扭转 典型习题解析 1一内径d=100mm的空心圆轴如图示,已知圆轴受扭矩T=kN·m,许用切应力[r]=80MPa, 试确定空心圆轴的壁厚。 解题分析:因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管 分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。 解:1、按薄壁圆管设计 薄壁圆管扭转时,假设切应力沿壁厚均匀分布,设壁厚为δ 平均半径为R=(d+6)/2,则扭转切应力为 2兀R2 强度条件为r≤[r],于是得 6(d+6)2=27 83+2d62+d2 ItI 63+2×100×10-mo2+(100×10-mδ 2×5×103N,m ×80×10°Pa 解得=3.70×10-3m=3.70mm 2、按空心圆轴设计 强度条件为rmx=-s[z 将H=16D(D-d);D=d+26代入得
1 扭转 典型习题解析 1 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T = 5kN ⋅m ，许用切应力[τ ]=80MPa， 试确定空心圆轴的壁厚。 解题分析：因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。 分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。 解： 1、按薄壁圆管设计 薄壁圆管扭转时，假设切应力沿壁厚均匀分布，设壁厚为δ ， 平均半径为 / 2 R0 =（d + δ） ，则扭转切应力为 δ τ 2 π 0 2 R T = 强度条件为τ ≤ [τ ]，于是得 π[ ] 2 2 τ δ δ T （d + ） = π[ ] 2 2 3 2 2 τ δ δ δ T + d + d = ( ) π 80 10 Pa 2 5 10 N m 2 100 10 m 100 10 m 6 3 2 3 3 2 3 × × × × ⋅ + × × + × = − − δ δ δ 解得 3.70 10 m 3.70mm 3 = × = − δ 2、按空心圆轴设计 强度条件为 [ ] p max τ = ≤ τ W T 将 2δ 16 π 4 4 p = D − d D = d + D W （ ）； 代入得
16DT ≤[r]πD4r]-167D-d[z]=0 πx80×10°PaxD4-16×5×103N·mxD-×(0.1m)4(8×10°Pa)=0 解得D=1077×10-3m=1077mm D-d1077mm-100mm 3.85mm 比较可知,两种设计的结果非常接近。 讨论:当δ≤R0/10时,即认为是薄壁圆管,可以直接使用薄壁管扭转公式。 2图示受扭圆杆,沿平面ABCD截取下半部分为研究对象,如图b所示。试问截面ABCD上 的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡? (c) 题2图 解题分析:由切应力互等定理可知截面ABCD上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内 力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b中,左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直 于截面ABCD的竖直向下的力偶矩,正好与截面ABCD上切向内力的合力偶矩平衡 解:1、计算长为l的纵截面ABCD上切向内力的合力偶矩 如图c所示,在纵截面上取一微面积dA=1·dp,其上切向内力的合力即微剪力 微剪力对z轴的微力矩为 dm =pdfs =pro/dp=rp. ld p 积分得到纵截面上切向内力对x轴的合力偶矩为
2 [ ] π [ ] 16 π [ ] 0 π 16 4 4 4 4 ≤ − − = − τ D τ TD d τ D d DT ， （ ） π 80 10 Pa 16 5 10 N m π 0.1m (8 10 Pa) 0 6 4 3 4 6 × × × D − × × ⋅ × D − ×（ ） × = 解得 107.7 10 m 107.7 mm 3 = × = − D 3.85mm 2 107.7mm 100mm 2 = − = − = D d δ 比较可知，两种设计的结果非常接近。 讨论: 当δ ≤ R0 /10 时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。 2 图示受扭圆杆，沿平面ABCD截取下半部分为研究对象，如图b所示。试问截面ABCD上 的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？ 