第三节相似矩阵 线性代教
第三节 相似矩阵
相似矩阵与相似变换的概念 定义7设A,B都是n阶矩阵若有可逆阵 使 P-AP=B 则称B是A的相似矩陈或说矩 与B相似对A进行运算P-1AP称为 对A进行相似变换知逆矩碑称为 把A变成B的相似变换矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 若有可逆阵 则 称B是A的相似矩阵, 定义7 使 P AP = B −1 或说矩阵A 对A P AP 进行运算 −1 可逆矩阵P 称为 设A,B都 是n阶矩阵, P, 与B相似. 对A进行相似变换, 把A变 成B的 称为 相似变换矩阵
相似矩阵与相似变换的性质 1. 等价关系 (1)反身性A与A本身相似.：E-1AE=A) (2)对称性若A与B相似则B与A相似 (3)传递性：若A喁B相似写C相凤=A) 则A与C相似 2. p-报-9￡=0c0 3. 若A楫谢品厢贺死整坳 (若PPP2频B=B.B =(P-AP)(P-AP).(P-AP)=P-AP.)
二、相似矩阵与相似变换的性质 1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. ( ) 1 E AE = A − (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似. P (A1 A2 )P 1 2. − ( )( ). 2 1 1 1 P A P P A P − − = 3.若A与B相似, 则A m 与B m 相似(m为正整数). ( 1 P AP = B − 1 1 1 ( ) − − − P BP = A) P AP = B −1 Q BQ = C −1 −1 即B = QCQ −1 −1 P AP = QCQ Q P APQ = C −1 −1 PQ A PQ = C − ( ) ( ) 1 P A A P P A1 EA2 P 1 1 2 1 − − = P A PP A2 P 1 1 −1 − = ( , 1 P AP = B 若 − B BB B 则 m = ( )( ) ( ) 1 1 1 P AP P AP P AP − − − = .) 1 P A P − m =
4.P-1(k1A1+k242)P =kPAP+kP-AP 其中k1,k2是任意常数. 定理若n阶矩阵A与B相似则A与B 的特征多项相夙而A与B的特征信值 亦相同。 证明 A与B相似→ヨ可逆阵P,使 PAP=B
P (k1 A1 k2 A2 )P 1 4. + − k P A P k P A2 P 1 1 2 1 1 − − = + , . 其中k1 k2是任意常数 定理1 若n阶矩阵A与B相 似,则A与B 的特征多项相同，从 而A与B的特征值 亦相同。 证明 A与B相似 可逆阵P, 使 P AP = B −1
故B-E=P-AP-P'(2E)P =|P-(A-E)P P-A-RE P =A-E. 即 A与B的特征多项式相同 (特征方程亦相同，植体相同 问特征值相同矩阵会相似吗？ 由此定理我们有下面有用的推论
1 = − − P AP = P (A − E)P −1 = P A− E P −1 = A − E . 故 B− E P ( E)P 1 − 即 A与B的特征多项式相同 (特征方程亦相同，特征值亦相同) 问 特征值相同，矩阵会相似吗？ 由此定理, 我们有下面有用的推论
推论若n阶方阵A与对角阵 Λ= 22 An 相似则2,22，元n是A的n个特征值 证 因1,22，元n是的n个特征值 而A与A相似由定理知21，2也是 A的n个特征值
推论 若 n 阶方阵A与对角阵 = n 2 1 相似，则1 ，2 ，， n 是A的n个特征值。 证 因1 ，2 ，， n 是的n个特征值， 而A与相似，由定理3知1 ，， n A的n个特征值。 也是
利用对角矩阵计算矩阵多项式 若A=PBP1,则 k个 APBP-PBP1.PEP-PBPDPBP1. A的多项式 (A)=aA"+aA"++an-1A+arE =oPB"p-1+1PB"-1P-1+. an-iPBP+an PE P-I =P(ao B"+a B"++an-1B+an E)P Pe(B)P-1
利用对角矩阵计算矩阵多项式 , 1 A PB P − 若 = a PB P a PE P a P B P a P B P n n n n 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − − − − + + = + + A = k A的多项式 A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) . 1 P B P− = . 1 P B Pk − = 则 P a B a B an B anE P n n 1 1 1 0 1 ( ) − − − = + ++ + PB P − 1 PBP−1 PBP−1 PBP−1 k个
特别地，若可逆矩阵P使P1AP=A为对角矩阵， 则 Ak=PAP-,(A)=P(A)P. 对于对角矩阵私，有 2然 Λ= 5 利用上 述结论可以 p(21) 很方便地计 p() 算矩阵A的 p(A)= 多项式P(A) p(21)
, , 特别地 若可逆矩阵P使P −1 AP = 为对角矩阵 , 1 A P P k k − 则 = ( ) ( ) . 1 A P P − = 对于对角矩阵,有 , 2 1 = k n k k k , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 = 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . (A)
定理 设f(2)是矩阵A的特征多项式则f(A)=O. 证明只证明A与对角矩阵相似的情形 若A与对角矩阵相似，则有可逆矩阵P,使 p-1AP=Λ=dig(21,.,m) 其中：为A的特征值f)=0.由A=PAP1,有 f(2) f(A)=Pf(A)P=P f(2m) =POP=O
定理 设f ()是矩阵A的特征多项式,则f (A) = O. 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 ( , , ), 1 1 P AP = = diag n − , ( ) = 0. i i 其中 为A的特征值 f 由A = P P −1 ,有 f (A) . 1 = PO P = O − Pf P 1 ( ) − = P f f P n 1 1 ( ) ( ) − =
三、利用相似变换将方阵对角化 对n阶方阵4，若可找到可逆短祁 使P-1AP=∧为对角阵这就称为把 阵A对角化 定理4n阶方阵4与对角阵相聊A 可 对角的充分必要条件盾n个 线性无关的特征向量。 (证略由本定理和前面的定理得
三、利用相似变换将方阵对角化 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P, , 使P −1 AP = 为对角阵这就称为把方 阵A对角化. 定理4 n阶方阵A与对角阵相似(即A 的充分必要条件是A有n个 线性无关的特征向量。 （证略） 可对角化) 由本定理和前面的定理2，可 得