微积分_微分

§3.5微分 、微分的定义 二、微分的几何意义 微分法则 四、微分在近似计算中的应用 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 §3.5 微 分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分法则 四、微分在近似计算中的应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、微分的定义 设有一个边长为x的正方形,其面积为S,显然S=x2.如果边 长x取得一个改Ax,则面积S也取得改变量 △S=(x+△x)2-(x)2=2x△x+(△x)2 当Ax->0时,(△x)2是比Ax高阶 (△x)2 的无穷小量,即(△x)2=0(△x); 2x△x 2x△x是Ax的线性函数,当△x 很小时,可以用2xAx近似地代替 △S,其误差AS-2xAx是一个比△x 高阶的无穷小量 Y-x 我们把2△x叫作正方形面积 S的微分,记作dS=2x△x △x 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、微分的定义 Dx Dx x x y=x 2 2xDx (Dx) 2 设有一个边长为x的正方形 其面积为S 显然S=x 2  如果边 长x取得一个改Dx则面积S也取得改变量 DS=(x+Dx) 2−(x) 2=2xDx+(Dx) 2  当Dx→0时 (Dx) 2是比Dx高阶 的无穷小量 即(Dx) 2=o(Dx) 2xDx是Dx的线性函数 当Dx 很小时 可以用2xDx近似地代替 DS 其误差DS−2xDx是一个比Dx 高阶的无穷小量 我们把2xDx叫作正方形面积 S的微分 记作dS=2xDx 下页

定义3.3(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Ax,如果函数y=f(x)的相应 改变量y可以表示为 △y=A△x+O(△x)(△x→>0), 其中4与△x无关,则称函数y=fx)在点x处可微并称Ax为函数 y=(x)在点x处的微分,记作dy或dx),即 dy=d(x)=A△x. 说明 微分是自变量的改变量△x的线性函数,通常称为函数改 变量y线性主部 当Ax->0时,微分与函数的改变量的差是一个比Ax高阶 的无穷小量o(△x) 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 定义33(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Dx 如果函数y=f(x)的相应 改变量Dy可以表示为 Dy=ADx+o(Dx) (Dx→0) 其中A与Dx无关 则称函数y=f(x)在点x处可微 并称ADx为函数 y=f(x)在点x处的微分记作 dy或df(x)即 dy=df(x)=ADx 微分是自变量的改变量Dx的线性函数 通常称为函数改 变量Dy的线性主部 当Dx→0时 微分与函数的改变量Dy的差是一个比Dx高阶 的无穷小量o(Dx) 说明 下页

定义3.3(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Ax,如果函数y=f(x)的相应 改变量y可以表示为 △y=A△x+O(△x)(△x→>0), 其中4与△x无关,则称函数y=fx)在点x处可微并称Ax为函数 y=(x)在点x处的微分,记作dy或dx),即 dy=d(x)=A△x. 说明 微分dy=AAx与函数改变量y是等价无穷小量: lim AAx+o(△x) m Ax->0 dy Ax->0 AAx 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 定义33(函数的微分) 对于自变量在点x处的改变量Dx 如果函数y=f(x)的相应 改变量Dy可以表示为 Dy=ADx+o(Dx) (Dx→0) 其中A与Dx无关 则称函数y=f(x)在点x处可微 并称ADx为函数 y=f(x)在点x处的微分记作 dy或df(x)即 dy=df(x)=ADx 微分dy=ADx与函数改变量Dy是等价无穷小量 说明 1 ( ) lim lim 0 0 = D D + D = D D → D → A x A x o x dy y x x  下页

函数可微的条件 函数x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导, 且当函数(x)在点x可微时,其微分一定是 dly=r"(x)△x 简要证明:一方面 △y=AAx+0(△x)A=AOAx)→imn=f(x)=A △x→>0△x 另一方面 lmy=r(xb)→A=(x)+→y=f(x)x+aAx Ax->0△v △x 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数可微的条件 函数f(x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导 且当函数f(x)在点x可微时 其微分一定是 dy=f (x)Dx 简要证明 一方面 f x A x y x o x A x y y A x o x x =  = D D  D D = + D D D = D + D  D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0  另一方面 f x y f x x x x y f x x y x =  + D =  D + D D D =   D D D → lim ( 0 ) ( 0 )  ( 0 )  0  f x A x y x o x A x y y A x o x x =  = D D  D D = + D D D = D + D  D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A x y x o x A x y y A x o x x =  = D D  D D = + D D D = D + D  D → lim ( ) ( ) ( ) 0 0  f x y f x x x x y f x x y x =  + D =  D + D D D =   D D D → lim ( 0 ) ( 0 )  ( 0 )  0 f x y f x x x  x y f x x y x =  + D =  D + D D D =   D D D → lim ( 0 ) ( 0 )  ( 0 )  0  下页

