第6章自相关非自相关假定自相关的来源与后果自相关检验自相关的解决方法克服自相关的矩阵描述（不讲）自相关系数的估计案例分析（2例）file:li-6-1,li-6-2
第6章 自相关 非自相关假定 自相关的来源与后果 自相关检验 自相关的解决方法 克服自相关的矩阵描述（不讲） 自相关系数的估计 案例分析（2例） file：li-6-1, li-6-2
6.1非自相关假定： Cov(ui, ui)=E(uiu)=0，(i,jε T， ij)如果 Cov(ui,u;)0,(i,j T,i+j)则称误差项ut存在自相关。自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。自相关按形式可分为两类。（1）一阶自回归形式。ut=f(ut-i)（2）高阶自回归形式。ut=f(ut-1,ut-2，.….）经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。ut = αi ut-i + VtE(v) = 0, t= 1,2..., TVar(v) =o,, t=1, 2 .., T。 Cov(vi, y)=0, i+j, i,j=1, 2 .., TCov(ut-1, v) = 0, t = 1, 2 ..., T（第4版第135页）
（第4版第135页） 6.1 非自相关假定：Cov(ui , uj ) = E(ui uj ) = 0, (i, j T, i j) 如果 Cov (ui , uj ) 0, (i, j T, i j)则称误差项 ut存在自相关。 自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。 自相关按形式可分为两类。 （1）一阶自回归形式。ut = f (ut-1 ) （2）高阶自回归形式。ut = f(ut- 1, ut -2 , . ) 经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。 ut = 1 ut -1 + vt E(vt ) = 0, t = 1, 2 ., T Var(vt ) = v 2 , t = 1, 2 ., T。Cov(vi , vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 ., T Cov(ut-1, vt ) = 0, t = 1, 2 ., T
u,u,-依据OLS公式，模型u=αiut-1+中αi的估计公式是a,2u,-1t=27u,u,-1t=2若把utu-看作两个变量，则它们的相关系数是p：72>>uut--2{=2TZu,u,-1u？～u？。代入上式得1=21对于充分大的样本显然有u.t=2t=22=2对于总体参数有p=αi。u的一阶自回归形式可表示为，u,=put-i +vt（第4版第136页）
（第4版第136页） 依据 OLS 公式，模型 ut = 1 ut -1 + vt中1 的估计公式是 1 a ˆ = = − = − T t t T t t t u u u 2 2 1 2 1 。 若把 ut , u t-1看作两个变量，则它们的相关系数是 ˆ = = − = = − T t t T t t T t t t u u u u 2 2 1 2 2 2 1 。 对于充分大的样本显然有 = T t ut 2 2 = − T t ut 2 2 1 。代入上式得 1 2 2 1 2 1 ˆ = ˆ = − = − T t t T t t t u u u 。 对于总体参数有 = 1。ut的一阶自回归形式可表示为，ut = ut-1 + vt
下面以一元线性回归模型，Y,=β+βX,+ut,(t=1,2,...T)，其中ut=put-1+vr（存在一阶自相关）为例，推导ut的期望、方差与协方差公式。E(u) = E(puti + v) = pE(uti) + E(v)(1- p) E(u) = E(v) = 0E(u) =E(v) = 0Var(u) = E(u)*= E(puti+ v)? = E(p"ut! + v?+ 2 puti v)= p E(ut-) + E(v) + 2 pE(uti V),(E(ut1 v) = 0)(1- p) Var(u) = E(v) = o?2av（u,的自相关越严重，p越大，Var（u）越大）Var(u) =1-p2Cov(ut, ut-il) = E(utut-i) = E[ (put-i+ v) ut-i])(E(ut-i v) = 0)=E(put)? + ut-i V) =pE(uti") + E(uti v)(Var(u)越大，Cov(ur,u-i))= p Var(u-1) = p Var(u)Cov(ut, ut-2) = E(u,ut-2) = E[ (put-i+ v) ut2 ] = E(put-iut2 + ut-2v)= pE(ut-1ut-2)+ E(ut2v) = pCov(ut, ut-1) = p Var(u)。 (E(ut-2v) = 0)同理，Cov(ut, ut-s)=p'Var(u)
