应力、应变状态分析 典型习题解析 1已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm。绘出表示1、2、3及4 点应力状态的微体,并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm M10 kN.m 中性轴 mm Fs=120 kN 题1图 解题分析:从图中可分析1、4点是单向应力状态,2点在中性轴上为纯剪切应力状态,3 点微体上既有正应力又有切应力。 解:1、画各点处微体的应力状态图 取平行和垂直与梁横截面的六个平面,构成微体。则各点处的应力状态如图示 2、计算各点处主应力 梁截面惯性矩为L b3_60×10-3×(0410)m=500×10-3m2 1点处弯曲正应力(压应力) My_10×10N·mx50×107m =100×10°Pa=100MPa 500×10-8m4 1点为单向压缩受力状态,所以a1=02=0 100MPa 2点为纯剪切应力状态,r=-3×120×10N=30×105Pa=3Ma(向下) 2×60×100×10 容易得到,a1=30MPa,a2=0,a3=-30MPa 3点为一般平面应力状态 弯曲正应力a=M10×103N·mx25×103m=50×105Pa=50MPa 500×10-8m4 弯曲切应力
应力、应变状态分析 典型习题解析 1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力FS=120 kN及弯矩 M = 10kN ⋅ m 。绘出表示 1、2、3 及 4 点应力状态的微体，并求出各点的主应力。b = 60 mm，h = 100 mm。 解题分析： 从图中可分析 1、4 点是单向应力状态，2 点在中性轴上为纯剪切应力状态，3 1 取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。则各点处的应力状态如图示。 2、 梁截面惯性矩为 点微体上既有正应力又有切应力。 解： 、画各点处微体的应力状态图 计算各点处主应力 8 4 3 3 3 3 4 500 10 m 12 60 10 (100 10 m 12 − − − = × × × × = = bh ） I z 1 点处弯曲正应力（压应力） 100 10 Pa 100MPa 500 10 m 10 10 N m 50 10 m 6 8 4 −3 3 = × = × × ⋅ × × = = − − z I My σ 1 点为单向压缩受力状态，所以 σ 1 = σ 2 = 0 ， 100MPa σ 3 = − 2 点为纯剪切应力状态， 30 10 Pa 30MPa 2 60 100 10 m 3 120 10 N 6 6 2 3 = × = × × × × × = − τ （向下） 容易得到， 30MPa σ 1 = ，σ 2 = 0， 30MPa σ 3 = − 3 点为一般平面应力状态 弯曲正应力 50 10 Pa 50MPa 500 10 m 10 10 N m 25 10 m 6 8 4 3 3 = × = × × ⋅ × × = = − − z I My σ 弯曲切应力 σ1 4 τ 2 FS=120 kN 题 1 图 中性轴 3 2 4 h σ 25 mm τ 3 b 1 M=10 kN·m σ3 1 50 mm 1
FS120×10°N×60×25×375×10°m3 =22.50×10Pa=225MPa 60×10-3m×500×10-8m4 ox- 50×105Pa.50×10°Pa 2+(225×10pa2586MPa 8. 6MPa 所以a1=58.6MPa,a2=0,a3=-86MPa 4点为单向拉伸应力状态,拉伸正应力的大小与1点相等。所以4点的主应力为 1=100MPa,a2=3=0 2试求图示微体斜截面上的应力,主应力及其方位,并求最大切应力。 40 MPa 30° 10 MPa 图2 解题分析:所要计算的斜截面外法线与x轴的夹角a为正60°。斜截面应力计算公式中,a 角正负号规定为自x轴正向逆时针转向外法线为正。 解:1、计算斜截面上应力 选取xy坐标系,如图示。则该微体各应力为 σ=40MPa,d=20MPa lOMPa a=60°斜截面上的应力为 x+,,x-0 cos 2a-T sin 2a (40+20)MPa(40-20)MPa cosl20°-10 MPasin120°=16.3MPa 2
