第13章非平稳经济变量与协整（简单介绍）由于用非平稳经济变量建立回归模型会带来虚假回归问题所以近年来对经济变量非平稳性研究越来越引起人们的注意（1）非平稳变量的统计特征以及虚假回归（2）单位根检验金（只从应用角度讲）：（3）协整与误差修正模型概念
第 13 章 非平稳经济变量与协整（简单介绍） 由于用非平稳经济变量建立回归模型会带来虚假回归问题， 所以近年来对经济变量非平稳性研究越来越引起人们的注意。 （1）非平稳变量的统计特征以及虚假回归； （2）单位根检验（只从应用角度讲）； （3）协整与误差修正模型概念
（第4版349页）第13章非平稳经济变量与协整13.1非平稳时间序列与虚假回归单整定义：若一个非平稳时间序列x必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的、可逆的ARMA时间序列，则称x，具有d阶单整（单积）性。用x,～I(d）表示。对于I(d)序列x，可以表示为@(L) (1- L) “ x, = @(L) ut因为x含有d个单位根，所以常把时间序列非平稳性的检验称为单位根检验。一般来说，若xt~ I (d),yt~ I (d)， 则 zt=(axt + byt) ~ I (d)。当zt的单整阶数小于d时，则称x,与y存在协整（协积）关系
第 13 章 非平稳经济变量与协整 13.1 非平稳时间序列与虚假回归 单整定义：若一个非平稳时间序列 xt 必须经过 d 次差分之后才能 变换成一个平稳的、可逆的 ARMA 时间序列，则称 xt 具有 d 阶 单整（单积）性。用 xt I(d) 表示。 对于 I(d) 序列 xt，可以表示为 (L) (1- L) d xt = (L) ut 因为 xt 含有 d 个单位根，所以常把时间序列非平稳性的检验称为 单位根检验。 一般来说，若 xt I (d )，yt I (d )，则 zt = (a xt + b yt ) I (d )。 当 zt的单整阶数小于 d 时，则称 xt与 yt存在协整（协积）关系。 （第4版349页）
（第4版350页）第13章非平稳经济变量与协整13.1非平稳时间序列与虚假回归以随机游走序列为例讨论非平稳序列的统计特征。X, =Xt-1 + ut, Xo = 0, ut ~ IN (O, o)ui。因为x,是全部ut之和，所以做递推运算，X,=Xt2+ut-1+ut=...i-1E(x) =0, Var (x) = Var (u, )=Var(u,)= to,?i=li=l随着t的增加，x,的方差变为无穷大
第 13 章 非平稳经济变量与协整 13.1 非平稳时间序列与虚假回归 以随机游走序列为例讨论非平稳序列的统计特征。 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u 2 ) 做递推运算，xt = xt-2 + ut-1 + ut = . == t i ui 1 。因为 xt是全部 ut之和，所以 E(xt ) =0，Var (xt ) = Var (= t i ui 1 ) == t i Var ui 1 ( ) = tu 2 随着 t 的增加，xt的方差变为无穷大。 （第4版350页）
TZ413.1非平稳时间序列与虚假回归(98.3设数据生成系统如下，2X, =Xt-1 + ut, Xo = 0, ut~ IN (0, 1).1Yt= yt-1 + Vt, Xo = 0, Vt~ IN (0, 1)（B）分布.0E(uiy)=0（互不相关），Vi,j20-20-10010 反复生成样本容量T=100的时间序列x,和y,1万次，并对每一次生成的序列相应作如下一元线性回归，yt=β+βix+wt。计算(β）的值，进而得到1万个(β）值的分布直方图如图。图中同时给出自由度为98的t分布曲线。β）分布的方差远远大于正常t分布的方差。若仍用通常的t检验临界值进行假设检验，拒绝β=0的概率就会大大增加。此外，随着样本容量T一→00，(β）的分布是发散的，拒绝β=0的概率会变得越来越大。设定的条件是x，和Vt互不相关，那么应有β=0，但由于变量的非平稳性使假设检验的结果常常是β≠0，这就是虚假回归问题
