弯曲应力 典型习题解析 T形截面铸铁梁受力如图,许用拉应力]=40MPa,许用压应力]=60MPa,已知 F1=12kN,F2=45kN,:=765×10°m2,y1=52m 88mm。不考虑弯曲切 应力,试校核梁的强度。 M3.75kN.m 4.5kNm 题1图 解题分析:铸铁为脆性材料。脆性材料的拉压强度有显著区别,一般其抗压强度明显高于抗 拉强度。为了充分利用这一特点,通常将其横截面选为T形。脆性材料梁一般要同时校核 其抗拉强度和抗压强度 解:1、计算支反力 设A处支反力为F,B处支反力为F,均竖直向上。考虑梁AD的平衡,有 y ∑MB=0,-F4y×2m-45×103Nxlm+12×10Nxlm=0 得FAy=3.75kN ∑M4=0,F,×2m-45×10N×3m-12×10Nxm=0 得FBy=1275kN 2、作弯矩图,确定危险截面
弯曲应力 典型习题解析 1 T形截面铸铁梁受力如图，许用拉应力[ ] 40 MPa σ t = ，许用压应力[ ] 60 MPa σ c = ，已知 12 kN， kN， m F 1 = F 2 = 4.5 8 765 10− I z = × 4 ， y1 = 52 mm ， y2 = 88 mm 。不考虑弯曲切 应力，试校核梁的强度。 y 解题分析：铸铁为脆性材料。脆性材料的拉压强度有显著区别，一般其抗压强度明显高于抗 拉强度。为了充分利用这一特点，通常将其横截面选为 T 形。脆性材料梁一般要同时校核 其抗拉强度和抗压强度。 解：1、计算支反力 设 A 处支反力为 F A y ，B 处支反力为 FB y ，均竖直向上。考虑梁 AD 的平衡，有 ∑ = 0 M B ， 2m 4.5 10 N 1m 12 10 N 1m 0 3 3 − F A y × − × × + × × = 得 F A y = 3.75 kN ∑ = 0 M A ， 2m 4.5 10 N 3m -12 10 N 1m 0 3 3 F B y × − × × × × = 得 F B y = 12.75 kN 2、作弯矩图，确定危险截面 4.5kN·m x (b) M 3.75kN·m (a) z y2 y F1 F2 1 1m 1m C B A D FAy FBy 1m 题 1 图 1
弯矩图如图b所示,峰值为Mc=3.75kNm和MB=-4.5kN·m B截面的上边缘各点受拉,下边缘各点受压;C截面的上边缘各点受压,下边缘各 点受拉。由于不能直观确定最大拉、压应力的位置,需要进一步计算。 3、计算B、C截面上的应力 B截面上: 最大拉应力σtm Mgy14.5×103N.m×52×10 =306MPa 所以,梁的强度不够。 2图示结构承受均布载荷,AC为10号工字钢梁,B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊, 梁和杆的许用应力[]=160MPa。不考虑切应力,试计算结构的许可载荷[ql H口 (b) 题2图
弯矩图如图 b 所示，峰值为 M C = 3.75kN ⋅ m 和 M B = − 4.5kN ⋅ m 。 B 截面的上边缘各点受拉，下边缘各点受压；C 截面的上边缘各点受压，下边缘各 点受拉。由于不能直观确定最大拉、压应力的位置，需要进一步计算。 3、计算 B、C 截面上的应力 B 截面上： 最大拉应力 [ ]t 8 4 3 3 1 t ,m a x 30.6 MPa 765 10 m 4.5 10 N m 52 10 m σ = σ × × ⋅ × × = = − − z C I M y 所以，梁的强度不够。 2 图示结构承受均布载荷，AC 为 10 号工字钢梁，B 处用直径 d =20 mm 的钢杆 BD 悬吊， 梁和杆的许用应力[σ ] =160 MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。 D 题 2 图 2 (b) 1 q q 32 M 9 2m (a) A B q x C d 1m 2
解题分析:DB杆作为支撑AC梁的约東,在考虑梁的强度时,也要考虑DB杆的强度,许 可载荷取两种构件能承担的最小值。 解:1、计算支反力 设A点处支反力为FA,B处支反力为FB,均竖直向上。考虑AC梁的平衡,得 3 q 2、梁的强度条件 画梁的弯矩图如图b。显然,B截面为危险截面。M=0.5m2q,查表知10号工 字钢W.=49×106m3,于是B截面上弯曲正应力强度条件为 < 解得95H1=49×0m×160P=15680Nm=1568AN/m 0.5m 3、BD杆的强度条件 BD杆横截面上各点拉伸正应力相同,强度条件为 ]或σ 解得q≤rd2 ×20×10-6m2×160×106Pa=22300N/m=22.3kN/m 确定结构的许用载荷 取AC梁、BD杆的许用q值中的小值,即为结构的许用载荷。 所以[q]=1568kN/m。 讨论:本题中根据题意,没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力。在实际工程设计时,工字钢
