第4章非线性回归模型的线性化（1）多项式函数模型(2)双曲线函数模型(3)对数函数模型file:li-4-1(4)生长曲线（logistic）模型file:5nonli7（比教材中的模型复杂些）file:5nonli3(5)指数函数模型file:case2(6)file:li-4-2幂函数模型file:5nonli14
第4章 非线性回归模型的线性化 （1）多项式函数模型 （2）双曲线函数模型 （3）对数函数模型 （4）生长曲线 (logistic) 模型 （比教材中的模型复杂些） （5）指数函数模型 （6）幂函数模型 file:li-4-1 file:5nonli7 file:5nonli3 file:case2 file:li-4-2 file:5nonli14
第4章非线性回归模型的线性化有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。Yr= o + α1 x, Bi + utYt= Co eixi + ut下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型
有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非 线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利 用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为 可线性化的非线性模型。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。 可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，计 算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使 这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 第4章 非线性回归模型的线性化
(1)多项式函数模型(1)（第4版教材第90页）多项式方程yt=bo+bix,+bzx?+b3x3+u令x1=X，Xr2=x?，Xt3=x3，上式变为yt=bo+bixt1+bzXt2+b3xt3+u这是三元线性回归模型。经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似2400000240000020000002000000160000016000001200000120000080000080000040000040000025751255010015017520025251001251501756200(b,>0, b2>0, b3>0)(b,0, b3<0)
(1)多项式函数模型(1) （第4版教材第90页） 多项式方程 yt = b0 +b1 xt + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 令xt 1 = xt，xt 2 = xt 2，xt 3 = xt 3，上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 这是三元线性回归模型。经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。 ( b1>0, b2>0, b3>0) (b10, b3<0)
(1)多项式函数模型(1)例4.1：总成本与产品产量的关系：（课本91页，file:li-4-1)240000240000VE200000200000160000160000120000120000800008000040000400000XX0-4000040060002008001000120014001600020040060080010009120014001600yt=bo+bix,+bx?+b3x3+ut（第4版教材第91页）估计结果见下页
(1)多项式函数模型(1) 例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页, file:li-4-1) yt = b0 +b1 xt + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 估计结果见下页 （第4版教材第91页）
(1)多项式函数模型(1)例4.1：总成本与产品产量的关系课本92页，file:li-4-1）Dependent Variable:YMethod:Least SquaresDate:09/20/07Time:17:51Sample:115Included observations:15Prob.VariableCoefficientStd.Errort-Statisticc2434.6521368.9210.10291.778519X85.702787.17061611.951940.0000X12-0.0284050.01810.010242-2.773303XA34.05E-054.22E-069.5934200.0000R-squared0.99977886353.33Meandependentvar0.99971760016.44AdjustedR-squaredS.D. dependent varS.E. of regression1009.303Akaike info criterion16.895091120560917.08390Sum squared residSchwarz criterion16497.11Log likelihood-122.7131F-statisNc0.000000Durbin-Watson stat2.275841Prob(F-statistic)= 2434.7+ 85.7 x - 0.028 x2 + 0.00004 x3(9.6)(1.8)(12.0)(-2.8)（第4版教材第92页）R2 = 0.9998, N = 15
(1)多项式函数模型(1) 例4.1：总成本与产品产量的关系（课本92页, file:li-4-1） = 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt 2 + 0.00004 xt 3 (1.8) (12.0) (-2.8) (9.6) R2 = 0.9998, N = 15 （第4版教材第92页）
案例1：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003）800LOAN700GDPobsLOAN600199063.7000057.10000500199178.0000072.00000400199297.70000300112.70002001993151.8000132.30001001994209.6000187.0000GDP01995260.8000250.600010030040002005006007008001996306.8000306.40008001997352.3000370.3000LOAN7001998397.3000418.10006001999435.3000458.30005002000488.3000501.20004002001552.0000556.00003002002646.0000200648.00001002003898.0000760.0000GDP0.0100200300400500600700800
案例1：厦门市贷款总额与GDP的关系分析 （1990~2003）
案例1：厦门市贷款总额与GDP的关系分析（1990~2003）从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。Loan, = β +β,GDP, + β, GDP,2 + βGDP3 + ut= -24.5932 +1.6354GDP, - 0.0026GDP,2 + 0.0000027GDP,3(7.9)(-2.0)(11.3)(-6.3)R2=0.9986, DW-2.6800800LOANLOAN700700600600500500400400300300200200100100GDPGDP0001002003004005006007001002006008000300400500700800
从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。 Loant = 0 +1 GDPt + 2 GDPt 2 + 3 GDPt 3 + ut = -24.5932 +1.6354 GDPt - 0.0026GDPt 2 + 0.0000027 GDPt 3 (-2.0) (11.3) (-6.3) (7.9) R2=0.9986, DW=2.6 案例1：厦门市贷款总额与GDP的关系分析 （1990~2003）
(1)多项式方程模型(2)12000120001000010000800080006000600074000400020002000T0-751001251501752002550751001251501752002550(b,0, b,>0)另一种多项式方程的表达形式是（第4版教材第93页）Yt= bo + bix, + b,x? + u注意：拟合时不要丢了b1x项令x=X，Xt2=x,2，上式线性化为，yt= bo + biXn + b2x2 + ut如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似
（第4版教材第93页） (1)多项式方程模型(2) ( b1>0, b2>0) (b1<0, b2 <0 另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt 2 + ut 令xt 1 = xt，x t 2 = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。 注意：拟合时不要丢了b1 xt项
(1)多项式方程模型(2)例4.1：平均成本与产品产量的关系（课本93页，file:li-4-1）DependentVariable:YiXMethod:Least SquaresDate:10/02/07Time:10:01Sample:115Included observations:15140yixVariableStd.ErrorProb.Coefficientt-Statistic130C0.0000105.15522.47587642.47191120-x-0.0617510.007121-8.6720840.0000X"25.55E-054.33E-0612.823780.0000110R-squared0.972820Mean dependent var101.63151000.96829015.60920AdjustedR-squaredS.D. dependent varS.E.of regression2.7795925.059342Akaike info criterion9092.713585.200952Sum squared residSchwarz criterionX-34.94506F-statistic214.7481Log likelihood808000400120016001.8621980.000000Durbin-Watson statProb(F-statistic)= 105.1- 0.06 x, + 0.00006 x2（第4版教材第93页）(12.8)R2 = 0.97, N= 15(42.5) (-8.7)
(1)多项式方程模型(2) 例4.1：平均成本与产品产量的关系（课本93页, file:li-4-1 ） = 105.1- 0.06 xt + 0.00006 xt 2 (42.5) (-8.7) (12.8) R2 = 0.97, N = 15 （第4版教材第93页）
(2)双曲线函数模型（第4版教材第93页）.8y,=a+b/x,+u,30.620-.210-深1/y,=a+b/x,+u0025507510012515017520022525015255102030355040:451/y,= a + b/x, + u, 或 y,= 1/ (a + b/x, + u)令y*=1/y,x*=1/x，得y*=a+bx*+ut已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式，Y, = a + b/x, + ut令x*=1/x，得y,=a+bx*+ut上式已变换成线性回归模型
(2) 双曲线函数模型 （第4版教材第93页） 1/yt = a + b/xt + ut 或 yt = 1/ (a + b/xt + ut) 令yt * = 1/yt, xt * = 1/xt，得 yt * = a + b xt * + ut 已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式， yt = a + b/xt + ut 令xt * = 1/xt，得 yt = a + b xt * + ut 上式已变换成线性回归模型。 yt = a + b/xt + ut 1/yt = a + b/xt + ut