13.1 非平稳时间序列与虚假回归 设数据生成系统如下， xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, 1) yt = yt-1 + vt , x0 = 0, vt IN (0, 1) E(ui vj ) = 0（互不相关）, i, j 反复生成样本容量 T = 100 的时间序列 xt和 yt 1 万次，并对每一次生成的序 列相应作如下一元线性回归， yt = 0 + 1 xt + wt 。计算 t( 1 ˆ ) 的值，进而 得到 1 万个 t( 1 ˆ ) 值的分布直方图如图。图中同时给出自由度为 98 的 t 分 布曲线。t( 1 ˆ ) 分布的方差远远大于正常 t 分布的方差。若仍用通常的 t 检 验临界值进行假设检验，拒绝 1 = 0 的概率就会大大增加。 此外，随着样本容量 T→∞，t( 1 ˆ ) 的分布是发散的，拒绝 1 = 0 的概率会 变得越来越大。 设定的条件是 xt和 yt互不相关，那么应有1 = 0，但由于变量的非平稳性使 假设检验的结果常常是 1 0，这就是虚假回归问题。 .0 .1 .2 .3 .4 .5 -20 -10 0 10 20 T1 Z t( 1 ˆ ) 分布 t(98)
第13章非平稳经济变量与协整（第4版353页）13.2单位根检验3个典型的单位根过程8010120y=y(-1)+u70with stochastic trend10060805060400.4030202010-10-1020406080100120180.200200400600800100255075100125随机游走过程随机趋势过程趋势非平稳过程Yt= yt1+ut, u~IID(0, 1) y=0.1+yt-1+ut, u~IID(0, 1)y=0.1+0.1t+yt-1+ut, u~IID(0, 1)(无趋势）（时间的线性趋势）（时间的2次趋势）当序列非平稳时，自回归系数估计量的t统计量不再服从t分布
-10 -5 0 5 1 0 2 0 4 0 6 0 8 0 100 120 140 160 180 200 y=y(-1)+u -20 0 20 40 60 80 100 120 200 400 600 800 1000 with stochastic trend -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 25 50 75 100 125 随机游走过程 随机趋势过程 趋势非平稳过程 yt = yt-1+ut , utIID(0, 1) yt=0.1+yt-1+ut , utIID(0, 1) yt=0.1+0.1t+yt-1+ut , utIID(0, 1) 当序列非平稳时，自回归系数估计量的 t 统计量不再服从 t 分布。 第 13 章 非平稳经济变量与协整 13.2 单位根检验 3 个典型的单位根过程 （无趋势） （时间的线性趋势） （时间的 2 次趋势） （第4版353页）
.613.2单位根检验DF3DF1DF271.DF统计量的分布特征.5.真实过程 (DGP): yt=yt1 + vt, Jo = 0, vf~ IID(0, ).4.模型(a)：估计式：yt=Byt-1+.3.模型(b)：估计式：yt=α+βyt-1+i).2真实过程：yt=α+yt1v,α任意取值,ye=0,VID(0,.1模型(c)：估计式：y,=α+Byt-i+n+.0--6.5nDF分布百分位数表模型Ta0.010.0250.050.990.100.900.950.97525-1.950.921.331.702.16- 2.66- 2.26-1.6050- 2.62 2.25-1.95-1.610.911.311.662.08100-1.951.291.642.03- 2.60 2.24-1.610.90模型(a)250-1.951.292.01-2.58- 2.23 1.620.891.63500 2.23- 1.95- 2.58- 1.620.891.281.622.00-2.58-1.950.891.282.00 2.23 1.621.6200 2.630.000.340.7225- 3.75 3.33-3.00 0.3750- 3.58 3.22-2.93 2.60 0.40- 0.030.290.66100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58 0.42-0.050.260.63模型(b)- 2.57250- 3.46 3.14-2.88 0.42-0.060.240.62-2.87- 2.57500- 3.44- 3.13 0.43 0.070.240.61 3.433.12-2.86 2.57- 0.44- 0.070.230.60825-4.38- 3.95-3.60- 3.24- 1.14- 