第六章弹性杆件位移分析 材料力学教案 学4学时 变形与位移的相依关系 奇异函数及其在确定梁位移中的应用 叠加法 1掌握弹性杆的变形位移的概念和基本公式 2.了解奇异函数及其在确定梁位移中的应用。 3.掌握工程计算中的叠加法 重重点:1)弹性杆件变形与位移和计算 2)工程计算中的叠加法 和 难难点:间断性分布荷载和组合受力时的叠加法。 教「1.叠加法应用于弹性支撑的情形一一逐段刚化法 方法2.讲授过程中在适当地方安排课堂讨论
1 第六章 弹性杆件位移分析 ————材料力学教案 学 时 4 学时 基 本 内 容 变形与位移的相依关系 奇异函数及其在确定梁位移中的应用 叠加法 教 学 目 的 1.掌握弹性杆的变形,位移的概念和基本公式。 2.了解奇异函数及其在确定梁位移中的应用。 3.掌握工程计算中的叠加法。 重 点 和 难 点 重点：1）弹性杆件变形与位移和计算。 2）工程计算中的叠加法。 难点：间断性分布荷载和组合受力时的叠加法。 教 学 方法 1．叠加法应用于弹性支撑的情形——逐段刚化法。 2．讲授过程中在适当地方安排课堂讨论。 作业
第六章弹性杆件位移分析 §6-1变形与位移的相依关系 1.微段变形——应力分析中得到的结论 根据第3章和第4章的分析。得到与Fx、Mx、M,和M对应的杆件微段的变形分 别由图6-1a、b、c中的表达式确定 EA F F dx dr+duN M M d M 同理 M 1 图6-1 2
2 第六章 弹性杆件位移分析 §6-1 变形与位移的相依关系 1. 微段变形——应力分析中得到的结论 根据第 3 章和第 4 章的分析。得到与 FNx 、 M x 、 M y 和 M z 对应的杆件微段的变形分 别由图 6-1a、b、c 中的表达式确定。 dx+duN x u EA F d d N N N N = , = x EA F du d N N = (a) d P d GI M x x = y y y EI M = 1 z z z EI M = 1 (b) (c) 同理： dx GI M d P x = 图 6-1
F 式6-1分别为微段的各种基本变形与对应的内力之间的关系 2.总体变形与横截面位移 在小变形情形下,与F、M,、M,和M对应的变形和位移都是相互独立的,因而 可以单独加以分析和计算。 1)拉压杆的轴向变形与轴向位移 图6-2所示承受轴向荷载作用但无约束的杆件,采用积分和叠加方法,由式(61)得到对 应于图6-2a、b、c所示的三种情形下杆件两端截面的相对位移,亦即杆件的总轴向变形的 计算示为 (a) 图6-2 du=FN dx△l=loy=dr (6-2) EA 上述无约束杆件,在空间的位置不确定,因而无法确定杆件横截面的位移。只有确定了 杆件在空间的位置,才能确定杆件横截面的位移。 2)梁的弹性曲线与梁的挠度和转角
3 x GI M x d d P = x EI M y d y d y = （6-1） x EI M z d z d z = 式 6-1 分别为微段的各种基本变形与对应的内力之间的关系。 2. 总体变形与横截面位移 在小变形情形下，与 FNx 、M x 、M y 和 M z 对应的变形和位移都是相互独立的，因而 可以单独加以分析和计算。 1）拉压杆的轴向变形与轴向位移 图 6-2 所示承受轴向荷载作用但无约束的杆件，采用积分和叠加方法，由式(6-1)得到对 应于图 6-2a、b、c 所示的三种情形下杆件两端截面的相对位移，亦即杆件的总轴向变形的 计算示为 x EA F du d N N = = → = l l x EA F l u 0 N Δ 0 d （6-2） 上述无约束杆件，在空间的位置不确定，因而无法确定杆件横截面的位移。只有确定了 杆件在空间的位置，才能确定杆件横截面的位移。 2）梁的弹性曲线与梁的挠度和转角 x EA F du d N N = 图 6-2 (a) (b)
