第11 章时间序列模型11.1时间序列定义11.2时间序列模型的分类11.3Wold分解定理11.4自相关函数（不讲理论，只分析特征）11.5偏自相关函数（不讲理论，只分析特征）11.6时间序列模型的建立与预测案例分析（中国人口、粮食产量ARIMA模型）11.711.8回归与ARMA组合模型file:li-11-1file:7arma07file:li-11-2
file:li-11-1 file: 7arma07 file:li-11-2 第 11 章 时间序列模型 11.1 时间序列定义 11.2 时间序列模型的分类 11.3 Wold 分解定理 11.4 自相关函数（不讲理论，只分析特征） 11.5 偏自相关函数（不讲理论，只分析特征） 11.6 时间序列模型的建立与预测 11.7 案例分析（中国人口、粮食产量 ARIMA 模型） 11.8 回归与 ARMA 组合模型
第11 章时间序列模型模型是与回归模型完全不同的一类ARMAARIMA模型的特点模型，由GBox和GM.Jenkins于1970年系统提出。（1)这种建模方法的特点是不考虑其他解释变量的作用，不以经济理论为依据，而是依靠变量本身的变化规律，利用外推机制播描述时间序列的变化。（2）注重平稳性。当时间序列非平稳时，首先要通过差分使序列平稳后再建立时间序列模型。（3）估计ARMA模型参数的方法是极大似G Box然法。（3）对于给定的时间序列，模型形式的选择（第4版261页）通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验越丰富，模型形式的选择就越准确合理
（第4版261页） ARIMA模型的特点 G Box 第 11 章 时间序列模型 ARMA 模型是与回归模型完全不同的一类 模型，由 G Box 和 G M. Jenkins 于 1970 年 系统提出。 （1）这种建模方法的特点是不考虑其他解释 变量的作用，不以经济理论为依据，而是依 靠变量本身的变化规律，利用外推机制描述 时间序列的变化。 （2）注重平稳性。当时间序列非平稳时，首 先要通过差分使序列平稳后再建立时间序列 模型。 （3）估计 ARMA 模型参数的方法是极大似 然法。 （3）对于给定的时间序列，模型形式的选择 通常并不是惟一的。在实际建模过程中经验 越丰富，模型形式的选择就越准确合理
为什么学习ARIMA模型？（1）研究时间序列本身的变化规律（建立ARIMA模型，有无确定性趋势，有无单位根，有无季节性成分，预测）。（2）在回归模型的预测中首先用ARIMA模型预测解释变量的值。（3）时间序列模型应用越来越广泛。（非经典计量经济学是回归与时间序列知识的结合）时间序列模型的普及是近年的事，随着专用软件的推广而普及
为什么学习 ARIMA 模型？ （1）研究时间序列本身的变化规律（建立 ARIMA 模型，有无确定性 趋势，有无单位根，有无季节性成分，预测）。 （2）在回归模型的预测中首先用 ARIMA 模型预测解释变量的值。 （3）时间序列模型应用越来越广泛。（非经典计量经济学是回归与时 间序列知识的结合） ● 时间序列模型的普及是近年的事，随着专用软件的推广而普及
（第4版261页）11.1时间序列定义随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程。用x，teT！表示。简记为x或Xt。随机过程也常简称为过程。时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间序列。也用x，teT！表示，并简记为或x。时间序列中的元素称为观测值。随机过程和时间序列一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。本书只考虑离散型随机过程和时间序列。离散型时间序列可通过两种方法获得。一种是抽样于连续变化的序列。比如工业流程控制过程中，对压力、液面、温度等监控指标定时刻采集的观测值序列。另一种是计算一定时间间隔内的累积值。比如中国的年基本建设投资额序列、农作物年产量序列等。平稳序列指二阶弱平稳序列（1阶、2阶矩为不变的有限值）。为什么了解随机过程？
（第4版261页） 为什么了解随机过程？ 11.1 时间序列定义 随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程。用 {x, tT } 表 示。简记为 {xt } 或 xt。随机过程也常简称为过程。 时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间序列。也用 {xt , tT } 表示，并简记 为 {xt }或 xt。时间序列中的元素称为观测值。 随机过程和时间序列一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。本书只考 虑离散型随机过程和时间序列。 离散型时间序列可通过两种方法获得。一种是抽样于连续变化的序列。比如工业流 程控制过程中，对压力、液面、温度等监控指标定时刻采集的观测值序列。另 一种是计算一定时间间隔内的累积值。比如中国的年基本建设投资额序列、农 作物年产量序列等。 平稳序列指二阶弱平稳序列（1 阶、2 阶矩为不变的有限值）
中国人时间上的前后观11.1时间序列定义滞后算子：用 L表示。定义Lx,=xr-1。则k阶滞后算子定义为 Lx,=xt-k。白噪声过程：对于一个随机过程(xr,teT}，如果 E(x)=0，Var(x)=<o0,Vte T；Cov(xr,Xi+k)=0，(t+k)eT,k0，则称(x)为白噪声过程。.123D(UR)X.082.040.00-.04-2-.083.125015010020025030031503200325033003350白噪声序列人民币对欧元汇率差分序列（第4版262页）
（第4版262页） 11.1 时间序列定义 中国人时间上的前后观 滞后算子：用 L 表示。定义 Lxt = xt -1。则 k 阶滞后算子定义为 L k xt = xt - k。 白噪声过程：对于一个随机过程{ xt , tT }， 如果 E(xt ) = 0，Var(xt ) = 2 , t T； Cov(xt , xt + k ) = 0，(t+k ) T, k 0，则称{xt }为白噪声过程。 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 0 100 150 200 250 300 X -.12 -.08 -.04 .00 .04 .08 .12 3150 3200 3250 3300 3350 D(UR) 白噪声序列 人民币对欧元汇率差分序列
