第5章框架结构设计 [例5.4-1]图5412(a)所示为两层两跨框架,图中括号内的数字表示杆件的相对线刚度值 (Ⅵ108)试用D值法计算该框架结构的内力。 「解](1)按式(54.1)计算层间剪力 J2=100kN;V1=100+80=180kN (2)按式(544)计算各柱的侧向刚度,其中α。按式(54.5)(对第2层柱)或式(546)(对 第1层柱)计算,K按表5.41所列的相应公式计算。计算过程及结果见表542 (3)根据表542所列的D及ΣD值,按式(542)计算各柱的剪力值V。计算过程及结果 见表543。 (4)按式(5.49)确定各柱的反弯点高度比,然后按式(5414)计算各柱上、下端的弯矩值 计算过程及结果见表543。 表542柱侧向刚度计算表 层次柱别 K Dy(N/mm) ∑D(N/mm) 1.271 0.389 212.509 2.797 0.583 318491 767546 BCAB 236.546 1.596 0.583 162.376 1 3.511 0.728 202.761 536.983 1.915 171.846 43柱端剪力及弯矩计算表 层次柱别 yMC=1功M=10=y 27.69 0.41 40.87 58.81 0.45 67.2 0.43 47.7 443 0.57 139.61 105.32 6797 0.55 168.22 137.64 57.60 0.55 142.56 116.64 表中剪力的量纲为kN:弯矩的量纲为kN·m。 根据图5412(a)所示的水平力分布,确定ⅶ时可近似地按均布荷载考虑;本例中y=0;对第 1层柱,因a2=36/4.5=08,所以y为负值,但由a2及表542中的相应K值,查附表25得y2=0; 对第2层柱,因a3=4.5/36=1.25>1.0,所以y为负值,但由a3及表542中的相应K值,查附 表2.5得y=0。由此可知,附表中根据数值大小及其影响,已作了一定简化。 (5)按式(5415)计算梁端弯矩,再由梁端弯矩计算梁端剪力,最后由梁端剪力计算柱轴力 计算过程及结果见表544 框架弯矩图见图5412(b) 表544梁端弯矩、剪力及柱轴力计算表
1 第 5 章 框架结构设计 [例 5.4-1] 图 5.4.12（a）所示为两层两跨框架，图中括号内的数字表示杆件的相对线刚度值 （i/108）。试用 D 值法计算该框架结构的内力。 [解]（1）按式（5.4.1）计算层间剪力 V2 = 100kN；V1 = 100+80 = 180kN （2）按式（5.4.4）计算各柱的侧向刚度，其中 c 按式（5.4.5）（对第 2 层柱）或式（5.4.6）（对 第 1 层柱）计算， K 按表 5.4.1 所列的相应公式计算。计算过程及结果见表 5.4.2。 （3）根据表 5.4.2 所列的 Dij 及ΣDij 值，按式（5.4.2）计算各柱的剪力值 Vij。计算过程及结果 见表 5.4.3。 （4）按式（5.4.9）确定各柱的反弯点高度比，然后按式（5.4.14）计算各柱上、下端的弯矩值。 计算过程及结果见表 5.4.3。 表 5.4.2 柱侧向刚度计算表 层次 柱别 K c Dij（N/mm） ΣDij（N/mm） 2 A 1.271 0.389 212.509 B 2.797 0.583 318.491 767.546 C 1.525 0.433 236.546 1 A 1.596 0.583 162.376 B 3.511 0.728 202.761 536.983 C 1.915 0.617 171.846 表 5.4.3 柱端剪力及弯矩计算表 层次 柱别 i ij ij ij V D D V = y Mij =Vij yh b Mij Vij(1 y)h u = − 2 A 27.69 0.41 40.87 58.81 B 41.50 0.45 67.23 82 .17 C 30.82 0.43 47.71 63.24 1 A 54.43 0.57 139.61 105.32 B 67.97 0.55 168.22 137.64 C 57.60 0.55 142.56 116.64 注：表中剪力的量纲为 kN；弯矩的量纲为 kN·m。 