解题分析：由切应力互等定理可知截面ABCD上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内 力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b中，左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直 于截面ABCD的竖直向下的力偶矩，正好与截面ABCD上切向内力的合力偶矩平衡。 解：1、计算长为 l 的纵截面ABCD上切向内力的合力偶矩 如图c所示，在纵截面上取一微面积d A = l ⋅ d ρ ，其上切向内力的合力即微剪力 d τ d ρ ρ d ρ p S ρ = ⋅ ⋅ = ⋅ l ⋅ I T F l 微剪力对 z 轴的微力矩为 d ρ d ρτ d ρ ρ d ρ 2 p S ρ = = ⋅ ⋅ = ⋅ l ⋅ I T M F l z 积分得到纵截面上切向内力对 z 轴的合力偶矩为 题2图 M (a) A B (d) R D (c) dθ (b) C dρ θ A D A B C M z B D x C ρ
2TIR M2=dM:=2 0O·1.dp=3,方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图所示,微面积dA=pdpd上切向内力的水平分量为 dF= T. pdpd6·mBs P. sin ed pde 右端横截面上剪力的水平分量为 Fs p sine pde R 左右两个横截面上水平剪力形成绕z轴的力偶矩为 Fs1=21R3,竖直向下 所以,截面ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成 的力偶矩平衡。 3空心钢轴的外径D=100mm,内径d=50mm。已知间距l=2.7m之间两截面的相对 扭转角φ=1.8°,材料的切变模量G=80GPa。试计算:(1)轴内最大切应力;(2)当轴以n =80r/min的速度旋转时,轴传递的功率(kW) 解题分析:由已知条件q求出扭矩T,由T计算rm和功率P。 解:1、根据相对扭转角列出扭矩的表达式 Gpxx,即7s9G1 T180° l80°1 2、计算最大切应力 D 9GDπx OGTD plp×1809121×180° 1.8°×80×10°Parx0.lm 46.6×10°Pa=466MPa 2×2.7m×180° 3、计算轴传递的功率
3 p 3 0 2 p 3 2 d 2 d I TlR l I T M M R z = z = ⋅ ⋅ = ∫ ∫ ρ ρ ，方向竖直向上。 2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示，微面积d A = ρ d ρ dθ 上切向内力的水平分量为 d τ ρ d ρ dθ sinθ ρ sinθ d ρ dθ 2 p ρ = ⋅ ⋅ = ⋅ I T F 右端横截面上剪力的水平分量为 3 p 0 2 p 2 π 0 S 3 2 2 sin d d R I T I T F R = = ∫ ∫ ρ θ ρ θ 左右两个横截面上水平剪力形成绕 z 轴的力偶矩为 3 p S 3 2 lR I T F ⋅ l = ，竖直向下。 所以，截面ABCD上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成 的力偶矩平衡。 3 空心钢轴的外径 D = 100 mm，内径 d = 50 mm。已知间距 l = 2.7 m 之间两截面的相对 扭转角ϕ =1.8°，材料的切变模量G = 80 GPa。试计算：(1) 轴内最大切应力；(2) 当轴以 n = 80r/min 的速度旋转时，轴传递的功率(kW)。 解题分析：由已知条件ϕ 求出扭矩T ，由 T 计算 ma x τ 和功率P。 解：1、根据相对扭转角列出扭矩的表达式 π 180 p ° = × GI Tl ϕ ，即 l GI T ° = 180 π ϕ p 2、计算最大切应力 46.6 10 Pa 46.6 MPa 2 2.7 m 180 1.8 80 10 Paπ 0.1m 2 180 π 180 2 π 2 6 9 p p p max = × = × × ° °× × × = × ° = × ° × = ⋅ = l G D I l D GI I D T ϕ ϕ τ 3、计算轴传递的功率