梁在弯矩(M或M)的作用下发生弯曲变形为叙述简便起见,以下讨论只有一个方向弯 矩作用的情形,并略去下标,只用M表示弯矩所得到的目结果适用于M或M2单独作用的情 形 图6-3a所示的梁的变形,若在弹性范围内加载,梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑 曲线,如图6-3b所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线,或挠度曲线,简称弹性线或挠曲 线 梁在弯曲变形后,其横截面的位移包括三部分 挠度w一一横截面形心处的铅垂位移; 转角0一一横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度 水平位移u一一横截面形心沿水平方向的位移。 0(x) (x) 图6-3 图6-3b 在小变形情形下,上述位移中u与w相比为高阶小量,故通常不予考虑。 图6-4a、b、c所示三种承受弯曲的梁,在这三种情形下,AB段各横截面都受有相同 的弯矩(M=Fpa)作用 (b) 图6-4 根据式(6-1),在上述三种情形下,AB段梁的挠曲线具有相同的形状,即曲率(l/p)处处 对应相等。但是,由于约束不同,梁的位移则不完全相同。对于图6-4a所示的无约束梁 因为其在空间的位置不确定,故无从确定其位移
4 梁在弯矩(My 或 Mz)的作用下发生弯曲变形,为叙述简便起见,以下讨论只有一个方向弯 矩作用的情形,并略去下标,只用 M 表示弯矩,所得到的目结果适用于 My 或 Mz单独作用的情 形。 图 6-3a 所示的梁的变形，若在弹性范围内加载，梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑 曲线，如图 6-3b 所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线，或挠度曲线，简称弹性线或挠曲 线。 梁在弯曲变形后,其横截面的位移包括三部分 挠度 w 一一横截面形心处的铅垂位移； 转角 θ 一一横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度； 水平位移 u 一一横截面形心沿水平方向的位移。 在小变形情形下，上述位移中 u 与 w 相比为高阶小量，故通常不予考虑。 图 6-4a、b、c 所示三种承受弯曲的梁，在这三种情形下，AB 段各横截面都受有相同 的弯矩(M= FP a)作用。 根据式(6-1)，在上述三种情形下,AB 段梁的挠曲线具有相同的形状，即曲率(1/ρ)处处 对应相等。但是，由于约束不同，梁的位移则不完全相同。对于图 6-4a 所示的无约束梁， 因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。 图 6-3a 图 6-3b 图 6-4
小挠度情形下=m0=00 M>0 图6-5 若采用图6-5b所示坐标系统,则上式为 d-w M (6-6) 需要指出的是剪力对梁的位移有影响,但对于细长梁,这种影响很小,可以忽略不计, 3)圆轴扭转变形与相对扭转角 对于传递功率的圆轴。大多数没有限制其绕轴线转动的固定约束,故均采用“相对位 移”概念,即一截面相对于另一截面绕轴线转过的角度,称为相对扭转角 应用(6-1)第二式,通过积分,可得图6-6a、b、c的圆轴相对扭转角表达式 (6-7) 91=9c+9+DB=∑
5 小挠度情形下 = tan = dx dw << 0 ， 2 d d x w << 0 应用式曲线的曲率公式： 2 3 2 2 2 d d 1 d d 1 + = x w x w （6-3） 以及 EI M = 1 （6-4） 在小变形情况下，上示变为 EI M x w = 2 2 d d （6-5） 即为确定梁的挠度和转角的微分方程,称为小挠度微分方程。式中正负号与坐标取向有关， 如图 6-5 所示，图 6-5a 取正号，图 6-5b 取负号。 若采用图 6-5b 所示坐标系统，则上式为 EI M x w = − 2 2 d d （6-6） 需要指出的是剪力对梁的位移有影响，但对于细长梁，这种影响很小，可以忽略不计。 3）圆轴扭转变形与相对扭转角 对于传递功率的圆轴。大多数没有限制其绕轴线转动的固定约束，故均采用“相对位 移”概念，即一截面相对于另一截面绕轴线转过的角度，称为相对扭转角。 应用（6-1）第二式，通过积分，可得图 6-6a、b、c 的圆轴相对扭转角表达式： GIP M l x AB = （6-7） = = + + = n i P xi i AB AC CD DB GI M l 1 （6-8） 图 6-5