根据图 5.4.12（a）所示的水平力分布，确定 yn 时可近似地按均布荷载考虑；本例中 y1=0；对第 1 层柱，因 2 = 3.6 / 4.5 = 0.8 ，所以 y2 为负值，但由 2 及表 5.4.2 中的相应 K 值，查附表 2.5 得 y2=0； 对第 2 层柱，因 3 = 4.5 / 3.6 =1.25 1.0 ，所以 y3 为负值，但由 3 及表 5.4.2 中的相应 K 值，查附 表 2.5 得 y3=0。由此可知，附表中根据数值大小及其影响，已作了一定简化。 （5）按式（5.4.15）计算梁端弯矩，再由梁端弯矩计算梁端剪力，最后由梁端剪力计算柱轴力。 计算过程及结果见表 5.4.4。 框架弯矩图见图 5.4.12（b）。 表 5.4.4 梁端弯矩、剪力及柱轴力计算表
层次梁别M(N·m) M(kN·m) Vb (kN) a (kN) NB (KN) Nc(KN) 58.81 37.35 13.36 13.36 4.65 18.01 44.82 63.24 146.19 93.12 -466 17.43 64.03 l11.75 164.35 注:1.表中梁端弯矩、剪力均以绕梁端截面顺时针方向旋转为正:柱轴力为以受压为正。 2.本表中的M及M系分别表示同一梁的左端弯矩及右端弯矩。 小结 (1)框架结构是多、高层建筑的一种主要结构形式。结构设计时,需首先进行结构布置和拟定 梁、柱截面尺寸,确定结构计算简图,然后进行荷载计算、结构分析、内力组合和截面设计,并绘 制结构施工图。 (2)竖向荷载作用下框架结构的内力可用分层法、弯矩二次分配法等近似方法计算。分层法在 分层计算时,将上、下柱远端的弹性支承改为固定端,同时将除底层外的其他各层柱的线刚度乘以 系数0.9,相应地柱的弯矩传递系数由12改为1/3,底层柱和各层梁的线刚度不变且其弯矩传递系 数仍为1/2。弯矩二次分配法是先对各节点的不平衡弯矩都进行分配(其间不传递),然后对各杆件 的远端进行传递。分层法和弯矩二次分配法的计算精度较高,可用于工程设计 3)水平荷载作用下框架结构内力可用D值法、反弯点法等简化方法计算。其中D值法的计算 精度较高,当梁、柱线刚度比大于3时,反弯点法也有较好的计算精度 (4)D值是框架结构层间柱产生单位相对侧移所需施加的水平剪力,可用于框架结构的侧移计 算和各柱间的剪力分配。D值是在考虑框架梁为有限刚度、梁柱节点有转动的前提下得到的,故比 较接近实际情况 影响柱反弯点高度的主要因素是柱上、下端的约束条件。柱两端的约束刚度不同,相应的柱端 转角也不相等,反弯点向转角较大的一端移动,即向约束刚度较小的一端移动。D值法中柱的反弯 点位置就是根据这种规律确定的 (5)在水平荷载作用下,框架结构各层产生层间剪力和倾覆力矩。层间剪力使梁、柱产生弯曲 变形,引起的框架结构侧移曲线具有整体剪切型变形特点;倾覆力矩使框架柱(尤其是边柱)产生 轴向拉、压变形,引起的框架结构侧移曲线具有整体弯曲型变形特点。当框架结构房屋较高或其 宽比较大时,宜考虑柱轴向变形对框架结构侧移的影响。 思考题 (1)框架结构的承重方案有几种?各有何特点和应用范围? (2)框架结构的梁、柱截面尺寸如何确定?应考虑哪些因素? 3)怎样确定框架结构的计算简图?当各层柱截面尺寸不同且轴线不重合时应如何考虑? (4)简述分层法和弯矩二次分配法的计算要点及步骤 (5)D值的物理意义是什么?影响因素有哪些?具有相同截面的边柱和中柱的D值是否相同? 具有相同截面及柱高的上层柱与底层柱的D值是否相同(假定混凝土弹性模量相同)? (6)有一空间框架结构,假定楼盖的平面内刚度无穷大,用D值法分配层间剪力。先将层间剪 力分配给每一榀平面框架,再分配到各平面框架的每根柱:或者用每根柱的D值与层间全部柱的∑ D的比值将层间剪力直接分配给每根柱。这两种方法的计算结果是否相同?为什么?