22.50 10 Pa 22.5MPa 60 10 m 500 10 m 120 10 N 60 25 37.5 10 m 6 3 8 4 * 3 9 3 S = × = × × × × × × × × = = − − − z z bI F S τ 8.6MPa 58.6MPa ) (22.5 10 Pa) 2 50 10 Pa ( 2 50 10 Pa ) 2 ( 2 2 6 2 6 6 2 2 min max − + × = × ± × = + − ± + = x x y x y τ σ σ σ σ σ σ 所以 58.6MPa σ 1 = ，σ 2 = 0， 8.6MPa σ 3 = − 4 点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与 1 点相等。所以 4 点的主应力为 100MPa σ 1 = ，σ 2 =σ 3 = 0 2 试求图示微体斜截面上的应力，主应力及其方位，并求最大切应力。 解题分析： 所要计算的斜截面外法线与 x 轴的夹角α 为正 。斜截面应力计算公式中， D 60 α 角正负号规定为自 x 轴正向逆时针转向外法线为正。 解：1、计算斜截面上应力 选取 x y 坐标系，如图示。则该微体各应力为 = 40MPa σ x ， = 20MPa σ y ， =10MPa x τ D α = 60 斜截面上的应力为 cos120 10MPa sin120 16.3MPa 2 40 20 MPa 2 40 20 MPa cos 2 sin 2 2 2 − = − + + = − − + + = （ ） （ ） D D α τ α σ σ σ σ σ α x x y x y 22.5o 10 MPa x σ2 y 20 MPa 40 MPa 30o 图 2 2
-sin 2a +r cos 2( (40-20) MPa sin120°+10 MPa cos l20°=366MPa 2、计算主应力及其方位 (40+20)MPa 40-20)MPa)2+(1 44 1MPa lOMPa)-= 所以主应力为a1=44MPa,a2=159MPa,a3=0 由公-,一得 10MPa )=-22.5° 40 MPa-159 MPa 所以主应力G1对应的方位为-225°。 3、计算最大切应力 G1-0344.MP a T max =22.1MPa 讨论:当采用公式tan2 0,-计算时,得a=-2°或ao=675°。这时往往不 能直观判定方位角a0=-25°对应的是a1的方位或是a2的方位。采用公式 tan a 一或nan=计算时,可以避免这一问题 3自受力构件内取一微体,其上承受应力如图a所示,r2=/√3。试求此点的主应力及主 平面微体。 (b) 题3图
sin120 10MPa cos120 3.66MPa 2 40 20 MPa sin 2 cos 2 2 + = − = + − = （ ） D D α τ α σ σ τ α x x y 2、计算主应力及其方位 ⎩ ⎨ ⎧ + = − ± + = + − ± + = 15.9MPa 44.1MPa ) 10MPa 2 40 20 MPa ( 2 40 20 MPa ) 2 ( 2 2 2 2 2 min max （ ） （ ） （ ） x x y x y τ σ σ σ σ σ 所以主应力为 44.1MPa σ 1 = ， 15.9MPa σ 2 = ，σ 3 = 0 由公式 min 0 tan σ σ τ α − = − x x 得 D ) 22.5 40 MPa 15.9 MPa 10 MPa arctan( ) arctan( min 0 = − − = − − = − σ σ τ α x x 所以主应力σ 1 对应的方位为 − 22.5D 。 3、计算最大切应力 22.1MPa 2 44.1MPa 0 2 1 3 max = − = − = σ σ τ 讨论：当采用公式 x y x σ σ τ α − = − 2 tan 2 0 计算时，得 或 。这时往往不 能直观判 定方位角 对应的是 D α 0 = −22.5 D α 0 = 67.5 D 22.5 α 0 = − σ 1 的方位或 是 σ 2 的方位 。采用公 式 min 0 tan σ σ τ α − = − x x 或 y x σ σ τ α − = − max 0 tan 计算时，可以避免这一问题。 3 自受力构件内取一微体，其上承受应力如图 a 所示，τ x =σ / 3 。试求此点的主应力及主 平面微体。 σ a a τ 3 (a) (b) (c) σ d b τ y x σ/3 σ/3 σ τ τx σ x c b σ 60o 60o 题 3 图