(6-9) GI “(( 图 6-6 对于承受轴向荷载的杆和承受扭转的圆轴,即可应用式(6-1)中第二式和式 (6-14)(6-16)分别计算变形或位移。对于梁,则需建立弯矩方MMz)才能对式(6-13)积分, 并需根据约束条件确定积分常数 §6-2奇异函数及其在确定 梁位移中的应用 在第2章的讨论中,曾介绍了从平衡微分方程 d Fo/dx=q(z)和Mdx=Fo(dx),导出FQ (x)、M(x)的表达式,这对于连续分布荷载作用情形是很方便的。对于有集中力、集中力 偶以及间断性分布荷载作用的情形,需分段建立剪力方程和弯矩方程,再将这些分段的弯矩 方程代人式(6-6),积分后将出现2n个积分常数,其中n为分段数。这显然是不方便的 本章将引人奇异函数可以避免上述方法带来的麻烦 1.奇异函数 定义对于n≥0(n为正整数)的情形, (6-10) (x-a)”(x≥a) 式中,"称为奇异函数( singular function)。当n=0,1,2时,分别称为0阶、1阶和2阶奇异函
6 = l x AB x GI M 0 P d （6-9） 对于承受轴向荷载的杆和承受扭转的圆轴，即可应用式(6-1)中第二式和式 (6-14)~(6-16)分别计算变形或位移。对于梁,则需建立弯矩方 M=M(z)才能对式(6-13)积分, 并需根据约束条件确定积分常数。 §6-2 奇异函数及其在确定 梁位移中的应用 在第 2 章的讨论中，曾介绍了从平衡微分方程 dFQ/dx=q(z)和 M/dx=FQ（dx），导出 FQ （x）、M(x)的表达式，这对于连续分布荷载作用情形是很方便的。对于有集中力、集中力 偶以及间断性分布荷载作用的情形，需分段建立剪力方程和弯矩方程，再将这些分段的弯矩 方程代人式（6-6），积分后将出现 2n 个积分常数，其中 n 为分段数。这显然是不方便的。 本章将引人奇异函数可以避免上述方法带来的麻烦。 1. 奇异函数 定义对于 n≥0 (n 为正整数)的情形， − − = n n x a x a ( ) 0 ( ) ( ) x a x a （6-10） 式中,"称为奇异函数(singular function)。当 n=0,1,2 时,分别称为 0 阶、1 阶和 2 阶奇异函 图 6-6 图 6-7
数的图形奇异函数,余此类推。 图6-7a、b、c中分别给出了。0阶,1阶和2阶奇异函数的图形。 根据奇异函数定义,由式(6-10),不难得到奇异函数的微分和积分规则: 0 x≥a (x≥a(6-12) 2弯矩方程的奇异函数式 集中力偶作用情况 当有集中力偶作用时,根据图6一8a所示受力图,由平衡可求得x<a和x≥a横截面 上的弯矩方程为 M(M )=M, x-a,) (6-13) 式中,下标“i”表示梁上作用的集中力偶M的个数;a为第i个M作用点的x坐标。 集中力作用的情形 根据图6-8b所示的受力图,由平衡可求得x<b和x≥b横截面上的弯矩,都可以由下式 表示 M(FP)=Fp, /x-b) (6-14) 式中,b为第j个集中力加力点的x坐标。 FeIl Fo(r) M(r) M(r) o Fac LIM(r) M(r) 图68 连续分布荷载作用的情形 根据平衡,由图6-8c中所示的受力图,得到连续均匀分布荷载作用下任意横截面上的 弯矩表达式为 )=g(x-c)2 式中,c为第k个均布荷载起点的x坐标 ●叠加法的应用 当梁上作用有若干个M、F5、q时,任意横截面上的弯矩表达式,可由上述三式
7 数的图形奇异函数，余此类推。 图 6-7a、b、c 中分别给出了。0 阶,1 阶和 2 阶奇异函数的图形。 根据奇异函数定义，由式(6-10)，不难得到奇异函数的微分和积分规则： − = − = − − − 1 1 0 d d n n n n x a n x a x x a ( ) ( ) x a x a (6-11) + − = − + − = − + 1 ( ) 0 1 1 1 1 n x a x a n x a dx n n n ( ) ( ) x a x a (6-12) 2.弯矩方程的奇异函数形式 ⚫ 集中力偶作用情况 当有集中力偶作用时，根据图 6 一 8a 所示受力图，由平衡可求得 x<ai 和 x≥ai 横截面 上的弯矩方程为 0 ( ) i i M Mi =M x − a （6-13） 式中，下标“i”表示梁上作用的集中力偶 M 的个数；a 为第 i 个 M 作用点的 x 坐标。 ⚫ 集中力作用的情形 根据图 6-8b 所示的受力图，由平衡可求得 x<b 和 x≥bj 横截面上的弯矩，都可以由下式 表示： 1 P P ( ) j j bj M F = F x − （6-14） 式中，bj 为第 j 个集中力加力点的 x 坐标。 ⚫ 连续分布荷载作用的情形 根据平衡，由图 6-8c 中所示的受力图，得到连续均匀分布荷载作用下任意横截面上的 弯矩表达式为 2 2 1 ( ) k k k M q = q x − c （6-15） 式中，ck 为第 k 个均布荷载起点的 x 坐标。 ⚫ 叠加法的应用 当梁上作用有若干个 Mi、FPj、qk 时，任意横截面上的弯矩表达式，可由上述三式 图 6-8