解题分析：DB 杆作为支撑 AC 梁的约束，在考虑梁的强度时，也要考虑 DB 杆的强度，许 可载荷取两种构件能承担的最小值。 解：1、计算支反力 设 A 点处支反力为 F A y ，B 处支反力为 FB y ，均竖直向上。考虑 AC 梁的平衡，得 F q A y 4 3 m = ， F q B y 4 9 m = 2、梁的强度条件 画梁的弯矩图如图 b。显然，B 截面为危险截面。 ，查表知 10 号工 字钢 ，于是 B 截面上弯曲正应力强度条件为 M q B 2 = 0.5 m 6 3 49 10 m− W z = × σ m a x ≤ [ ] σ 或 σ = = ≤ [ ] σ z Wz q W M 2 max ma x 0.5 m 解得 [ ] 15 680 N/m 15.68 kN/m 0.5 m 49 10 m 160 10 Pa 0.5 m 2 6 3 6 2 = = × × × ≤ = − W z σ q 3、BD 杆的强度条件 BD 杆横截面上各点拉伸正应力相同，强度条件为 σ ≤ [σ ] 或σ = = ≤ [ ] σ 2 N π 4 1 4 9 m d q A F BD 解得 [ ] 20 10 m 160 10 Pa 22300 N/m 22.3 kN/m 9 m 1 π 9 m 1 2 6 2 6 ≤ = × × × × = = − q d σ 4、确定结构的许用载荷 取 AC 梁、BD 杆的许用 q 值中的小值，即为结构的许用载荷。 所以 [ ] q =15.68 kN / m 。 讨论：本题中根据题意，没有考虑工字梁腹板上的弯曲切应力。在实际工程设计时，工字钢 3
等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力 3材料相同,宽度相等,厚度h/h2=1/2的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示,梁上 承受均布载荷q。(1)若两板简单叠放在一起,且忽略接触面上的摩擦力,试计算此时两板 内最大正应力:(2)若两板胶合在一起不能相互滑动,则此时的最大正应力比前种情况减少 了多少? +,, 题3图 解题分析:两板叠放在一起,在均布载荷q作用下,两梁一起变形,在任一截面上,两者弯 曲时接触面的曲率相等。小变形情况下,近似认为两者中性层的曲率相等。根据该条件,可 计算出各梁分别承担的弯矩。然后再分别计算两梁的最大应力。两板胶合在一起时,按一个 梁计算。 解:1、计算两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为p1和p2,两梁承担的弯矩分别为M1 和M2,截面惯性矩分别为l1和l2。则由前面分析知p1=p2 P, el P2 El M 所以E1EI2 梁中间截面弯矩为M=M1+M29/2 于是M12912,M:599
等薄壁截面梁一般不宜忽略切应力。 3 材料相同，宽度相等，厚度 / 1/ 2 h 1 h 2= 的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示，梁上 承受均布载荷 q。(1) 若两板简单叠放在一起，且忽略接触面上的摩擦力，试计算此时两板 内最大正应力；(2) 若两板胶合在一起不能相互滑动，则此时的最大正应力比前种情况减少 了多少？ q 解题分析：两板叠放在一起，在均布载荷 q 作用下，两梁一起变形，在任一截面上，两者弯 曲时接触面的曲率相等。小变形情况下，近似认为两者中性层的曲率相等。根据该条件，可 计算出各梁分别承担的弯矩。然后再分别计算两梁的最大应力。两板胶合在一起时，按一个 梁计算。 解：1、计算两板简单叠放在一起时的最大应力 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为 ρ 1和 ρ 2 ，两梁承担的弯矩分别为 和 ，截面惯性矩分别为 和 。则由前面分析知 M1 M 2 1 I 2 I ρ 1 = ρ 2 。 由于 1 1 1 1 E I M = ρ ， 2 2 2 1 E I M= ρ 所以 2 2 3 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 8 1 , ( ) M M h h M I I M E I M E I M = = = = 梁中间截面弯矩为 2 1 2 8 1 M = M + M = q l 于是 2 1 72 1 M = q l ， 2 2 9 1 M = q l b h2 h1 A Ｂ l 题 3 图 4
