第2章导数与微分 1.1导数的概念 1.2导数的运算 1.3微分 结速
第2章 导数与微分 1.1 导数的概念 1.2 导数的运算 1.3 微分 结束
2.1导数的概念 2.1.1引出导数概念的实例 例1平面曲线的切线斜率 y=f(x) 曲线y=的圍像如图所示， 在曲线上任取两点M(x,) △X 和N(x,+△x,+△y)作割线 Xo x0+△x X 公W割线的斜率为 =tan =△y=(x,+△)-fx) △K △x 前页后页结束
前页 后页 结束 2.1.1 引出导数概念的实例 例1 平面曲线的切线斜率 曲线 的图像如图所示, 在曲线上任取两点 和 ，作割线 ，割线的斜率为 y = f (x) 0 0 M x , y ( ) ( , ) 0 0 N x + x y + y x f x x f x x y k MN + − = = = ( ) ( ) tan 0 0 MN 2.1 导数的概念 y O x y f x = ( ) M N T x 0 x x + x 0 y P
这里为割线MW的倾角，设是切线MT的倾角， 当△x时0点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在，记为k,则此极限值就是所求切线 MT的斜率，即 k tan=lim tan y=f(x) △x→0 lim y △ Ax→0△X △X lim f(x,+△x)-f(x) △x→0 △x Xo xg+△x 前页后页结束
前页 后页 结束 这里 为割线MN的倾角，设 是切线MT的倾角， 当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的 极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线 MT的斜率，即 x f x x f x x y k x x x + − = = = = → → → ( ) ( ) lim lim tan lim tan 0 0 0 0 0 θ x → 0 y O x y f x = ( ) M N T x 0 x x + x 0 y P
例2产品总成本的变化率 设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q),当产 量Q从2，变到2，+△2时，总成本相应地改变量为 △C=C(2,+△Q)-C(2) 当产量从2，变到2，+△2时，总成本的平均变化率 △CC(2+△2)-C(2) △Q △Q 当△Q趋向于0时，如果极限 △C lim lim C(2,+△2)-C(2) △2→0 △Q 存在，则称此极限是产量为Q,时总成本的变化率。 前页后页结束
前页 后页 结束 当 趋向于0时，如果极限 设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产 量Q 从 变到 时，总成本相应地改变量为 当产量从 变到 时，总成本的平均变化率 Q0 Q Q 0 + 0 0 = + − C C Q Q C Q ( ) ( ) Q0 Q Q 0 + 0 0 C C Q Q C Q ( ) ( ) Q Q + − = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim Q Q C C Q Q C Q → → Q Q + − = 存在，则称此极限是产量为 Q0 时总成本的变化率。 →Q 0 例2 产品总成本的变化率
2.1.2导数的概念 定义设y=fx)在点x的某邻域内有定义，xo+△x 属于该邻域，记△y=f(x,+△x)-f(x), 若 f(x+△x)-f(c,) lim Ay lim △x→0△X△x-→0 △x 存在，则称其极限值为y=fx)在点x。处的导数，记为 ，)减r或或 dx x=x x 或 f)=lim g=im/&+△x)-fx △x→0△x △r→0 △x 前页后页结束
前页 后页 结束 定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义， 属于该邻域，记 若 存在，则称其极限值为y = f (x)在点x0 处的导数，记为 x + x 0 ( ) ( ), 0 x0 y = f x + x − f = → x y x 0 lim x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 | . d d | , d d ( ) | , 0 0 0 0 x x x x x x x f x y f' x y' 或 = 或 = 或 = . ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 x f x x f x x y f' x x x + − = = → → 或 2.1.2 导数的概念
导数定义与下面的形式等价： f(xo)=lim f(x)-f(x) x→x0 x-xo 若=f(x)在x=x,的导数存在，则称=fx)在点x0 处可导，反之称y=fx)在x=xo不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化增大或减小的快慢 前页 后页结束
前页 后页 结束 导数定义与下面的形式等价： . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → 若y =f (x)在x= x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y = f (x)在x = x0 不可导，此时意 味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念 都是描述函数在一点处的性态，导数的大小反映 了函数在一点处变化(增大或减小)的快慢
三、左导数与右导数 左导数：f'(x,)=lim f(x,+△x)-f(x) Ar->0 △x 右导数：f'(x,)=l1im f(x,+△x)-f(x) △x->0 △x 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 f(xo)=lim f(x)-f(x) x→x0 ff,)=m x-Xo x→xd x-Xo 定理3.1y=f)在x=x可导的充分必要条件是 y=fc)在x一x,的左、右导数存在且相等 前页后页结束
前页 后页 结束 三、左导数与右导数 左导数: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → − − 右导数: . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → + + 显然可以用下面的形式来定义左、右导数 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = − → − . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = + → + 定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等
三、导数的几何意义 当自变量x,从变化到x。+△x时，曲线fx) 上的点由M,(xO,f(x).变到M(xo+△x,f(x+△x》 此时Ax为割线两端点M,M 的横坐标之差，而△y 则为M,M的纵坐标之差， 所以 即为过Mo,M两点的 割线的斜率， xo xo+△x 前页后页结束
前页 后页 结束 三、导数的几何意义 当自变量 从变化到 时，曲线y=f(x) 上的点由 变到 ( , ( )). 0 0 M x + x f x + x 此时 为割线两端点M0，M 的横坐标之差，而 则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 即为过M0，M两点的 割线的斜率. x0 ( , ( )). 0 0 x0 M x f x y x y x0 + x M0 M 0 x x0 + x
曲线y=f(x)在点M处的切线即为割线MM当M沿曲 线fc)无限接近M,时的极限位置MP,因而当Dx-→0 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即： f(x)=lim △x-→0△X limtang=tan=k Ay 所以，导数f"(x,)的几何意义 是曲线y=f(c)在点M(coo》 处的切线斜率 10 xo+△x 前页后页结束
前页 后页 结束 曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲 线y=f(x)无限接近 时的极限位置M0P，因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即： D x→0 0 0 ( ) lim limtan tan x y f x k x → → = = = = 所以，导数 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0 (x0 ,f(x0 )) 处的切线斜率. ( ) x0 f M0 M 0 x x0 + x P M0
设函数y=fx)在点处可导，则曲线y=x)在点 处的切线方程为：y-f(x)=f'(x)(x一x而当 时，曲线)=∞在 的切线方程为 x=xo 当f'(x)≠0时，曲线f(x)在M。的法线方程为 y-,)=-, 而当f'(x,)=0时，曲线f(x)在M,的法线方程为 x=x。(即法线平行轴) 前页后页结束
前页 后页 结束 设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程为： 而当 时,曲线 在 的切线方程为 0 0 0 1 ( ) ( ). ( ) y f x x x f x − = − − 0 x x = (即法线平行y轴). 0 x x = 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) ( )( ). 当 f x ( ) 0 0 时,曲线 f x( ) 在 M0 的法线方程为 而当 f x ( ) 0 0 = 时,曲线 f x( ) 在 M0 的法线方程为 0 f x ( ) = f x( ) M0