2 层次 梁别 l Mb (kN·m) r Mb (kN·m) Vb（kN） NA（kN） NB（kN） NC （kN） 2 AB 58.81 37.35 – 13.36 – 13.36 – 4.65 18.01 BC 44.82 63.24 – 18.01 1 AB 146.19 93.12 – 33.24 –46.60 – 17.43 64.03 BC 111.75 164.35 – 46.02 注：1. 表中梁端弯矩、剪力均以绕梁端截面顺时针方向旋转为正；柱轴力为以受压为正。 2. 本表中的 l Mb 及 r Mb 系分别表示同一梁的左端弯矩及右端弯矩。 小 结 （1）框架结构是多、高层建筑的一种主要结构形式。结构设计时，需首先进行结构布置和拟定 梁、柱截面尺寸，确定结构计算简图，然后进行荷载计算、结构分析、内力组合和截面设计，并绘 制结构施工图。 （2）竖向荷载作用下框架结构的内力可用分层法、弯矩二次分配法等近似方法计算。分层法在 分层计算时，将上、下柱远端的弹性支承改为固定端，同时将除底层外的其他各层柱的线刚度乘以 系数 0.9，相应地柱的弯矩传递系数由 1/2 改为 1/3，底层柱和各层梁的线刚度不变且其弯矩传递系 数仍为 1/2。弯矩二次分配法是先对各节点的不平衡弯矩都进行分配（其间不传递），然后对各杆件 的远端进行传递。分层法和弯矩二次分配法的计算精度较高，可用于工程设计。 （3）水平荷载作用下框架结构内力可用 D 值法、反弯点法等简化方法计算。其中 D 值法的计算 精度较高，当梁、柱线刚度比大于 3 时，反弯点法也有较好的计算精度。 （4）D 值是框架结构层间柱产生单位相对侧移所需施加的水平剪力，可用于框架结构的侧移计 算和各柱间的剪力分配。D 值是在考虑框架梁为有限刚度、梁柱节点有转动的前提下得到的，故比 较接近实际情况。 影响柱反弯点高度的主要因素是柱上、下端的约束条件。柱两端的约束刚度不同，相应的柱端 转角也不相等，反弯点向转角较大的一端移动，即向约束刚度较小的一端移动。D 值法中柱的反弯 点位置就是根据这种规律确定的。 （5）在水平荷载作用下，框架结构各层产生层间剪力和倾覆力矩。层间剪力使梁、柱产生弯曲 变形，引起的框架结构侧移曲线具有整体剪切型变形特点；倾覆力矩使框架柱（尤其是边柱）产生 轴向拉、压变形，引起的框架结构侧移曲线具有整体弯曲型变形特点。当框架结构房屋较高或其高 宽比较大时，宜考虑柱轴向变形对框架结构侧移的影响。 思 考 题 （1）框架结构的承重方案有几种？各有何特点和应用范围？ （2）框架结构的梁、柱截面尺寸如何确定？应考虑哪些因素？ （3）怎样确定框架结构的计算简图？当各层柱截面尺寸不同且轴线不重合时应如何考虑？ （4）简述分层法和弯矩二次分配法的计算要点及步骤。 （5）D 值的物理意义是什么？影响因素有哪些？具有相同截面的边柱和中柱的 D 值是否相同？ 具有相同截面及柱高的上层柱与底层柱的 D 值是否相同（假定混凝土弹性模量相同）？ （6）有一空间框架结构，假定楼盖的平面内刚度无穷大，用 D 值法分配层间剪力。先将层间剪 力分配给每一榀平面框架，再分配到各平面框架的每根柱；或者用每根柱的 D 值与层间全部柱的∑ D 的比值将层间剪力直接分配给每根柱。这两种方法的计算结果是否相同？为什么？