下面以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1Xt + ut , (t = 1, 2, . T)，其中 ut = ut -1 + vt， （存在一阶自相关）为例，推导 ut 的期望、方差与协方差公式。 E(ut ) = E( ut-1 + vt ) = E(ut-1 ) + E(vt ) (1- ) E(ut ) = E(vt ) = 0 E(ut ) = E(vt ) = 0 Var(ut ) = E(ut ) 2 = E( ut-1+ vt ) 2 = E( 2 ut-1 2 + vt 2 + 2 ut-1 vt ) = 2 E(ut-1 2 ) + E(vt 2 ) + 2 E(ut-1 vt )， （E(ut-1 vt ) = 0） (1- 2 ) Var(ut ) = E(vt 2 ) = v 2 Var(ut ) = 2 2 1- v ， （ut 的自相关越严重， 2 越大，Var(ut ) 越大） Cov(ut , ut-1 ) = E(ut ut-1 ) = E[ ( ut-1+ vt ) ut-1 ] = E( ut-1 2 + ut-1 vt ) = E(ut-1 2 ) + E(ut-1 vt ) （E (ut-1 vt ) = 0） = Var(ut-1 ) = Var(ut ) （Var(ut ) 越大，Cov(ut , ut-1 )） Cov(ut , ut-2 ) = E(ut ut-2 ) = E[ ( ut-1+ vt ) ut-2 ] = E( ut-1ut-2 + ut-2 vt ) = E(ut-1ut-2 ) + E(ut-2 vt ) = Cov(ut , ut-1 ) = 2 Var(ut )。（E (ut-2 vt ) = 0） 同理，Cov(ut , ut - s ) = s Var(ut )
序列的自相关特征分析。X(-1)30405060202o4-2a.正自相关序列b.正自相关序列散点图2Wo102030406060708090oc.负自相关序列d负自相关序列散点图（第4版137页）20206060701002oe.非自相关序列f非自相关序列散点图
（第4版137页） 序列的自相关特征分析。 -4 -2 0 2 4 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 X a. 正自相关序列 b. 正自相关序列散点图 -6 -4 -2 0 2 4 6 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 X c. 负自相关序列 d. 负自相关序列散点图 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 U e. 非自相关序列 f 非自相关序列散点图 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 X(-1) X -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 X(-1) X -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 U(-1) U
6.2自相关的来源与后果自相关的来源：（第4版139页）1.模型的数学形式不妥。28.YRESID0-YF1243.--YF2202.161.12081-2X0-3.0.20.40.60.81.00.01.2788082848688909294969800022.惯性。大多数经济时间序列都存在自相关3.回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量
6.2自相关的来源与后果 自相关的来源： 1．模型的数学形式不妥。 2. 惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。 3. 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。 （第4版139页） 0 4 8 12 16 20 24 28 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Y YF1 YF2 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 RESID 0
B1F3B1F1B1F26.2自相关的来源与后果3模型存在自相关的后果：2仍具有无偏性。1.回归系数的最小二乘估计量1.52.02.53.0-05000.51.03E(β)=E[(X'X)"X'Y]= E[(X'X)"X'(Xβ+u)J= β+(X'X)"X'E(u) =β以一元线性回归模型，Y,=βo+βX,+ut,(t=1,2,…T)，其中ut=put-1+vt（存在一阶自相关）为例，推导β,的期望。Z(X, -X)(Y, -Y)Z(X, -X)[βi(X, -X)+ut)E(β)= EE(X,-x)2Z(X, -X)2Z(X, -X)ut(X, -X)E(ut)= βi + E= β1= β1E(X,-X)2E(X, -X)?（第4版140页）同理可证，E(β。）=βo。对于多元回归模型也有E(β。）=βo
6.2 自相关的来源与后果 0 1 2 3 4 5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 B1F1 B1F2 B1F3 （第4版140页） 模型存在自相关的后果： 1. 回归系数的最小二乘估计量 j ˆ 仍具有无偏性。 E( ˆ ) = E[ (X 'X ) -1 X 'Y ] = E[ (X 'X ) -1 X ' (X + u) ] = + (X 'X) -1 X 'E(u) = 以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1Xt + ut , (t = 1, 2, . T)，其中 ut = ut -1 + vt， （存在一阶自相关）为例，推导 1 ˆ 的期望。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ] ( ) ( )( ) ) ˆ ( = − − = + − − = + − − − + = − − − = X X X X E u X X X X u E X X X X X X u E X X X X Y Y E E t t t t t t t t t t t t t 同理可证，E( 0 ˆ ) = 0。对于多元回归模型也有 E( 0 ˆ ) = 0