M 6M 两板最大弯曲正应力分别为a1max=W1bh126b2 2 bh2 36h2 h2 2、计算两板胶合在一起时的最大正应力 这时,按一个梁计算,于是梁中最大弯曲正应力为 89/2 b(h1+h2)23bh2 6 胶合前后最大正应力之比 2.max 亦即,两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半。 4简支梁如图所示,试求梁的最底层纤维的总伸长。 h 题4图 解题分析:梁弯曲时,截面上、下边缘上各点处为单向应力状态。利用弯曲正应力公式计算 应力,再由胡克定律求应变。在下表面取微段,可由该微段处应变计算其伸长,然后进行积 分可求出梁下边的总伸长。 解:1、计算梁底层微段的伸长量 在距左端为x处,取梁底层上一微段dx来研究。由弯曲正应力公式,有
两板最大弯曲正应力分别为 2 1 2 2 1 1 1 1 1,m a x 12 6 b h q l bh M W M σ = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2,m a x 3 6 2 b h q l bh M W M σ = = = 2 1 8 1 2 1 2 2 2,m a x 1,m a x = = h h σ σ 2、计算两板胶合在一起时的最大正应力 这时，按一个梁计算，于是梁中最大弯曲正应力为 2 2 2 2 1 2 2 ma x ma x 3 6 ( ) 8 1 b h q l b h h q l W M = + σ = = 胶合前后最大正应力之比 2 1 2,ma x ma x = σ σ 亦即，两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半。 4 简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。 q 解题分析：梁弯曲时，截面上、下边缘上各点处为单向应力状态。利用弯曲正应力公式计算 应力，再由胡克定律求应变。在下表面取微段，可由该微段处应变计算其伸长，然后进行积 分可求出梁下边的总伸长。 解：1、计算梁底层微段的伸长量 在距左端为 x 处，取梁底层上一微段dx 来研究。由弯曲正应力公式，有 x dx B h b A l 题 4 图 5
o(x)=4(x) 由胡克定律a(x)=E·6(x)得c(x) M(r) l: (Ix-x) 6 而E(x) △(dx) ,所以Δ(dx) X-x ebh 、梁的最底层纤维的总伸长 沿梁全长积分得△=Jm△(d)E1x-2x)=9 3q 2Ebh2 5矩形截面简支梁由圆形木材刨成,已知F=5kN,a=1.5m,[]=10MPa,试确定此矩 形截面的最优比值,使其截面的抗弯截面系数具有最大值,并计算所需圆木的最小直径 题5图 解题分析:利用圆木直径d与h、b的数学关系,写出矩形截面抗弯截面系数W的表达式 用求极值的方法确定b的最优比值。再利用弯曲强度条件确定W值,最后解出d值 解:1、确定W最大时的力 bh2b(d2-b2)人dW =0得 6 d b
W M x x ( ) σ ( ) = 由胡克定律σ (x) = E ⋅ ε (x) 得 ( ) 3 6 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 l x x E b h q b h E q l x q x EW M x x = − − ε = = 而 x x x d (d ) ( ) ∆ ε = ，所以 l x x x E b h q x ( ) d 3 (d ) 2 2 ∆ = − ⋅ 3、梁的最底层纤维的总伸长 沿梁全长积分得 2 3 0 2 3 2 0 2 ) 2 3 ( 3 (d ) Eb h ql x l x l Eb h q l x l l ∆ = ∆ = − = ∫ 5 矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知 F = 5k N ，a = 1.5m ，[σ ] = 10MPa ，试确定此矩 形截面 b h 的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径 d 。 F F 解题分析：利用圆木直径 d 与 h、b 的数学关系，写出矩形截面抗弯截面系数 W 的表达式， 用求极值的方法确定 h/b 的最优比值。再利用弯曲强度条件确定 W 值，最后解出 d 值。 解：1、确定W 最大时的 b h 6 ( ) 6 2 2 2 b h b d b W − = = ，令 0 d d = b W 得 b d h C D a a B A a 题 5 图 6