(7)水平荷载作用下框架柱的反弯点位置与哪些因素有关?试分析反弯点位置的变化规律与这 些因素的关系。如果与某层柱相邻的上层柱的混凝土弹性模量降低了,该层柱的反弯点位置如何变 化?此时如何利用现有表格对标准反弯点位置进行修正? 〔8)水平荷载作用下框架结构的侧移由哪两部分组成?各有何特点?为什么要进行侧移验算 如何验算? (9)如何确定框架结构梁、柱内力组合的设计值? 10)框架梁、柱及节点各有哪些构造要求? 习题 1.习题1图所示框架结构,各跨梁跨中均作用竖向集中荷载P=100kN。各层柱截面均为400m ×400mm;各层梁截面相同:左跨梁30omm×700mm,右跨梁300mm×50omm。各层梁、柱混凝 土强度等级均为C25。试分别用分层法和弯矩二次分配法计算该框架梁、柱的弯矩,并与矩阵位移 法的计算结果进行比较。矩阵位移法的计算结果标注在该图中各杆上,均标注在各截面受拉纤维 侧 2.已知框架结构同习题1,试用D值法计算该框架在习题2图所示水平荷载作用下的内力及 侧移,并与矩阵位移法的计算结果进行比较。矩阵位移法的弯矩值计算结果标注在截面受拉纤维一 侧,柱左、右侧的弯矩值分别表示该层柱上、下端的弯矩值。 111.1310 51 130(kN) 65.72 97.17 71.55 208.95 68.55 05.595为 107.8494.29 258 习题1图 习题2图
3 （7）水平荷载作用下框架柱的反弯点位置与哪些因素有关？试分析反弯点位置的变化规律与这 些因素的关系。如果与某层柱相邻的上层柱的混凝土弹性模量降低了，该层柱的反弯点位置如何变 化？此时如何利用现有表格对标准反弯点位置进行修正？ （8）水平荷载作用下框架结构的侧移由哪两部分组成？各有何特点？为什么要进行侧移验算？ 如何验算？ （9）如何确定框架结构梁、柱内力组合的设计值？ （10）框架梁、柱及节点各有哪些构造要求？ 习 题 1．习题 1 图所示框架结构，各跨梁跨中均作用竖向集中荷载 P=100kN。各层柱截面均为 400mm ×400mm；各层梁截面相同：左跨梁 300mm×700mm，右跨梁 300mm×500mm。各层梁、柱混凝 土强度等级均为 C25。试分别用分层法和弯矩二次分配法计算该框架梁、柱的弯矩，并与矩阵位移 法的计算结果进行比较。矩阵位移法的计算结果标注在该图中各杆上，均标注在各截面受拉纤维一 侧。 2．已知框架结构同习题 1，试用 D 值法计算该框架在习题 2 图所示水平荷载作用下的内力及 侧移，并与矩阵位移法的计算结果进行比较。矩阵位移法的弯矩值计算结果标注在截面受拉纤维一 侧，柱左、右侧的弯矩值分别表示该层柱上、下端的弯矩值。 3.6 3.9 4.0 4.5 101.50 37.51 80.50 25.93 26.82 55.21 29.28 53.48 7.41 89.61 90.96 77.59 19.29 8.93 48.27 28.98 5.56 94.29 78.17 7.31 26.65 77.92 7.36 37.51 111.13 121.55 45.78 104.52 105.57 111.97 107.84 116.13 112.94 33.41 38.14 34.33 23.20 36.71 12.54 34.22 71.55 68.55 59.91 45.78 1.96 7.99 7.58 7.50 4.0m 4.0m 3.0m 3.0m 23 mm 65.72 49.06 79.70 97.17 72.87 223.29 143.66 35.00 217.40 199.01 108.54 117.00 291.56 295.83 116.27 309.18 356.82 303.21 225.25 307.98 181.33 236.37 458.48 368.32 387.14 325.66 208.95 128.76 130(kN) 164.48 137.67 120 71.88 80 326.07 246.88 50 211.60 230.69 97.17 177.62 105.42 108.66 65.72 64 mm 56 mm 43 mm 习题 1 图 习题 2 图