2.Var(β）不再具有最小方差。以一元线性回归模型，Y,=β+β,X,+ut,(t=1,2,.T)，其中u,=put-1+V，（存在一阶自相关）为例，推导β的方差。(Z[x, -X)E(u,)]Var(βi)= E(β - β)2 = EZ(X,-X)1E[(Xi -X)u +(X2 -X)u2 +..+(XT - X)uT ][E(X,-x)2 ]E((Xi -X)u? +(X2 -X)?u? +..+(Xr- X)2urE(x,-x)?+2[(X - X)ui(X2 -X)u2 +(X) - X)u(X3 -X)us +. +(XT-1 - X)(XT - X)uT-iurl)2(x-1)(X, -X)(X, -X)t=l>E(u,us)TY1<s[2x,-X)2[2(x, -X)2?L (=l(=1
2. Var( j ˆ ) 不再具有最小方差。 以一元线性回归模型，Yt = 0 + 1Xt + ut , (t = 1, 2, . T)，其中 ut = ut -1 + vt，（存在一阶自相关） 为例，推导 1 ˆ 的方差。 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ) ˆ ) ( ˆ ( − − = − = X X X X E u Var E E t t t 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 T T t E X X u X X u X X u X X − + − + + − − = 2[ ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )( ) ]} ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 T T T T T T t X X u X X u X X u X X u X X X X u u E X X u X X u X X u X X + − − + − − + + − − − − − + − + + − − = = = = = − − − + − − t s t s T t t t s t T t t T t t E u u X X X X X X E u X X X X ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2
2a-x(X,-XXX,-X)(=1Var(B,E(u,us)BuTIt，Var(β）当u，具有一阶自回归形式时Z(X,-X)2(=l(X,-XXX,-X)Var(u,)+22Var(β)sVar(u,)S>[2αx-x2]I<s-X)2Z(x, -)f=对于经济序列，上式右侧第二项常常是正的（为什么？），所以β不再具有最小方差。对于多元回归模型，B同样不再具有最小方差
Var( j ˆ ) = = = = − − − + − − t s t s T t t t s t T t t T t t E u u X X X X X X E u X X X X ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 = = = − − − + − t s t s T t t t s T t t t Cov u u X X X X X X X X Var u ( , ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 当 ut不存在自相关时，Cov(ut , us ) = 0，s > t，Var( 1 ˆ ) = = − T t t t X X Var u 1 2 ( ) ( ) 。当 ut 具有一阶自回归形式时， Var( 1 ˆ ) = = = − − − + − t s t s T t t t s T t t t Var u X X X X X X X X Var u ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 , s > t 对于经济序列，上式右侧第二项常常是正的（为什么？），所以 1 ˆ 不再具有最小方差。 对于多元回归模型， 1 ˆ 同样不再具有最小方差
(X, -X)(X.-x)Var(ut+2ZVar(β )0=psVar(ut)s>tTt<sZ(X,-X)?Z(X, -X)2(=1t=29Var(ut)1-03.ut存在自相关时，低估误差项ut的方差，低估β的方差（估计小了）。4.由于u,存在自相关时，Var(β）和s都不具有最小方差性。用依据OLS法得到的回归方程去预测，预测无有效性
Var( 1 ˆ ) = = = − − − + − t s t s T t t t s T t t t Var u X X X X X X X X Var u ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 , s > t Var(ut ) = 2 2 1- v 3. ut存在自相关时，低估误差项 ut的方差，低估 1 ˆ 的方差（估计小了）。 4. 由于 ut 存在自相关时，Var( 1 ˆ ) 和 su 2 都不具有最小方差性。用依据 OLS 法得到的回归方程去预测，预测无有效性