2、确定圆木直径d C、D截面处弯矩最大,为危险截面。根据强度条件 σmax=m≤[]知W≥m M=Fa=5×103N×1.5m=75×103N,m 所以有W 75×103N 75×10-m3=75×10mm 10×106Pa ==√2b)2xb=75×10m3,于是得 b=13lmm。 2=h2+b2=3b2=3×1312mm2=515×102mm2 得d=227mm。 6截面为40mm×5mm的矩形截面直杆,受轴向拉力F=12kN作用,现将杆件一侧开一 切口,如图a所示。已知材料的许用应力{=100MPa,(1)计算切口许可的最大深度,并 画出切口处截面的应力分布图。(2)如在杆的另一侧切出同样的切口,正应力有何变化? 100MPa b=5mm (d) 解题分析:此题为偏心拉伸问题,可利用弯曲与拉伸组合变形的强度条件求出切口的允许深 度。若另一侧开同样深度切口,偏心拉伸问题变为轴向拉伸问题。 解:1、计算切口许可的最大深度 设切口深度为y。如图b所示,切口截面形心在C"点,显然,杆在切口处截面承受 偏心拉伸,偏心距e=y/2。切口的内力如图c所示。轴力FN=F,弯矩M=Fy2。切口的许
( 2 ) 0 6 1 2 2 h − b = 或 = 2 b h 2、确定圆木直径 d C、D 截面处弯矩最大，为危险截面。根据强度条件 σ = ≤ [σ ] W M ma x ma x 知 [ ] max σ M W ≥ 5 10 N 1.5m 7.5 10 N m 3 3 max M = F a = × × = × ⋅ 所以有 5 3 4 3 6 3 75 10 m 75 10 mm 10 10 Pa 7.5 10 N m = × = × × × ⋅ ≥ − W 取 [ ] 2 4 3 2 ( 2 ) 75 10 mm 6 1 6 = = b × b = × b h W ，于是得 b =131mm。 2 2 2 2 2 2 2 2 d = h + b = 3b = 3×131 mm = 515 ×10 mm 得 d = 227mm。 6 截面为 40 mm×5 mm 的矩形截面直杆，受轴向拉力 F = 12kN 作用，现将杆件一侧开一 切口，如图 a 所示。已知材料的许用应力[σ ] =100 MPa ， (1) 计算切口许可的最大深度，并 画出切口处截面的应力分布图。(2) 如在杆的另一侧切出同样的切口，正应力有何变化？ 解题分析：此题为偏心拉伸问题，可利用弯曲与拉伸组合变形的强度条件求出切口的允许深 度。若另一侧开同样深度切口，偏心拉伸问题变为轴向拉伸问题。 解：1、计算切口许可的最大深度 设切口深度为 y 。如图 b 所示,切口截面形心在C′ 点，显然，杆在切口处截面承受 偏心拉伸，偏心距 e=y/2。切口的内力如图 c 所示。轴力 F N = F ，弯矩 M=Fy/2。切口的许 y (a) F 题 6 图 h=40mm F C F F F b=5mm (b) (c) (d) 100MPa F C' M 38MPa 7
可最大深度ν由杆的强度条件确定。强度条件为 F M 式中切口截面的面积A=b(h-y),抗弯截面系数W ,代入强度条件得 0 解方程后得到两个解:y1=1228mm,y2=52mm。显然y1=122.8mm不合理,所以 切口最大深度不得超过5.2mm。 2、计算切口截面的最大正应力和最小正应力,画应力分布图 3×12×103N×5.2×10-3m ×(40-52)×10m25×(40-5.2)2×10-m 100×10Pa 切口截面上的应力分布如图d所示 3、在杆另一侧切出同样的切口情况 由于没有偏心,切口截面只承受轴向拉力F,正应力在截面上均匀分布,其大小为 12×103N Ab(h-2y)5×(40-2×52)x10-m2=81.1×10Pa=81MPa 讨论:从计算结果可以看出,杆的两侧有切口虽然截面面积减少,但正应力却比一侧切口时 的最大正应力为小,可见弯矩的出现明显增大构件中的应力。这也是工程上尽可能避免或减 小结构中弯矩的原因。 7图示直径为d的均质圆杆AB承受自重,B端为铰链支撑,A端靠在光滑的铅垂墙上。试 确定杆内出现最大压应力的截面到A端的距离
