线性代数_n阶行列式

§1.2n阶行列式 、排列与逆序 二、n阶行列式的定义 1412 2122 =∑( DNUJ2"Jna1i a2"dnjm 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 §1.2 n阶行列式 一、排列与逆序 二、n阶行列式的定义 首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a        = −   n n j j n j N j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) 

、排列与逆序 排列 由n个不同数码1,2,…,n组成的有序数组2…i称为 个n级排列 定义1.1(逆序数) 在m级数排列i…i…;…i中,如果i>i,则称与i构成一个 逆序排列h12…n中逆序的总数称为逆序数,记为N(12…in) 奇排列与偶排列 如果逆序数N(i2…in是奇数,则排列…称为奇排列; 如果逆序数N(i2…in)是偶数或0,则排列h12…称为偶排列 例如,1234和3421都是4级排例,25431是一个5级排列 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 一、排列与逆序 排列 由n个不同数码1 2   n组成的有序数组i 1 i 2  i n称为一 个n级排列 定义11(逆序数) 在n级数排列i 1 i s i t i n中 如果i si t  则称i s与i t构成一个 逆序 排列i 1 i 2  i n中逆序的总数称为逆序数 记为N(i 1 i 2  i n ) 例如 1234和3421都是4级排例 25431是一个5级排列 奇排列与偶排列 如果逆序数N(i 1 i 2  i n )是奇数 则排列i 1 i 2  i n称为奇排列 如果逆序数N(i 1 i 2  i n )是偶数或0则排列i 1 i 2  i n称为偶排列 下页

、排列与逆序 排列 由n个不同数码1,2,…,n组成的有序数组2…i称为 个n级排列 定义1.1(逆序数) 在m级数排列i…i…;…i中,如果i>i,则称与i构成一个 逆序排列h12…n中逆序的总数称为逆序数,记为N(12…in) 奇排列与偶排列 如果逆序数N(i2…in是奇数,则排列…称为奇排列; 如果逆序数Ni1i2…in)是偶数或0,则排列12…i2称为偶排列 提示:M(1234)0,1234是偶排列N342l)=5,3421是奇排列 N(25431)=7,25431是奇排列 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 一、排列与逆序 排列 由n个不同数码1 2   n组成的有序数组i 1 i 2  i n称为一 个n级排列 定义11(逆序数) 在n级数排列i 1 i s i t i n中 如果i si t  则称i s与i t构成一个 逆序 排列i 1 i 2  i n中逆序的总数称为逆序数 记为N(i 1 i 2  i n ) 奇排列与偶排列 如果逆序数N(i 1 i 2  i n )是奇数 则排列i 1 i 2  i n称为奇排列 如果逆序数N(i 1 i 2  i n )是偶数或0则排列i 1 i 2  i n称为偶排列 N(25431)=7 N(1234)=0 1234是偶排列 N(3421)=5 3421是奇排列 25431是奇排列 下页

对换 在一个排列1………中,将数码与对调,就得到另 个排列1…i…i,这样的变换称为一个对换,记为对换(,) 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证:(1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 举例:对排列21354施以对换(1,4)后得到排列24351 提问:排列21354与排列24351的奇偶性如何? 首页上页返回下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对换 在一个排列i 1 i s i t i n中 将数码i s与i t对调 就得到另一 个排列i 1 i t i s i n 这样的变换称为一个对换记为对换(i t  i s ) 举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 提问 排列21354与排列24351的奇偶性如何? 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证 (1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 下页

对换 在一个排列1………中,将数码与对调,就得到另 个排列1………i2这样的变换称为一个对换,记为对换(i2b) 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证:(1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 (2)设排列…ik2k小…经过对换(i,变为…jk1k2…k 这个变换可以按如下方法完成:j与前面+1个数码逐个对 换,然后i后面s个数码逐个对换 按上述方法,总共进行了2s+1次相邻数码的对换,因为相 邻数码的对换的次数为奇数,所以最后得到的排列与原排列 的奇偶性不同. 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对换 在一个排列i 1 i s i t i n中 将数码i s与i t对调 就得到另一 个排列i 1 i t i s i n 这样的变换称为一个对换记为对换(i t  i s ) 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证 (1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 (2)设排列ik1 k2 ks j 经过对换(i j)变为jk1 k2 ks i   这个变换可以按如下方法完成 j与前面s+1个数码逐个对 换 然后i与后面s个数码逐个对换 按上述方法 总共进行了2s+1次相邻数码的对换 因为相 邻数码的对换的次数为奇数 所以最后得到的排列与原排列 的奇偶性不同 下页

