平稳时间序列分析03
平稳时间序列分析 03
本章内容01Wold分解定理AR模型0203MA模型04ARMA模型
01 Wold分解定理 02 AR模型 03 MA模型 本章内容 04 ARMA模型
Wold分解定理·Wold分解定理的产生背景·1938年，H.Wold在他的博士论文AStudyintheAnalysisofStationaryTimeSeries”中提出了著名的平稳序列分解定理。这个定理是平稳时间序列分析的理论基石。·Wold分解定理的内容·对于任意一个离散平稳时间序列（x，它都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其中一个为确定性的（deterministic），另一个为随机性的（stochastic），不妨记作X, =V, +S式中：（V为确定性平稳序列，（为随机性平稳序列
Wold分解定理 • Wold分解定理的产生背景 • 1938年, H.Wold在他的博士论文“A Study in the Analysis of Stationary Time Series” 中提出了著名的平稳序列分解定理。 这个定 理是平稳时间序列分析的理论基石。 • Wold分解定理的内容 • 对于任意一个离散平稳时间序列 , 它都可以分解为两个不相关的平稳序 列之和, 其中一个为确定性的 (deterministic), 另一个为随机性的 (stochastic),不妨记作 式中： 为确定性平稳序列， 为随机性平稳序列 t t t x V= + xt Vt t
Wold分解定理中确定性序列的性质·确定性序列V）的真实生成机制可以是任意方式。换言之（V)的真实波动可以是时间的任意函数（前提是保证序列的平稳性）。·Wold证明不管(V的生成机制是怎样的，它都可以等价表达为历史序列值的线性函数V,=Zd,xi-jj=1·所以，Wold分解定理中确定性序列(V)的性质是：序列的当期波动可以由其历史序列值解读的部分
Wold分解定理中确定性序列的性质 • 确定性序列 的真实生成机制可以是任意方式。换言之 的真实波动可 以是时间的任意函数（前提是保证序列的平稳性）。 • Wold证明不管 的生成机制是怎样的，它都可以等价表达为历史序列值的 线性函数 • 所以，Wold分解定理中确定性序列 的性质是：序列的当期波动可以由其 历史序列值解读的部分。 Vt Vt Vt 1 t j t j j V x − = = Vt
Wold分解定理中随机性序列的性质·Wold分解定理中，随机序列（E代表了不能由序列的历史信息解读的随机波动部分：Wold证明这部分信息可以等价表达为o5, =Z0,et-jj=0式中：c称为新息过程（innovationprocess），是每个时期加入的新的随机信息。它们相互独立，不可预测，通常假定6~N(0,）Vt≥0。且有%=1,<00j=0·所以，Wold分解定理中随机性序列的性质是：序列的当期波动不可以由其历史序列值解读的部分
Wold分解定理中随机性序列的性质 • Wold分解定理中，随机序列 代表了不能由序列的历史信息解读的随机波动部分 • Wold证明这部分信息可以等价表达为 式中： 称为新息过程（innovation process），是每个时期加入的新的随机信息。它们相 互独立，不可预测，通常假定 ， 。且有 • 所以，Wold分解定理中随机性序列 的性质是：序列的当期波动不可以由其历史 序列值解读的部分。 t t 0 t j t j j − = = 2 0 0 =1 j j = ， t 2 ~ (0, ) t N t 0
波动序列的方差·对任意平稳序列y而言，令y关于q期历史序列值做线性回归y, =ao +ayi-+ +ayi-2 +.+agyi-g +y式中(v)为回归残差序列，不妨记该序列的方差为Var(v)=t。，t?随着的增大单调非增，且0≤t≤Var(y)。：t的大小可以衡量历史信息对现时值的预测精度。t。越小，说明基于q期历史信息对未来的预测精度越高t，越大，则说明序列随机性很大，q期历史信息对未来的预测精度很差。：如果limt?=0，说明序列的历史信息几乎可以完全预测未来的波动，这时称为确定性序列。：如果limt=Var(y）说明序列的历史信息对预测未来波动完全没有作用，这时称为纯随机序列。：绝大多数序列是介于确定性序列和纯随机序列中间，即0<limt<Var(y），这时称为随机序列
波动序列的方差 • 对任意平稳序列 而言，令 关于q期历史序列值做线性回归 式中 为回归残差序列，不妨记该序列的方差为 。 • 随着的增大单调非增，且 。 • 的大小可以衡量历史信息对现时值的预测精度。 越小，说明基于q期历史信息 对未来的预测精度越高； 越大，则说明序列随机性很大，q期历史信息对未来的预 测精度很差。 • 如果 ，说明序列的历史信息几乎可以完全预测未来的波动，这时称为确定性序列。 • 如果 说明序列的历史信息对预测未来波动完全没有作用，这时称为纯随机序列。 • 绝大多数序列是介于确定性序列和纯随机序列中间，即 ，这时称为随机序 列。 { }t y t y t t t q t q t 0 1 1 2 2 y a a y a y a y v = + + + + + − − − { }t v 2 ( ) Var vt q = 2 0 ( ) q t Var y 2 q 2 q 2 q 2 q 2 lim 0 q q → = 2 lim ( ) q t q Var y → = 2 0 lim ( ) q t q Var y →
本章内容01Wold分解定理AR模型0203MA模型04ARMA模型
01 Wold分解定理 02 AR模型 03 MA模型 本章内容 04 ARMA模型
AR模型的定义·具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为AR(p）x, =po +dixi-1 +p2xi-2 +..+Φ,Xt-p +8,Φ,±0E(c,)=0, Var(c)=α?,E(s,,)=0,s tEx,8, =0, Vs<t·特别当d。=O时，称为中心化AR(p）模型do“1-, -….-, , 称 (y,)是 (x,) 的中心化序列今y, =x, -
AR模型的定义 • 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为 • 特别当 时，称为中心化 模型 • 令 ，称 是 的中心化序列 AR( p) = = = = = + − + − + + − + Ex s t E Var E s t x x x x s t t t t s p t t t p t p t 0, ( ) 0 ( ) , ( ) 0, 0 2 0 1 1 2 2 ， 0 = 0 AR( p) p − − − = 1 0 1 yt = xt − { }t y { }t x
自回归系数多项式·引进延迟算子，中心化AR(p）模型又可以简记为@(B)x, = 6t·称下式为p阶自回归系数多项式Φ(B) =1-ΦB-Φ,B2 -...-Φ,BP
自回归系数多项式 • 引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 • 称下式为p阶自回归系数多项式 AR( p) t t (B)x = p B = − B − B −− p B 2 1 1 2 ( )
延迟算子，延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻·记B为延迟算子，有X-, = Bx,Xi-2 = B’x,:X-p= BPx,, Vp≥1·所以AR(p）模型的简写形式如下导出X, -dxi-I-...-Φ,Xi-p=8,(1-dB-...-Φ,BP)x, = 6,Φ(B)x, = 8
延迟算子 • 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前 序列值的时间向过去拨了一个时刻 • 记B为延迟算子，有 • 所以 模型的简写形式如下导出 1 2 2 , 1 t t t t p t p t x Bx x B x x B x p − − − = = = 1 1 1 (1 ) ( ) t t p t p t p p t t t t x x x B B x B x − − − = − − − − − = = AR( p)