0.80 0.50- 0.1550- 4.15- 3.80- 3.50- 3.18 1.19- 0.87- 0.58- 0.24- 3.45100- 4.04 3.73- 3.15 1.22-0.90 0.62-0.28模型(c)250- 3.99 3.69-3.43- 3.13-1.23- 0.92- 0.64 0.31500- 3.98 3.68-3.42 3.13 1.24-0.93 0.65- 0.32-3.41- 3.96 3.66- 3.121.25- 0.94- 0.66- 0.3300 2.331.281.651.962.33N(0,1)-1.96-1.65-1.28t(co)
.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 DF1 DF2 DF3 Z 13.2 单位根检验 1．DF 统计量的分布特征 真实过程（DGP）：yt = yt-1 + vt , y0 = 0, vt IID(0, 2 ) 模型(a)：估计式： t t t y y v ˆ ˆ = −1 + 模型(b)：估计式： t t t y y v ˆ ˆ ˆ = + −1 + 真实过程：yt = + yt-1 + vt , 任意取值, y0 = 0,vt IID(0, 2 ) 模型(c)：估计式： t t t y y ˆ t v ˆ ˆ ˆ = + −1 + + DF 分布百分位数表 模型 T 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25 - 2.66 - 2.26 - 1.95 - 1.60 0.92 1.33 1.70 2.16 50 - 2.62 - 2.25 - 1.95 - 1.61 0.91 1.31 1.66 2.08 100 - 2.60 - 2.24 - 1.95 - 1.61 0.90 1.29 1.64 2.03 模型(a) 250 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.29 1.63 2.01 500 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 - 2.58 - 2.23 - 1.95 - 1.62 0.89 1.28 1.62 2.00 25 - 3.75 - 3.33 - 3.00 - 2.63 - 0.37 0.00 0.34 0.72 50 - 3.58 - 3.22 - 2.93 - 2.60 - 0.40 - 0.03 0.29 0.66 100 - 3.51 - 3.17 - 2.89 - 2.58 - 0.42 - 0.05 0.26 0.63 模型(b) 250 - 3.46 - 3.14 - 2.88 - 2.57 - 0.42 - 0.06 0.24 0.62 500 - 3.44 - 3.13 - 2.87 - 2.57 - 0.43 - 0.07 0.24 0.61 - 3.43 - 3.12 - 2.86 - 2.57 - 0.44 - 0.07 0.23 0.60 25 - 4.38 - 3.95 - 3.60 - 3.24 - 1.14 - 0.80 - 0.50 - 0.15 50 - 4.15 - 3.80 - 3.50 - 3.18 - 1.19 - 0.87 - 0.58 - 0.24 100 - 4.04 - 3.73 - 3.45 - 3.15 - 1.22 - 0.90 - 0.62 - 0.28 模型(c) 250 - 3.99 - 3.69 - 3.43 - 3.13 - 1.23 - 0.92 - 0.64 - 0.31 500 - 3.98 - 3.68 - 3.42 - 3.13 - 1.24 - 0.93 - 0.65 - 0.32 - 3.96 - 3.66 - 3.41 - 3.12 - 1.25 - 0.94 - 0.66 - 0.33 t () N(0,1) - 2.33 - 1.96 - 1.65 - 1.28 1.28 1.65 1.96 2.33
（第4版358页）13.2单位根检验对于时间序列V可以用如下自回归模型检验单位根。Yt=βyti + utHo：β=1，（yt有单位根）；Hi：β<1，（yt无单位根）在零假设成立条件下，用DF统计量进行单位根检验。β-1β-1，其中5(--aDF=ts(β)2yt-lS(u)t=2是残差认，的标准差。以表中a部分的相应百分位数作为临界值。若用样本计算的DF≥临界值，则yt有单位根；DF<临界值，则yt不含单位根
