第六章二次型 一.二次型及其矩阵表示 二.二次型的标准形 三.惯性定理和规范形 四.正定二次型
1 三. 惯性定理和规范形 四. 正定二次型 一. 二次型及其矩阵表示 二. 二次型的标准形 第六章 二次型
1.二次型、 一.二次型及其矩阵表示 二次型的矩阵、秩 2.非退化线性变换 1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 3.矩阵的合同 定义1：含有n个变量X1,x2,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,.,xn) =41X7+2a12X12+2a13X13+.+2a1nx1xm +42X2+223X2X3+.+202mX2Xn 十。 +1+2an1nXn1x。 +amx2 称为二次型。（1) 2
2 一. 二次型及其矩阵表示 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 1.二次型、 二次型的矩阵、秩 2. 非退化线性变换 3.矩阵的合同 称为二次型。（1） 1 2 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x − − − − − = + + + + + + + + + + + 2 nn n + a x 定义1：含有 n 个变量 x x x 1 2 , , , n 的二次齐次多项式
实二次型：为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型：为复数。 例如：f(x,y)=x2+4xy+5y2 f(x,y,z)=2x2+y2+xz+yz 都是二次型。 f(x1,x2,X3,x4)=Xx2+x23+X24 f(x,y)=x2+y2+5 =2r-y+2红不是二次型 3
3 实二次型： aij 为实数。（我们仅讨论实二次型） 复二次型： aij 为复数。 例如： 2 2 f x y x xy y ( , ) 4 5 = + + 2 2 f x y z x y xz yz ( , , ) 2 = + + + 1 2 3 4 1 2 2 3 2 4 f x x x x x x x x x x ( , , , ) = + + 都是二次型。 2 2 f x y x y ( , ) 5 = + + 2 2 f x y x y x ( , ) 2 2 = − + 不是二次型
只含有平方项的二次型 f=ky+k2Jy吃+.+knJy房 称为二次型的标准形（或法式）。 例如：f(x,x2,x3)=2x+4x号+5x号-4x f(x1,x2,3)=x1X2+xK3+x2x3 都为二次型； f(k1,x2,3)=x+4x号+4x号 为二次型的标准形
4 只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）。 例如： ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形。 ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
取j=i 则2ajx,X,=0xx;+ar七xi 则(1)式可以表示为 f=auxi+azxx++axx +a+a++anx 十. 二次型用和号表示 +annx1+an2xnx2+.+anx号 =X1(a1X1+412X2++41mXn) +X2(a2X1+a22X2+.+42mxn） 十. +x(amx+an2x2++amnxn) 5
5 2 2 11 12 2 1 1 2 1 21 1 22 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n n n n n n nn n n n f a a x a x a x a x x a x x x x a a a x x x x x = + + + x + + + + + + + + + ij ji 取 a a = 2 ij i j ij i j ji i j 则 a x x a x x a x x = + 则（1）式可以表示为 1 11 1 12 2 1 ( ) n n = + + + x a x a x x a 2 21 1 22 2 2 ( ) n n + + + + x a x a x x a + 1 1 2 2 ( ) n n n nn n + + + + x a x a x a x , 1 n ij i j i j a x x = = 二次型用和号表示
41七1+412X2+.+a1n火n =(K1,X2,.,n) 021七1+2X2+.+02mXm an1X1+an2X2+.+nmXn 11 12 . n 21 22 a2n 2 =(K1,X2,.,Xn） .: 6
6 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x + + + + + + = + + + 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x =
12 az L22 X- X2 令A= an An2 Xn 则f=XAX 二次型的矩阵表示 其中A为对称矩阵。 例如：二次型f(x1,x2,x3)=x2-3x32-4x2十x2x 1-2 0 1 =(x1,X2,3)-2 0 1 0 -3 2
7 1 2 n x x X x = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 令 T 则 f X AX = 其中 A 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示 1 1 2 3 2 3 1 -2 0 1 ( , , ) -2 0 2 1 0 -3 2 x x x x x x = 2 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 例如：二次型 ( , , ) 3 4 f x x x x x x x x x = − − +
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型. 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 定义2： 二次型f=XTAX 把对称矩阵A称为二次型f的矩阵 也把二次型f称为对称矩阵A的二次型 对称矩阵A的秩称为二次型f的秩 8
8 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 T 定义2： 二次型 f X AX =
例1：求二次型f的矩阵 (1)f(x,y,z)=x+2x2-2xx2+3x2x3 -1 1 解：A= (2)f(x,x234)=x2+2x号+7-2.x2-2x2水3+4xx4 8 2 9
9 2 2 1 2 1 2 2 3 (1) ( , , ) 2 2 3 f x y z x x x x x x = + − + 例1：求二次型 f 的矩阵 1 1 0 3 1 2 2 3 0 0 2 A − = − 解： 222 1 2 3 4 1 2 4 1 2 2 3 3 4 (2) ( , , , ) 2 7 2 2 4 f x x x x x x x x x x x x x = + + − − + 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 2 0 0 2 7 A − − − = − 解：
(3)f(X1,.,Xn)=x2+x2x3+.+x-xm 2 1 2 0 解：A 三 2 2
10 x xn x x x x xn xn f 1 1 2 2 3 1 (3) ( , , ) = + ++ − 1 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 A = 解：