函数可微的条件 函数x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导, 且当函数(x)在点x可微时,其微分一定是 dy=f"(x)△x 自变量的微分: 如果将自变量x当作自已的函数y=x,则得 dy=x△x=Ax, 因此dx=Ax.于是函数y=fx)的微分又可记作 dy=f'(x)dx 即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积 导数=f(x)是函数的微分小与自变量的微分之商 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 函数可微的条件 函数f(x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导 且当函数f(x)在点x可微时 其微分一定是 dy=f (x)Dx 自变量的微分 如果将自变量x当作自已的函数y=x则得 dy=xDx=Dx 因此dx=Dx 即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积 dy=f (x)dx 于是函数y=f(x)的微分又可记作 导数 f (x) dx dy =  是函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商 下页

例1.求函数y=x2当x由1改变到1.01时的微分 解:函数的微分为 dy=(xt)'dx=2xdx, 当x=1,dx=0.01时 dy=2.1×0.01=0.02. 例2.求函数y=lnx的微分 解:d=(nx)=1at 首页 上页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例1 求函数y=x 2当x由1改变到101时的微分 函数的微分为 dy=(x 2 )dx 当x=1 dx=001时 dy=21001=002 =2xdx 解 例2 求函数y=ln x的微分 解 dx x dy x dx 1 解 =(ln ) = dx  x dy x dx 1 =(ln ) =  首页

二、微分的几何意义 当x从x变到x0+△x时, Δy是曲线上点的纵坐标的增量; d是过点(x,f(x0)的切线上点的纵坐标的增量 当Ax很小时,ydy此比 x小得多 y=f(x) 因此,在点M的邻近,我 们可以用切线段来近似代替 △ 曲线段 M O xo x+△x 首页 上页 返回 下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、微分的几何意义 当|Dx|很小时 |Dy−dy|比 |Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我 们可以用切线段来近似代替 曲线段 Dy是曲线上点的纵坐标的增量 dy是过点(x0  f(x0 ))的切线上点的纵坐标的增量 当x从x0变到x0+Dx时 首页

、微分法则 1.基本初等函数的微分公式 导数公式: 微分公式: x (x=uxA-dx (sin x)'=cos x d(sin x ) =cos xdx (cos x)'=-sin x (cos x)=-sin xdx (tanx)′=sec2x d(tan x)=secixdx (cot x) CSCW d( cot x)=-csclxdx (Secx)’= secx tan x asex=secx tan rax (cscx)’= cscw cot x d(csc x)=-cSC x cot xdx (a'=ar In a a=aIn aax e e e=eax 首页上页返回下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、微分法则 d(x m )=m x m−1dx d(sin x)=cos xdx d(cos x)=−sin xdx d(tan x)=sec2xdx d(cot x)=−csc2xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=−csc x cot xdx d(a x )=a x ln adx d(e x )=e xdx 微分公式 (x m )=m x m−1 (sin x)=cos x (cos x)=−sin x (tan x)=sec2 x (cot x)=−csc2x (sec x)=sec x tan x (csc x)=−csc x cot x (a x )=a x ln a (e x )=e x 导数公式 1 基本初等函数的微分公式 下页

导数公式: 微分公式: (logar)= xIn d(loga x) xIna (In x) d(In x)=dx X arcsinx d (arcsinx)√-3 arccos d(arccos (arctan)'s-I d(arctan) dx x 1+x (arccot) (arccot) dx 1+x 1+x2 首页上页返回下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 dx x a d x a ln 1 (log )= dx x d x 1 (ln )= dx x d x 1 2 1 (arcsin ) − = dx x d x 1 2 1 (arccos ) − =− dx x d x 1 2 1 (arctan ) + = dx x d x 1 2 1 (arccot ) + =− 微分公式 x a x a ln 1 (log ) = x x 1 (ln ) = 1 2 1 (arcsin ) x x −  = 1 2 1 (arccos ) x x −  =− 1 2 1 (arctan ) x x +  = 1 2 1 (arccot ) x x +  =− 导数公式 下页