第二讲球对称分布X~Nn(0, In) =xl
1 第二讲 球对称分布 𝐱~𝑁𝑛 0,𝐼𝑛 ⇒ 𝐱 𝐱 ~𝑈(𝑆 𝑛−1 )
Recap心人类生活在3维空间，只能看到2维；人类难以相像或用语言描述4维及以上空间数学语言（多变量微积分）提供了研究高维空间的工具：心高维几何体上赋予均匀概率分布等价于通常的黎曼积分：几何体上的概率α几何体的体积心当概率计算过于复杂或无法计算时，可采用蒙特卡洛抽样方法进行实验。通过蒙特卡洛实验或概率分布公式，得到了高维球的如下性质：球体的体积大多集中于球表面附近；球体表面积大多集中于赤道附近；n-2维投影-* U(sn-1)→ U(Bn-2)U(S2)）的1维投影均匀分布U(S4)的3维投影均匀分布2
2 人类生活在3维空间，只能看到2维； 人类难以相像或用语言描述4维及以上空间； 数学语言（多变量微积分）提供了研究高维空间的工具； 高维几何体上赋予均匀概率分布等价于通常的黎曼积分： 几何体上的概率 ∝ 几何体的体积 当概率计算过于复杂或无法计算时，可采用蒙特卡洛抽样方法 进行实验。 Recap 通过蒙特卡洛实验或概率分布公式，得到了高维球的如下性质： 球体的体积大多集中于球表面附近； 球体表面积大多集中于赤道附近； 𝑛 − 2维投影 𝑈 𝑆 2 的1维投影均匀分布 𝑈 𝑆 4 的3维投影均匀分布 𝑈 𝑆 𝑛−1 𝑈(𝐵 𝑛−2 )
sn-1上均匀随机点的2维投影点多的地方表示弯曲度较大光线照射时，边缘弯曲处不反光，光线暗淡U(S2)的2维边界处暗淡，中心明亮投影(n = 3)这是现实世界的球。4维球的球面在人类看来U(S3)的2维（即2维投影）处处平坦，投影(n = 4)感觉不到弯曲。圆盘。100维球的球面中心向远离U(S99)的2维我们的方向凹陷（边界处投影(n= 100)明亮，中间暗淡）。碗
3 𝑈 𝑆 2 的2维 投影(𝑛 = 3) 边界处暗淡, 中心明亮， 这是现实世界的球。 4维球的球面在人类看来 （即2维投影）处处平坦， 感觉不到弯曲。圆盘。 100维球的球面中心向远离 我们的方向凹陷（边界处 明亮，中间暗淡）。碗。 𝑈 𝑆 3 的2维 投影(𝑛 = 4) 𝑈 𝑆 99 的2维 投影(𝑛 = 100) 点多的地方表示弯曲度较大. 光线照射时，边缘弯曲处不反光，光线暗淡 𝑆 𝑛−1上均匀随机点的2维投影
贝特朗悸论贝特朗悸论（BertrandParadox）是概率论中一个有趣的现象。对贝特朗同一个几何概率问题，法国数学家JosephBertrand（1822-1900）悖论给出了几个都看似合理但互相冲突的概率计算结果。问题的根源在于对几何体（弦）的概率理解不同，对单位圆内的“随机性或均匀性”做了不同的假设。贝特朗悸论问题通常如下描述：随机选取二维平面上单位圆的一条弦，其长度大于圆内接等边三角形边长V3的概率是多少通常“随机选取”是“均匀、等概率地选取”的意思。比如在圆内“随机选取一个点”实际上是假设选取的点在服从单位圆内的均匀分布。但“随机选取一条弦”的含义不明确，这里选取的是几何体，是点的集合，不同的理解可导致三个不同的计算结果，参见：·苏淳，冯群强（2020）概率论，P29https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)
4 贝特朗悖论 贝特朗悖论(Bertrand Paradox)是概率论中一个有趣的现象。对 同一个几何概率问题，法国数学家Joseph Bertrand（1822-1900） 给出了几个都看似合理但互相冲突的概率计算结果。问题的根源 在于对几何体（弦）的概率理解不同，对单位圆内的“随机性或 均匀性” 做了不同的假设。 贝特朗悖论问题通常如下描述：随机选取二维平面上单位圆的 一条弦，其长度大于 圆内接等边三角形边长 3 的概率是多少？ 通常“随机选取” 是“均匀、等概率地选取”的意思。比如在圆内 “随机选取一个点”实际上是假设选取的点在服从单位圆内的均匀分 布。 但“随机选取一条弦”的含义不明确，这里选取的是几何体，是 点的集合，不同的理解可导致三个不同的计算结果 , 参见： • 苏淳,冯群强 (2020) 概率论，P29. • https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)。 贝特朗 悖论