(6-13)-(6-15)叠加而得,即 dr-a, )+F(, )+39 需要指出的是,式(6-13)(6-16)中的M、FP、q均与图6-8中所示相同者为正;反之为负。 连续分布载荷q须从Ck一直分布至梁的右端 3.奇异函数在确定梁的挠度和转角中的应用 将弯矩方程(6-13)-(6-16)之一代人小挠度微分方程6-6),积分一次和二次并利用约束条 件确定积分常数后,即可求得梁的转角和挠度方程 例61图69所示承受集中荷载的简支梁,令其弯曲刚度为EI。应用奇异函数,确定 梁的挠度和转角方程 3/ 图6-9 解在图示坐标系中,为确定梁自0~范围内各截面上的弯矩,需要考虑左端A处的约 束力3Fp/4和荷载Fp。于是,有 (1)弯矩方程(只需考虑左端约束力3F/4和载荷F) (0≤x≤D) (2)挠度微分方程 E Fpx+ F (3)微分方程的积分 El E=-最Fp +c Fx2+(x-4分)+Cx+ (4)利用约束条件确定积分常数 (0)=0v()=0 求得的挠度代入约束条件,可解得 D=0 F 12 (5)挠度与转角方程 0()-x2+1(x-分)+改F门
8 (6-13)~(6-15)叠加而得，即 0 ( ) i ai M x = M x − 1 P j bj + F x − 2 2 1 k k + q x − c （6-16） 需要指出的是，式(6-13)~(6-16)中的 Mi、FPj、qk 均与图 6－8 中所示相同者为正；反之为负。 连续分布载荷 qk 须从 Ck 一直分布至梁的右端。 3. 奇异函数在确定梁的挠度和转角中的应用 将弯矩方程(6-13)~(6-16)之一代人小挠度微分方程(6-6)，积分一次和二次并利用约束条 件确定积分常数后，即可求得梁的转角和挠度方程。 例 6-1 图 6-9 所示承受集中荷载的简支梁，令其弯曲刚度为 EI。应用奇异函数，确定 梁的挠度和转角方程。 解 在图示坐标系中，为确定梁自 0~l 范围内各截面上的弯矩，需要考虑左端 A 处的约 束力 3Fp/4 和荷载 Fp。于是，有 （1）弯矩方程（只需考虑左端约束力 3FP/4 和载荷 FP） M (x) = 0 4 3 FP x − 1 P 4 l − F x − (0 x l) （2）挠度微分方程 2 = 2 d d x w EI − M (x) F xP 4 3 = − 1 P 4 l + F x − （3）微分方程的积分 = x w EI d d EI 2 8 P 3 = − F x x C F l + − + 2 P 2 4 EIw = 3 8 P 1 − F x x l Cx D F + − + + 3 P 6 4 （4）利用约束条件确定积分常数 w(0) = 0 w(l) = 0 求得的挠度代入约束条件，可解得 D = 0 2 128 P 7 C = F l （5）挠度与转角方程 (x) = [ ] 2 P 2 2 P P 128 7 8 2 4 1 3 F x x F l F l EI − + − + 图 6-9
(x)=h-Fx2+(x-分)+F/x 则B点处的挠度和A、C点处的转角为 4=6(0)= =0O=-2 §6-3工程计算中的叠加法 在很多的工程计算手册中,已将各种支承条件下的静定梁,在各种典型荷载作用下的挠 度和转角表达式一一列出,称为挠度表(参见本章表6一1) 基于梁变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是梁变形累加的结果这两个重要概念,以 及在小变形条件下的力的独立作用原理,采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情 形下梁的位移。 1.第一类叠加法——应用于多个载荷作用的情况 当梁上受有几种不同的荷载作用时,都可以将其分解为几种荷载单独作用的情形,由挠 度表查得这些情形下的挠度或转角,再将其叠加后,便得到几种荷载同时作用的结果。 例62图6-10a中的简支梁,承受集中力q、集中力偶q和均布荷载q同时作用。求 梁中点的挠度和右端支座处的转角。 (a> 图6-10 解首先,将其分解为三种简单荷载单独作用的情形,并画出挠度曲线的大致形状,分 别如图6-10b、c、d所示。其次,应用表6-1中所列结果,求得上述三种情形下,梁中点的 挠度wa(i=1、2、3)和右端支座处的转角s分别为 WCI=384E, Wc2=48E, WCs=-1gEZ