由T= 18°×80×10°Pax2(1004-504)×10 180°×2.7m 2 r/min 得P=71.7kW 4若用一内外径比值为0.6的空心轴来代替直径为d=400mm的实心轴,在两轴的许用切 应力相等的条件下,试确定空心轴的外径,并比较实心轴和空心轴的重量。 解题分析:用空心轴代替实心轴,须保证二者强度相同。根据强度条件可求出D值,再用面 积比得出重量比。 解:1、根据两轴切应力相等的条件,确定空心轴外径 TT Vacay =400mm V(-064) 2、比较实心轴和空心轴的重量 两轴重量比应等于其横截面面积A空和A实之比 4202mm2(1-0.62) 100%=71 即在强度相同条件下,空心轴可以节约近30%的材料 讨论:在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴,在保障安全运行的前提下,可以节约材料。 5已知钻探机杆的外径D=60mm,内径d=50mm,功率P=746kW,转速n=180r/min, 钻杆入土深度l=40m,G=80GPa,[r=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布 的,试求:(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M;(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核; (3)求A、B两截面相对扭转角。 解题分析:根据题意,为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上,并沿 钻杆长度方向均匀分布
4 由 { } { }r/min kW 9 2 4 4 12 4 80 9549 32 π 100 50 10 m 180 2.7 m 1.8 80 10 Pa P T = − × × °× °× × = （ ） − 得 P = 71.7kW 4 若用一内外径比值为0.6的空心轴来代替直径为 d = 400 mm 的实心轴，在两轴的许用切 应力相等的条件下，试确定空心轴的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解题分析：用空心轴代替实心轴，须保证二者强度相同。根据强度条件可求出D值，再用面 积比得出重量比。 解：1、根据两轴切应力相等的条件，确定空心轴外径 [ ] P max P实 max = = τ W 空 T W T (1 ) 16 π 16 π 4 3 3 = −α d D 420mm (1 0.6 ) 1 400mm (1 ) 1 (1 ) 4 3 4 3 4 3 3 = − = − = − = α α d d D 2、比较实心轴和空心轴的重量 两轴重量比应等于其横截面面积 A空 和 A实 之比： 100% 71% 400 mm 420 mm 1 0.6 4 π (1 ) 4 π 2 2 2 2 2 2 2 2 × = − = − = （ ） 实 空 d D A A α 即在强度相同条件下，空心轴可以节约近30％的材料。 讨论：在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴，在保障安全运行的前提下，可以节约材料。 5 已知钻探机杆的外径D = 60 mm，内径d = 50 mm，功率P = 7.46 kW，转速n =180 r/min， 钻杆入土深度l = 40 m，G = 80 GPa，[τ]= 40 MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布 的，试求：(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；(2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； (3) 求A、B两截面相对扭转角。 解题分析：根据题意，为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上，并沿 钻杆长度方向均匀分布
解:1、求阻力矩集度M 设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力,则有 746kW T=9549 49 =390N.m 180r/min 单位长度阻力矩M= T 390N.m 9.75N.m/ 140m 2、作扭矩图,进行强度校核 钻杆的扭矩图如图c所示。最大扭矩出现在A截面,所以A截面为危险截面。其上 最大切应力为 390N,m×30×10-3m =17.7 MPa (604-504) 满足强度要求。 3、计算A、B两截面相对扭转角qAB MDx d 0GⅠ 32×390N.m×40m 80×10°Paxr(60)4-(50)1×102m×20.148rad=848° 6两个等长度的钢管松套在一起。外管的尺寸为D=100m,d2=90mm;内管的尺寸D2=90 mm,d2=80mm。当内管受扭矩T=2kNm作用时,将两管的两端焊接起来。然后去掉内管 上的扭矩,问此时组合管内将产生怎样的应力?试画出组合管横截面上的切应力分布图