11.2时间序列模型的分类一般分为四种类型。它们是自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自回归移动平均过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。1.自回归过程如果一个线性随机过程可表达为X,=iX-1+Φ2xt-2+...+ΦpXtp+u其中d,i=1，P是自回归参数，u是白噪声过程，则这个线性过程x,称为p阶自回归过程，用AR(p）表示。它是由xi的p个滞后变量的加权和以及u,相加而成。用滞后算子表示(1- ΦL - Φ2L - ... - Φ,LP) x,= (L) x, = u其中L)=1-ΦL-Φ2L-….-Φ,LP称为自回归算子，或自回归特征多项式。（第4版262页）
（第4版262页） 11.2 时间序列模型的分类 一般分为四种类型。它们是自回归过程（AR）、移动平均过程（MA）、自回归移动 平均过程（ARMA）和单积（整）自回归移动平均过程（ARIMA）。 1. 自回归过程 如果一个线性随机过程可表达为 xt = 1 xt-1 + 2 xt -2 + . + p xt-p + ut 其中i , i = 1, ., p 是自回归参数，ut是白噪声过程，则这个线性过程 xt 称为 p 阶 自回归过程，用 AR(p) 表示。它是由 xt 的 p 个滞后变量的加权和以及 ut相加而成。 用滞后算子表示 (1- 1L - 2 L 2 - . - p L p ) xt = (L) xt = ut 其中 (L) = 1- 1L- 2 L 2 - . - p L p 称为自回归算子，或自回归特征多项式
11.2时间序列模型的分类AR(p)过程中最常用的是1 阶自回归过程：x,= dix-i +ut和2阶自回归过程：x,=Φix-1+2xr-2+ut200D(M)1002w-100-2003005015020025010030019992000200120022003200420052006AR(1)序列中国旅游人数差分序列（第4版262页）
（第4版262页） 11.2 时间序列模型的分类 AR(p) 过程中最常用的是 1 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + ut 和 2 阶自回归过程：xt = 1 xt-1 + 2 xt-2 + ut -6 -4 -2 0 2 4 5 0 100 150 200 250 300 -300 -200 -100 0 100 200 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 D(Y) AR(1)序列 中国旅游人数差分序列
11.2时间序列模型的分类与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题对于一阶自回归过程x,= dixt-1+ut，保持其平稳的条件是特征方程d(L)=(1-ΦiL=0的根的绝对值必须大于1，即满足1/>1或|d|<1。为什么？在|dl<1条件下，一阶自回归过程可写为(1-L)x,=utx, = (1- L) u,= [1 + L + (L) + (L)' +... I u,=(ELi) ui=0既然x,是平稳过程，L必须收敛，即一阶自回归系数虹必须满足「l<1。这是容易理解的，如果1i|≥1，则(1-dL)"发散，于是x,变成一个非平稳随机过程。（第4版264页）
11.2 时间序列模型的分类 与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。 对于一阶自回归过程 xt = 1 xt-1 + ut ，保持其平稳的条件是特征方程(L) = (1-1 L) = 0 的根的绝对值必须大于 1，即满足| 1/1 | 1 或| 1 | < 1。 为什么？在| 1 | < 1 条件下，一阶自回归过程可写为 (1- 1 L) xt = ut xt = (1- 1 L) -1 ut = [1 + 1 L + (1 L) 2 + (1 L) 3 + . ] ut = ( =0 1 i i i L ) ut 既然 xt是平稳过程， =0 1 i i i L 必须收敛，即一阶自回归系数1 必须满足 | 1 | < 1。 这是容易理解的，如果 | 1 | 1，则(1- 1 L) -1 发散，于是 xt 变成一个非平稳随机过 程。 （第4版264页）
11.2时间序列模型的分类由 AR(1) 过程x,=xt-1+ut[ [<1 有X,= u,+ pi uti + pr' Xt2 = ut + pi uti + gr' ut2 + ..因为ut是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程E(x) = 0Var(x) = E(x)* = E(u, + di uti + g’ ut2 + ...)12= o’+d'o+p'o +...u21-Φ（第4版264页）
11.2 时间序列模型的分类 由 AR(1) 过程 xt = 1 xt-1 + ut, | 1 | < 1 有 xt = ut + 1 ut-1 + 1 2 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 1 2 ut-2 + . 因为 ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的 AR(1) 过程， E(xt ) = 0 Var(xt ) = E(xt ) 2 = E(ut + 1 ut-1 + 1 2 ut-2 + .)2 = u 2 +1 2 u 2 +1 4 u 2 + . = 2 1 1 1 − u 2 （第4版264页）
11.2时间序列模型的分类不同自回归系数的AR(1)序列x,=dixt-1+ut：8phi=0.8phi=16.4210-15.2-20252505010015020025030050100150200300phi=o.4phi=o332O231502002505010015020025030050100300
11.2 时间序列模型的分类 不同自回归系数的 AR(1) 序列 xt = 1 xt-1 + ut,： -25 -20 -15 -10 -5 0 5 50 100 150 200 250 300 phi=1 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 50 100 150 200 250 300 phi=0.8 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 100 150 200 250 300 phi=0.4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50 100 150 200 250 300 phi=0