13.2 单位根检验 对于时间序列 yt可以用如下自回归模型检验单位根。 yt = yt-1 + ut H0： = 1，（yt有单位根）；H1： < 1，（yt无单位根） 在零假设成立条件下，用 DF 统计量进行单位根检验。 DF =t= ) ˆ ( 1 ˆ s − = = − − T t u t s y 2 2 ( ˆ) 1 1 ˆ ，其中 (u ˆ) s = = − T t ut T 2 2 ˆ 1 1 是残差ut ˆ 的标准差。以表中 a 部分的相应百分位数作为临界值。 若用样本计算的 DF 临界值，则 yt 有单位根； DF < 临界值，则 yt不含单位根。 （第4版358页）
（第4版358页）13.2 单位根检验注意：(1)因为用DF统计量作单位根检验，所以此检验称作DF检验（由Dickey和Fuller1979年提出）。（2）DF检验采用的是最小二乘（OLS）估计。（3）DF检验是左单端检验。因为B>1意味着强非平稳，B1
13.2 单位根检验 注意： （1） 因为用 DF 统计量作单位根检验，所以此检验称作 DF 检验 （由 Dickey 和 Fuller 1979 年提出）。 （2）DF 检验采用的是最小二乘（OLS）估计。 （3）DF 检验是左单端检验。因为 >1 意味着强非平稳， 1。 （第4版358页）
（第4版358页）13.2单位根检验上述DF检验还可用另一种形式表达。从式yr=βyt-1+ut两侧同减yt-1，得Dyt = (β- 1) yt-1 + ut令 p=β-1，代入上式Dyt= pyti + ut与上述零假设和备择假设相对应，Ho：p=0，（yt有单位根）Hi：p<0，（y不含单位根）这种变换并不影响DF统计量的分布，所以判别规则仍然是若DF≥临界值，则yt有单位根DF<临界值，则y不含单位根检验式Dyt=pyt-1+ut是DF检验的常用形式
13.2 单位根检验 上述 DF 检验还可用另一种形式表达。从式 yt = yt-1 + ut两侧同减 yt-1，得 Dyt = ( - 1) yt-1 + ut 令 = - 1，代入上式 Dyt = yt-1 + ut 与上述零假设和备择假设相对应， H0： = 0，（yt有单位根） H1： < 0，（yt 不含单位根） 这种变换并不影响 DF 统计量的分布，所以判别规则仍然是若 DF 临界值，则 yt有单位根 DF < 临界值，则 yt不含单位根 检验式 Dyt = yt-1 + ut是 DF 检验的常用形式。 （第4版358页）
13.2单位根检验（第4版359页）在进行单位根检验时应注意如下几点。(1)式Dy,=pVt-i+u,中Dy,和yt-i的下标分别为t和t-1,计算时不要用错。(2）在实际检验中，若Ho不能被拒绝，说明yt是非平稳序列（起码为一阶非平稳序列。接下来应该继续检验DvVt的平稳性，即作如下DF检验D'y,= p Dyt-1 + ut直至结论为平稳为止。从而获知V为多少阶单整序列。(3）若被检验序列明显存在线性趋势或2次趋势，在式Dv,=OVt.1+u,中有2必要加入u和αt。with stochasfic trend1008060Dyt=u+pyt-1+u30和2010Dyt=u+αt+pyt-i+u12这时DF所用临界值应分别从临界值表的b.c部分中查找
13.2 单位根检验 在进行单位根检验时应注意如下几点。 (1) 式 Dyt =yt-1 + ut中 Dyt 和 yt-1的下标分别为 t 和 t-1，计算时不要用错。 (2) 在实际检验中，若 H0 不能被拒绝，说明 yt 是非平稳序列（起码为一阶 非平稳序列）。接下来应该继续检验 Dyt 的平稳性，即作如下 DF 检验， D 2 yt = Dyt-1 + ut 直至结论为平稳为止。从而获知 yt 为多少阶单整序列。 (3) 若被检验序列明显存在线性趋势或 2 次趋势，在式 Dyt = yt-1 + ut中有 必要加入 和 t。 Dyt = + yt-1 +ut 和 Dyt = + t + yt-1 +ut 这时 DF 所用临界值应分别从临界值表的 b, c 部分中查找。 -20 0 20 40 60 80 100 120 200 400 600 800 1000 with stochastic trend -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 25 50 75 100 125 （第4版359页）