5 解：1、求阻力矩集度M 设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力，则有 390 N m 180r / min 7.46 kW 9549 { } { } 9549 r min kW = = = ⋅ n P T 单位长度阻力矩 9.75 N m/m 40m 390N m = ⋅ ⋅ = = l T M 2、作扭矩图，进行强度校核 钻杆的扭矩图如图 c 所示。最大扭矩出现在A截面，所以A截面为危险截面。其上 最大切应力为 τ = < [ ] τ − × ⋅ × × = × = − − 17.7 MPa (60 50 ) 10 m 32 π 390N m 30 10 m 4 4 12 4 3 p max max I T R 满足强度要求。 3、计算A、B两截面相对扭转角ϕ AB 2 d · · ·d p 0 p 0 p l GI T x GI l x T GI l M x l AB = = = ∫ ∫ ϕ = = ° × × − × × × ⋅ × = − 0.148 rad 8.48 80 10 Pa π[ 60 50 ] 10 m 2 32 390 N m 40 m 9 （ ）4 （ ）4 12 4 6 两个等长度的钢管松套在一起。外管的尺寸为D1=100 mm，d1=90 mm；内管的尺寸D2 = 90 mm，d2 = 80 mm。当内管受扭矩T = 2 kN·m作用时，将两管的两端焊接起来。然后去掉内管 上的扭矩，问此时组合管内将产生怎样的应力？试画出组合管横截面上的切应力分布图
解題分析:内、外管两端焊接后,内、外管在端截面处一起变形。去掉内管扭矩后,内管产 生恢复性扭转变形,并带动外管也产生扭转 变形。同时外管限制内管完全恢复到其受扭 前位置。两管在中间位置取得平衡。此题属 于扭转静不定问题。 解:设预加扭矩T在内管引起的扭转角为q; 在焊接后和去掉内管扭矩后,设外管所受扭 矩为T1,相应扭转角为1,内管所受扭矩为 T2,相应扭转角为q2 1、列静力平衡方程 2、列变形协调方程 十 (b) 代入物理关系得m=x12+121 (c) Glp2 GlpI Glp2 3、计算各管扭矩 将(a)、(c)联立求解,得 lg2+l(D2-d2)+(D1-d) 2×103Nm(1004-904)×10-12 l166Nm=72 (904-804)×10 (1004-904)×10 4、计算外管和内管的切应力 T max 166N.mx50×10-m×32-173×10°Pa=17.3MPa lp(1004-904)×10 am=1a=x0-89×0m2138101211
6 解题分析：内、外管两端焊接后，内、外管在端截面处一起变形。去掉内管扭矩后，内管产 生恢复性扭转变形，并带动外管也产生扭转 变形。同时外管限制内管完全恢复到其受扭 前位置。两管在中间位置取得平衡。此题属 于扭转静不定问题。 解：设预加扭矩T 在内管引起的扭转角为ϕ ； 在焊接后和去掉内管扭矩后，设外管所受扭 矩为T1，相应扭转角为ϕ 1 ，内管所受扭矩为 T2，相应扭转角为ϕ 2。 1、列静力平衡方程 T1 = T2 (a) 2、列变形协调方程 ϕ = ϕ1 +ϕ 2 (b) 代入物理关系得 p2 2 p1 1 p2 GI T l GI T l GI Tl = + (c) 3、计算各管扭矩 将(a)、(c)联立求解，得 （ ）（ ） （ ） 4 1 4 1 4 2 4 2 4 1 4 1 p2 p1 p1 1 D d D d T D d I I TI T − + − − = + = 2 4 4 12 4 4 4 12 4 3 4 4 12 4 1 1166N m 90 80 10 m 100 90 10 m 2 10 N m 100 90 10 m T = ⋅ = T − × + − × × ⋅ − × = − − − （ ） （ ） （ ） 4、计算外管和内管的切应力 17.3 10 Pa 17.3MPa π 100 90 10 m 2 1166N m 50 10 m 32 6 4 4 12 4 3 p1 1 1 1max = × = − × ⋅ × × × = × = − − I （ ） D T τ 21.8 10 Pa 21.8 MPa π (90 80 ) 10 m 2 1166 N m 45 10 m 32 6 4 4 -12 4 -3 p2 2 2 2max = × = − × ⋅ × × × = × = I D T τ τ1max ϕ ϕ2