单位圆内任意一点的极坐标表示：(x1, x2) = (rcos(0),rsin(0)),0 < r ≤1,0 < ≤ 2元下面叙述贝特朗俘论问题的三种解法。解法1：在圆周上随机地选取两个点构成一个短弧，若弧的长度大于2/3，则对应的弦长大于V3。总弧长为2元，故所求概率为2㎡/3=1/3.2元(x1,x2)V3评注：解法1将随机性局限于圆周上，实际上假设了“选取的弦的两个端点服从圆周上的均匀分布”，这等价于（为什么？）“一个端点固定，另一个端点均匀地分布于圆周”：(x1, x2) = (rcos(0),rsin(0)) ~U(s1),这等价于0~U(0,2元), r = 15
5 3 解法1：在圆周上随机地选取两个点构成一个短弧，若弧的长度大于 2𝜋/3，则对应的弦长大于 3。总弧长为2𝜋，故所求概率为2𝜋/3 2𝜋 = 1/3. 评注：解法1将随机性局限于圆周上，实际上假设了“选取的弦的两个 端点服从圆周上的均匀分布”，这等价于（为什么？）“一个端点固 定，另一个端点均匀地分布于圆周”： 𝑥1, 𝑥2 = 𝑟cos 𝜃 , 𝑟sin 𝜃 ~𝑈(𝑆 1 ), 这等价于 𝜃~𝑈(0,2𝜋)，𝑟 ≡ 1 单位圆内任意一点的极坐标表示: 𝑥1, 𝑥2 = 𝑟cos 𝜃 , 𝑟sin 𝜃 , 0 < 𝑟 ≤ 1, 0 < 𝜃 ≤ 2𝜋 下面叙述贝特朗悖论问题的三种解法。 𝑥1, 𝑥2
解法2：作半径为1/2的同心圆，其外接等边三角形的边长为V3。在单位圆内随机地取一个点（x1x2），垂直于该径向作一条弦（绿色）。若该点落在半径1/2的圆的内部，则绿色弦长大于V3。故所求概率为小圆与大圆面积之比，即1/4。Y评注：解法2认为“随机取一条弦”的意思是“随机取弦的中点”，概率由两个圆的面积之比得到，这实际上假设了弦的中点在圆内均匀分布：(x1,X2)~U(B2),容易计算此时极坐标满足：. 0~U(0,2元),: r = /x +x2~/U(0,1)6
6 解法2：作半径为1/2的同心圆，其外接等边三角形的边长为 3。在单 位圆内随机地取一个点 𝑥1, 𝑥2 ，垂直于该径向作一条弦（绿色）。若 该点落在半径1/2的圆的内部，则绿色弦长大于 3。 故所求概率为小圆 与大圆面积之比，即1/4。 评注：解法2认为“随机取一条弦”的意思是“随机取弦的中点”，概 率由两个圆的面积之比得到，这实际上假设了弦的中点在圆内均匀分布： 𝑥1, 𝑥2 ~𝑈 𝐵 2 , 容易计算此时极坐标满足： • 𝜃~𝑈(0,2𝜋)， • 𝑟 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2~ 𝑈(0,1) 𝑟 𝑥1, 𝑥2
解法3：任意随机取一个半径（红线），其中点x处与半径垂直的弦（蓝色）的长度是V3，在半径上随机地取一个点（x1，x2）（绿色），垂直于径向作绿色弦。若该点在中点×的上方，则弦长大于V3。我们认为绿色点落在中点x的上方和下方等可能的，故所求概率为1/2评注：解法3假设了径向r和角度0分别均匀：: 0~U(0,2元), r~U(0,1)，其密度p(r) = 1(o<r<1)由此可得（x1,x2)的密度1x+x≤1f(x1,x2) =2元/x+x2(x1, x2)选取的点(x1,x2)并不在圆内均匀分布.上述三种解法对于点(x1,x2）=（rcos(0),rsin(0))的随机性都假设了方向均匀，即0～U（0,2元），但模长r的分布假设却各有不同（不同的beta分布，参见下页表格）
7 解法3：任意随机取一个半径（红线），其中点x处与半径垂直的弦 （蓝色）的长度是 3，在半径上随机地取一个点 𝑥1, 𝑥2 （绿色）， 垂直于径向作绿色弦。 若该点在中点x的上方，则弦长大于 3。我们 认为绿色点落在中点x的上方和下方等可能的，故所求概率为1/2 评注：解法3假设了径向𝑟和角度𝜃分别均匀： • 𝜃~𝑈 0,2𝜋 ， • 𝑟~𝑈(0,1)，其密度𝑝 𝑟 = 1(0<𝑟<1) 由此可得 𝑥1, 𝑥2 的密度 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 1 2𝜋 𝑥1 2 + 𝑥2 2 , 𝑥1 2 + 𝑥2 2 ≤ 1 选取的点 𝑥1, 𝑥2 并不在圆内均匀分布. 𝑥1, 𝑥2 上述三种解法对于点 𝑥1, 𝑥2 = 𝑟cos 𝜃 , 𝑟sin 𝜃 的随机性都假设了 方向均匀，即𝜃~𝑈 0,2𝜋 ， 但模长𝑟的分布假设却各有不同（不同的 beta分布，参见下页表格）。 1 2 x