解题分析:本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式,应首先建立直角坐标系并确定 a、a,和2。微体处于静力平衡状态,所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。 在建立直角坐标系后,利用上述关系可计算出a,、σ,和r 解:从三角形微体中取出一直角三角形adb,并建立直角坐标系,如图b所示。图b中, ∠ab=90°,并用A表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为σx、切应力为rx。当将微 体abc从中间竖直切开后,由于左右对称性,所以截开面ad上的剪应力必为零,即r1=0。由 剪应力互等定理知db边上切应力也为零。所以,可以确定ad面和db面即是该点的主平面。 由于直角三角形adb微体处于平衡状态,于是有 ∑F=0,rAsn30°+ Or Aab cos30°=0,得 o=-/√3=-a/3(压) 所以该点处主应力为σ1=a,σ2=0,a3=-0/3。 4构件中某点A为平面应力状态,两斜截面上的应力如图a所示。试用应力圆求主应力和 最大切应力 D1(-100.50) 解题分析:本题应理解为已知了A点处微体两个斜截面上的应力,或者说已知了应力圆上 的两个点。但是,已知圆上的两个点并不能确定这个圆,所以还需要补充一个条件。这个补 充条件是:应力圆的圆心必在横坐标轴(即σ轴)上。 解:1、建立σ、r坐标系(见图b) 2、在坐标图上确定点D(200,100)和点D(-100,50),连接D、D1,做DD1线的中垂线 交于a轴上C点。以C点为圆心,CD为半径作圆,即为所求之应力圆 3、在应力圆上量取a1=235MPa,a2=0,3=-110MPa
解题分析：本题微体为一三角体。为使用极值应力计算公式，应首先建立直角坐标系并确定 σ x 、σ y 和 x τ 。微体处于静力平衡状态，所以从其上切取的任何一块也应处于静力平衡状态。 在建立直角坐标系后，利用上述关系可计算出σ x 、σ y 和 x τ 。 解：从三角形微体中取出一直角三角形adb，并建立直角坐标系，如图b所示。图b 中， D ∠adb = 90 ，并用Aab表示ab斜面面积。设在ad截面上设正应力为σ x 、切应力为 x τ 。当将 竖直切开后，由于左右对称性，所以截开面ad上的剪应力必为零，即 = 0 微 体abc从中间 x τ 。由 剪应力互等定理知db边上切应力也为零。所以，可以确定ad面和db面即是该点的主平面。 由于直角三角形 adb 微体处于平衡状态，于是有 ∑ = 0 Fx ， sin 30 + cos 30 = 0 D D Aab σ x Aab τ ，得 σ x = −τ / 3 = −σ / 3 (压) 所以该点处主应力为σ 1 =σ ，σ 2 = 0，σ 3 = −σ / 3。 ４ 构 力状态 两斜截 上的应力如 a 所示。试用应力圆求主应力和 解题分析 件中某点 A 为平面应 ， 面 图 最大切应力。 100 100 200 50 A D(200,100) D1(-100,50) τ O C σ1 τmax σ σ3 (a) (b) 题 4 图 ： 本题应理解为已知了 A 点处微体两个斜截面上的应力，或者说已知了应力圆上 的两个点。但是，已知圆上的两个点并不能确定这个圆，所以还需要补充一个条件。这个补 充条件是：应力圆的圆心必在横坐标轴（即σ 轴）上。 解：1、建立σ 、τ 坐标系(见图 b) 2、在坐标图上确定点D(200，100)和点D1(-100，50)，连接D、D1，做DD1线的中垂线， 交于σ 轴上C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，即为所求之应力圆。 在应力圆上量取 235MPa 3、 σ 1 = ，σ 2 = 0， 110MPa σ 3 = − 。 4
r=172.5MF 5在三向应力状态中,如果σ1=σ2=σ3,并且都是拉应力,它的应力圆是怎样的?又如果 都是压应力,它的应力圆又是怎样的? O1=O2=03 题5图 解题分析:当G1=a3时,应力圆均为点圆 解:建立G、坐标系,设OC=01=02=a,拉应力时见图a,压应力时见图b。 6用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为E0=700×106 E4s=350×106,con=-500×106,试作应变圆,求该点处的主应变数值。 y2 &1 50 3 题6图 解题分析:已知一点处三个方位上的正应变,可完全确定应变圆。 解:1、确定E,(y2)坐标系 2、在E轴上量取o值,得点A;在E轴上量取E4s值,得点B;在E轴上量取Eo值 得点D。分别过A、B、D点做c轴垂线 3、平分AD得圆心C