组合管的切应力分布图如图b所示。 7一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400N·m作用,圆杆直径d=40mm,矩形 截面为60mm×20mm,试比较这两种杆的最大切应力和截面面积 解题分析:圆形截面杆受扭时最大切应力发生在截面边缘各点处,矩形截面杆受扭时最大切 应力发生在截面长边中点处。计算时需要先查表得到有关系数 解:1、分别计算两种截面杆最大切应力 T16716×400Nm 1pπd3πx(40×10-3m)3 =319×10°Pa=319MPa 矩形杆,先计算比值力=5=3,查表a=0267 624×10°Pa=624MPa m)2×(60×10-3m) 2、分别计算两杆截面面积 圆杆A圆= x{40×103)m2 1260×100m2=1260mm 矩形杆A=60×0m2100m2 1200mm 讨论:矩形截面面积与圆形面积相近,但是最大切应力却增大了近一倍,且之值越大,切 应力也越大,因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件 8图示的闭口薄壁截面杆受到外力偶M的作用。若]=60MPa,试按强度条件确定其许用 扭力矩。若在杆上沿母线开一缝,试问开缝后,许用扭力矩又为多少? 解题分析:闭口薄壁杆受扭时,最大 切应力发生在杆壁最薄处。开口薄壁 M 可看成以若干狭长矩形截面杆组合而 成,以求和的形式计算最大切应力。 题8图 由切应力强度条件确定许用扭力矩。 解:1、确定闭口薄壁截面杆的许用扭力矩 已知:h=300mm,b=100mm,6=3mm,则最大切应力及其强度条件为
7 组合管的切应力分布图如图b所示。 7 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T = 400 N·m作用，圆杆直径d = 40 mm，矩形 截面为60 mm×20 mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。 解题分析：圆形截面杆受扭时最大切应力发生在截面边缘各点处，矩形截面杆受扭时最大切 应力发生在截面长边中点处。计算时需要先查表得到有关系数。 解：1、分别计算两种截面杆最大切应力 圆杆 31.9 10 Pa 31.9 MPa π (40 10 m) 16 400N m π 16 6 3 3 3 p max = × = × × × ⋅ = = = − d T W T τ 矩形杆，先计算比值 3 2 6 = = b h ，查表α = 0.267 62.4 10 Pa 62.4 MPa 0.267 20 10 m (60 10 m) 400N m 6 max 2 3 2 3 = × = × × × × ⋅ = = （ − ） − b h T α τ 2、分别计算两杆截面面积 圆杆 ( ) 1260 10 m 1260mm 4 π 40 10 m -6 2 2 2 -3 = × = × × A 圆= 矩形杆 60 20 10 m 1200 10 m 1200mm 6 2 6 2 = × × = × = − − A 矩 讨论：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，且 b h 之值越大，切 应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。 8 图示的闭口薄壁截面杆受到外力偶M的作用。若[τ ] = 60MPa ，试按强度条件确定其许用 扭力矩。若在杆上沿母线开一缝，试问开缝后，许用扭力矩又为多少？ 解题分析：闭口薄壁杆受扭时，最大 切应力发生在杆壁最薄处。开口薄壁 可看成以若干狭长矩形截面杆组合而 成，以求和的形式计算最大切应力。 由切应力强度条件确定许用扭力矩。 解：1、确定闭口薄壁截面杆的许用扭力矩 已知：h=300mm，b=100mm，δ=3mm，则最大切应力及其强度条件为 300 题8图 M M 3 100
296 式中为截面中心线所围的面积。 M=T=2228min[]= 2hb[r] =2×300×100×10m )(×103m 60×10°Pa=108×102N.m 2、确定开缝后的许用扭力矩 ∑ h 00 ×60×106Pa=144N,m 讨论:上述计算结果表明,开口薄壁杆比闭口薄壁杆扭转时承载能力差很多
8 [ ] 2 min max τ δ τ = ≤ Ω T 式中 Ω 为截面中心线所围的面积。 2 ( )( ) 300 100 10 m 3 10 m 60 10 Pa 108 10 N m 2 [ ] 2 [ ] -6 2 -3 6 2 min = × × × × × × × = × ⋅ M = T = Ωδ τ = hbδ τ 2、确定开缝后的许用扭力矩 [ ] 3 1 3 max max τ δ δ τ = ≤ ∑ i i h T 式中 3 3 12 4 3 12 4 3 12 4 3 10 m 3 800 2(300 3 10 m 100 3 10 m ) 3 1 3 1 − − − ∑hiδ i = × × × + × × = × × 60 10 Pa 144 N m 3 10 m 3 10 m 3 800 [ ] 3 1 6 3 3 12 4 max 3 × × = ⋅ × × × = = = − − ∑ τ δ iδ i h M T 讨论：上述计算结果表明，开口薄壁杆比闭口薄壁杆扭转时承载能力差很多