q(0)p(r)f(×）=p(xD/(2元xD解法11U(0,2元)81(r), Beta(00,1)(xi+x2=1)2元1解法2U(0,2元)/U(0,1), Beta(2,1)(xi+x2≤1)元1解法3U(0,2元)U(0,1),Beta(1,1)1(x+x2≤1)2元/x+x2注1：Beta(α,1)的密度0pa(r) = αrα-1,0 <r < 1,alpha=1alpha=2aDalpha=3alpha=6(1,r = 1alpha=10如右图，α→8时，pα(r)→1(r)=(0,r ± 1从解法3到解法1，α从1到，r=x在1附近的概0.00.20.40.60.81.0率质量越来越大。注2：解法3中r,都均匀，此时x在0点概率质量无穷大（奇点）：1f(x1,x2) =1(x+x2≤1)2元/x+x28
8 注2：解法3中𝑟, 𝜃都均匀，此时 𝐱 在0点概率质量无穷大（奇点）： 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 1 2𝜋 𝑥1 2 + 𝑥2 2 1(𝑥1 2+𝑥2 2≤1) 注1： Beta(𝛼,1)的密度 𝑝𝛼 𝑟 = 𝛼𝑟 𝛼−1 , 0 < 𝑟 < 1, 如右图，𝛼 → ∞时，𝑝𝛼 𝑟 → 𝛿1 𝑟 = ቊ 1, 𝑟 = 1 0, 𝑟 ≠ 1 从解法3到解法1，𝛼从1到∞，𝑟 = 𝐱 在1附近的概 率质量越来越大。 𝒒(𝜃) 𝒑(𝑟) 𝑓 𝐱 = 𝑝 𝐱 /(2𝜋 𝐱 ) 解法1 𝑈 0,2𝜋 𝛿1(𝑟) ，Beta(∞,1) 1 2𝜋 1(𝑥1 2+𝑥2 2=1) 解法2 𝑈 0,2𝜋 𝑈(0,1)，Beta(2,1) 1 𝜋 1(𝑥1 2+𝑥2 2≤1) 解法3 𝑈 0,2𝜋 𝑈(0,1)， Beta(1,1) 1 2𝜋 𝑥1 2 + 𝑥2 2 1(𝑥1 2+𝑥2 2≤1)
Bertrand例子的三个解法都假设了角度均匀（球面均匀，各向同司性）即各个方向上概率相同，这符合人们对“完全随机的理解。但径向长度（模长）的分布有不同的取法，从而导致圆内随机选取的绿色点（随机向量）的分布有三种不同的形式高维情况下随机向量的这种各向同性称为球对称(sphericallysymmetric）、方向均匀、正交不变、旋转不变，球对称随机向量的概率分布完全由径向分布决定。在保持角度均匀/球面均匀情况下，改变的模长的分布能生成各种球对称分布，比如NnO,α2In）
9 Bertrand例子的三个解法都假设了角度均匀（球面均匀，各向 同性），即各个方向上概率相同，这符合人们对“完全随机” 的理解。但径向长度（模长）的分布有不同的取法，从而导致 圆内随机选取的绿色点（随机向量）的分布有三种不同的形式。 高维情况下随机向量的这种各向同性称为球对称(spherically symmetric) 、方向均匀、正交不变、旋转不变，球对称随机向 量的概率分布完全由径向分布决定。 在保持角度均匀/球面均匀情况下，改变𝐱的模长 𝐱 的分 布能生成各种球对称分布, 比如𝑁𝑛 0, 𝜎 2 𝐼𝑛
兰等分布球对称分布定义（球对称分布）.x是n×1随机向量，若对任何n阶正交矩阵球对称H有Hx=x.则称x服从球对称分布。分布其它名称：球对称/球等高/正交不变/旋转不变分布，Sphericallysymmetricdistribution,sphericallycontoured distribution,orthogonallyinvariant distribution,rotationallyinvariant distributionR1中的球对称分布：0对称分布（1阶正交矩阵只有1和-1）例1（一元球对称分布一关于0分布对称）：若x关于0对称分布，即x=一x，因为1阶正交矩阵只有1和-1，所以x球对称。此外，容易验证，若P(x=O)=0，则符号u=x/ x|与长度|x|独立,且u~U[土1]。10
10 定义(球对称分布). 𝐱是𝑛 × 1随机向量，若对任何𝑛阶正交矩阵 𝐻有𝐻𝐱 = 𝐱, 则称𝐱服从球对称分布。 球对称分布 𝑑 𝑑 其它名称：球对称/球等高/正交不变/旋转不变分布，Spherically symmetric distribution, spherically contoured distribution, orthogonally invariant distribution, rotationally invariant distribution = 等分布 𝑑 球对称 分布 𝑅 1中的球对称分布：0对称分布 (1阶正交矩阵只有1和−1 ) 例1（一元球对称分布⇔关于0分布对称）. 若 𝑥关于0对称分布，即𝑥 = −𝑥，因为1阶正交矩阵只有1和−1， 所以𝑥球对称。此外，容易验证，若𝑃(𝑥 = 0) = 0，则符号𝑢 = 𝑥/|𝑥|与长度|𝑥|独立, 且𝑢~𝑈 ±1 。 𝑑