可最大深度 y 由杆的强度条件确定。强度条件为 σ = + ≤ [σ ] W z M A F N ma x 式中切口截面的面积 A = b ( h − y) ，抗弯截面系数 6 ( ) 2 b h y W z − = ，代入强度条件得 σ ≤ [σ ] − + − = 2 ma x ( ) 3 ( ) b h y Fy b h y F 128 mm 640mm 0 2 2 y − y + = 解方程后得到两个解： y 1 = 122.8 mm , y 2 = 5.2 mm 。显然 y 1 = 122.8 mm 不合理，所以 切口最大深度不得超过 5.2 mm 。 2、计算切口截面的最大正应力和最小正应力，画应力分布图 100 10 Pa 100MPa 5 (40 5.2) 10 m 3 12 10 N 5.2 10 m 5 (40 5.2) 10 m 12 10 N 6 2 9 3 3 3 6 2 3 N ma x = × = × − × × × × × + × − × × = + = − − − W z M A F σ 38 10 Pa 38MPa 5 ( 40 5.2) 10 m 3 12 10 N 5.2 10 m 5 (40 5.2) 10 m 12 10 N 6 2 9 3 3 3 6 2 3 N mi n = × = × − × × × × × − × − × × = − = − − − W z M A F σ 切口截面上的应力分布如图 d 所示。 3、在杆另一侧切出同样的切口情况 由于没有偏心，切口截面只承受轴向拉力 F，正应力在截面上均匀分布，其大小为 81.1 10 Pa 81.1MPa 5 (40 2 5.2) 10 m 12 10 N ( 2 ) 6 6 2 3 N = × = × − × × × = − = = − b h y F A F σ 讨论：从计算结果可以看出，杆的两侧有切口虽然截面面积减少，但正应力却比一侧切口时 的最大正应力为小，可见弯矩的出现明显增大构件中的应力。这也是工程上尽可能避免或减 小结构中弯矩的原因。 7 图示直径为 d 的均质圆杆 AB 承受自重，B 端为铰链支撑，A 端靠在光滑的铅垂墙上。试 确定杆内出现最大压应力的截面到 A 端的距离。 8
B 题7图 解题分析:杆AB的自重可看作方向竖直向下的均布载荷q。它在杆轴向和垂直轴线方向产 生两个分量。加上A点支反力F也在轴向有分量,所以杆发生弯曲和轴向压缩的组合变形 解:设杆的单位长度的重量为q,墙对杆的水平支反力为F,考虑AB杆的平衡,有 0, Alsina=ql.-cosa F cot a 考虑到A点的距离为s的横截面,该截面上的内力分量为 轴力(压)FN= Fcos a+ gs sin a 十 弯矩M=Fsma-g52osa=9ls cos a cos a s横截面上绝对值最大的压应力为 a=FN+M= 4 cos a AWπd2 +assia)+ sin a tds(sooo qs cosa 令 d e ds=0得到 d2 g sina+、32 (-cosa-qs cosa)=0 求得=1d +tana。此即最大压应力截面到A端的距离
F 解题分析：杆 AB 的自重可看作方向竖直向下的均布载荷 q。它在杆轴向和垂直轴线方向产 生两个分量。加上 A 点支反力 F 也在轴向有分量，所以杆发生弯曲和轴向压缩的组合变形。 解：设杆的单位长度的重量为 q，墙对杆的水平支反力为 F，考虑 AB 杆的平衡，有 ∑ = 0 ， M B α cosα 2 sin l F l = q l ⋅ cotα 2 q l F = 考虑到 A 点的距离为 s 的横截面，该截面上的内力分量为 轴力（压） α α α α α sin sin cos 2 cos sin 2 N qs q l F = F + qs = ⋅ + 弯矩 α α α cosα 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 q s q l s q s M = F s − = ⋅ − s 横截面上绝对值最大的压应力为 cos ) 2 cos 2 ( π 32 sin ) sin cos 2 ( π 4 A 2 3 2 2 N α α α α α σ q l s q s d q s q l W d F M = + = ⋅ + + − 令 0 d d = s σ 得到 cos cos ) 0 2 ( π 32 sin π 4 2 3 α + α − q s α = q l d q d 求得 tanα 2 8 1 d s = + 。此即最大压应力截面到 A 端的距离。 B A q B α A s l 题 7 图 9