对换 在一个排列1………中,将数码与对调,就得到另 个排列1………i2这样的变换称为一个对换,记为对换(i2b) 定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 定理1.2 n个数码(m>1)共有m个n级排列,其中奇偶排列各占一半 这是因为,一方面,n级排列的总数为n(n-1)…2.1=n! 另一方面,有排列i1……n必有排列1…ii…n两者 的奇偶性不同,所以奇偶排列数相等,各占一半 首页 上页 返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对换 在一个排列i 1 i s i t i n中 将数码i s与i t对调 就得到另一 个排列i 1 i t i s i n 这样的变换称为一个对换记为对换(i t  i s ) 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 定理12 n个数码(n1)共有n!个n级排列 其中奇偶排列各占一半 这是因为 一方面 n级排列的总数为n(n−1) 21=n! 另一方面 有排列 i 1 i s i t i n  必有排列i 1 i t i s i n  两者 的奇偶性不同 所以奇偶排列数相等 各占一半 首页

二、n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式 2 1122 01c 20121 22 21a22a231=a1223+122431+a1321432 31232a 11234y2-a12a214313422a31 (1)它们的项数与阶数有什么关系? (2)各项的一般形式怎样? (3)各项的符号与下标有怎样的关系? 定义n阶行列式时应保留二、三阶行列式的性质 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a = −  31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31 (1)它们的项数与阶数有什么关系? (2)各项的一般形式怎样? (3)各项的符号与下标有怎样的关系? 定义n阶行列式时应保留二、三阶行列式的性质 下页

二、n阶行列式的定义 定义1.2(m阶行列式) 用m2个元素an(产=-1,2,…,m)组成的记号 l112 2122 1un2 称为n阶行列式,它表示代数和 1J1 2j2 nj 其中和式中的排列2…要取遍所有n级排列 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、n阶行列式的定义 定义12(n阶行列式) 用n 2个元素aij (i j=1 2   n)组成的记号 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a        称为n阶行列式 它表示代数和  −   n n j j nj N j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)  其中和式中的排列j 1 j 2  j n要取遍所有n级排列 下页

21022 a2|=>1 N(j1/2…jn) n2j," 2 nn 说明 n阶行列式共有n项,且冠以正号的项和冠以负号的项各 占一半 在行列式中,a1421“n是取自不同行不同列的n个元 素的乘积 aa2…am1之前的符号是(-1)) 行列式有时简记为n一阶行列式就是a 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a        = −   n n j j n j N j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)  n阶行列式共有n!项 且冠以正号的项和冠以负号的项各 占一半 在行列式中 n jn a j a j a 1 1 2 2 是取自不同行不同列的 n 个元 素的乘积 n jn a j a j a 1 1 2 2 之前的符号是 ( ) 1 2 ( 1) n N j j  j −  行列式有时简记为|aij| 一阶行列式|a|就是a 说明 下页

21022 a2|=>1 N(j1/2…jn) 2 nn 提问 11a121314 对于四阶行列式212324,问: 31a32a 233a34 414243244 四阶行列式表示的代数和有多少项? 有4!=24项 (-1)~4312a1g23a312是否为行列式中的一项? 是 1)4314aa23a31a4是否为行列式中的一项? 不是 首页上页返回下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n a a a a a a a a a        = −   n n j j n j N j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 1)  提问 四阶行列式表示的代数和有多少项? −−−−−−有4!=24项 (−1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项? (−1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项? −−−−−−是 −−−−−−不是 对于四阶行列式 4 1 4 2 4 3 4 4 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a a a a a a a a a a a a a  问 下页