4、量取 τ max = 172.5MPa ５ 在三向应力状态中，如果σ 1 =σ 2 =σ 3 ，并且都是拉应力，它的应力圆是怎样的？又如果 怎样的？ 都是压应力，它的应力圆又是 τ 解题分析：当σ 1 =σ 3时，应力圆均为点圆。 解：建立σ 、τ 坐标 应力时见图a，压应力时见图b。 700×10 ， D D 系，设OC=σ1=σ2=σ3，拉 ６ 用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为 ε 0 = -6 -6 ε = 350 ×10 ， -6 45 ε 90 = −500×10 ，试作应变圆，求该点处的主应变数值。 解题分析：已知一点处三个方位上的正应变，可完全确定应变圆。 解： 1、确定ε ，(γ/2)坐标系 2、在ε 轴上量取 0 ε 值，得点 A；在ε 轴上量取 D 45 ε 值，得点 B；在ε 轴上量取 D 90 ε 值， 得点 D。分别过 A、B、D 点做ε 轴垂线。 3、平分 AD 得圆心 C。 D' B' A' 11.3o y ε x 0o ε45o ε90o ε1 ε3 ε3 ε90o ε45o ε0o γ/2 D C ε1 B A ε 题 6 图 2α (b) (a) (b) C τ C O σ σ1=σ2=σ3 O σ1=σ2=σ3 题 5 图 σ 0 (a) 5
4、在D点向上量取DD=CB 5、连DC即为应变圆半径,作应变圆交c轴于E1和s3两点,则s1和s3即为主应变数值。 6、连CA,∠A℃E1=2a0,即可得主应变G1与E0的夹角ao。 7、结果1=750×10°,s3=-550×10°,a0=113 讨论:可以证明:在直角三角形CDD及三角形CBB中,CDy=CB=应变圆半径。 △CDD≌△BBC,故DD=CB 7边长为20mm的钢立方体置于钢模中,在顶面上受力F=14kN作用。已知μ=0.3,假设 钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。 F=14kN 题7图 解题分析:钢立方体置于钢模中,在y方向有应力,x、二方向限制钢立方体变形,即Ex=0、 E:=0,以此可求出ax和a 14×103N =-35×10Pa=-35MPa 20×20×10 2、因有钢模限制,所以x、z方向的应变均为零。 Er=Ao +. x-0.3×(-35MPa+a:)=0 (a) :-以(y+x) E a:-0.3×(-35MPa+ax)=0 联立(a)、(b)两式,得 15 MPa
4、在 D 点向上量取 DD'= CB。 5、连 D'C 即为应变圆半径，作应变圆交ε 轴于 1 ε 和 3 ε 两点，则 1 ε 和 3 ε 即为主应变数值。 6、连CA'，∠A'C 1 ε =2α0，即可得主应变 1 ε 与 0 ε 的夹角α 0 。 7 -6 、结果 750 ， -6 D ε = × ， 讨论 角三角形 CDD'及三角形 CBB CD'= CB'= 应变圆半径。 7 中，在顶面上受力 F = 14 kN 作用。已知 1 10 3 ε = −550 ×10 11.3 α 0 = ：可以证明：在直 '中， △CDD'≌△B'BC，故 DD'= CB 边长为 20 mm 的钢立方体置于钢模 µ = 0.3，假设 解题分析：钢立方体置于钢模中， x、z 方向限制钢立方体变形，即 钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。 F=14kN 在 y 方向有应力， ε x = 0 、 ε z = 0 ，以此可求出σ x 和σ z 。 解：1、 35 10 Pa 35 MPa 2 10 m 14 10 N3 × × − A F y 20 0 6 6 2 = − × = − × σ = − = − 2、因有钢模限制，所以 x、z 方向的应变均为零。 0 ( ) = − + = E x y z x σ µ σ σ ε σ x − 0.3×(−35 MPa +σ z ) = 0 (a) 0 ( ) = − + = E z y x z σ µ σ σ ε σ z − 0.3×(−35 MPa +σ x ) = 0 (b) 联立(a)、(b)两式，得 = = −15 MPa σ z σ x x z y 题 7 图 (压) 6