9 w(x) = [ ] 2 P 3 3 P P 128 7 8 6 4 1 1 F x x F l x F l EI − + − + 则 B 点处的挠度和 A、C 点处的转角为 EI F l A 2 P 128 7 = (0) = EI F l l C 2 P 128 5 = ( ) = − EI F l w w l B 3 P 256 3 = ( / 4) = §6-3 工程计算中的叠加法 在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型荷载作用下的挠 度和转角表达式一一列出，称为挠度表(参见本章表 6 一 1)。 基于梁变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是梁变形累加的结果这两个重要概念，以 及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情 形下梁的位移。 1. 第一类叠加法——应用于多个载荷作用的情况 当梁上受有几种不同的荷载作用时，都可以将其分解为几种荷载单独作用的情形，由挠 度表查得这些情形下的挠度或转角，再将其叠加后，便得到几种荷载同时作用的结果。 例 6-2 图 6-10a 中的简支梁，承受集中力 ql、集中力偶 ql 2 和均布荷载 q 同时作用。求 梁中点的挠度和右端支座处的转角。 解 首先，将其分解为三种简单荷载单独作用的情形，并画出挠度曲线的大致形状，分 别如图 6-10b、c、d 所示。其次，应用表 6-1 中所列结果，求得上述三种情形下，梁中点的 挠度 wci(i=1、2、3)和右端支座处的转角θBi 分别为 EI ql wC 4 1 384 5 = , EI ql wC 48 4 2 = , EI ql wC 16 4 3 = − 图 6-10
24EⅠ 16El 3EI 则梁中点的总挠度w和右端支座处的总转角0B分别为 11 v+1+ 384E 8c=8c+8c2 +803= 48El 2.第二类叠加法——间断性分布载荷作用的情况 对于间断性分布荷载作用的情形,根据受力与约束等效的要求,可以将间断性分布荷载 变为梁全长上连续分布荷载,然后在原来没有分布荷载的梁段上,加上集度相同但方向相反 的分布荷载,最后应用叠加法 例63图6一11a所示悬臂梁,利用挠度表中关于梁全长承受均布荷载的计算结果, 计算自由端C处的挠度和转角。 解先将均布荷载延长至梁的全长,为了不改变原来荷载作用的效果,在AB段还需再 加上集度相同、方向相反的均布荷载,如图6-11b所示 EA EI BIIIILc 图6-11 再将处理后的梁分解为图6-1lc和d两种情形,并分别画出它们的挠度曲线大致形状 于是,由挠度表中关于承受均布荷载悬臂梁的计算结果,上述两种情形下自由端的挠度和 转角分别为
10 EI ql B 24 3 1 = − , EI ql B 16 3 2 = − , EI ql B 3 3 3 = 则梁中点的总挠度 wc和右端支座处的总转角θB分别为 EI ql wC wC wC wC 384 11 4 = 1 + 2 + 3 = − EI ql C C C C 48 11 3 = 1 + 2 + 3 = 2. 第二类叠加法——间断性分布载荷作用的情况 对于间断性分布荷载作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布荷载， 变为梁全长上连续分布荷载，然后在原来没有分布荷载的梁段上，加上集度相同但方向相反 的分布荷载，最后应用叠加法。 例 6-3 图 6 一 11a 所示悬臂梁，利用挠度表中关于梁全长承受均布荷载的计算结果， 计算自由端 C 处的挠度和转角。 解 先将均布荷载延长至梁的全长，为了不改变原来荷载作用的效果，在 AB 段还需再 加上集度相同、方向相反的均布荷载，如图 6-11b 所示。 再将处理后的梁分解为图 6-11c 和 d 两种情形，并分别画出它们的挠度曲线大致形状。 于是，由挠度表中关于承受均布荷载悬臂梁的计算结果， 上述两种情形下自由端的挠度和 转角分别为 图 6-11