 an+bna2+b2…an+bn=anan2…am+hb2…bm nn nl un2 nn 推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数 的和,则此行列式可以写成m个行列式的和 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数 的和 则此行列式可以写成m个行列式的和 性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两 个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和例如 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 n n n n i i in n n n n n i i in n n n n n i i i i in in n a a a b b b a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b a a a            +            =      + +  +       下页

性质5将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数后加 到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变例如 2 11 12 +k1a12+ka32…amn+ka 1 uS2 run nn 12 nn l1c12 In iI ui2 ke I Us2 kc 这是因为,右边 sl us2 2 1 un2 nn 72 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加 到另一行(列)对应位置的元素上行列式的值不变 例如 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 n n n n s s sn i i in n a a a a a a a a a a a a                 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 n n n n s s sn i s i s in sn n a a a a a a a k a a k a a k a a a a           + +  +      =  这是因为 右边 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 n n n n s s sn s s sn n n n n n s s sn i i in n a a a a a a k a k a k a a a a a a a a a a a a a a a a                 +                 =  下页