《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换

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第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 上一页 下一页 返回首页 §1 矩阵的初等变换

§1矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，它在 化简矩阵、求矩阵的秩、求矩阵的逆阵以及求解线性 方程组等方面起着重要的作用. 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)换行变换：互换矩阵的i,j行，记作←→； (2)数乘变换：用非零常数k乘矩阵的第i行，记作 ×k; (3)倍加变换：将矩阵的第i行的k倍加到第i行 上，记作：+k灯；. 上一页不页返回首页

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: §1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，它在 化简矩阵、求矩阵的秩、求矩阵的逆阵以及求解线性 方程组等方面起着重要的作用． i j （1）换行变换：互换矩阵的 i, j 行，记作 r  r ； （2）数乘变换：用非零常数 k 乘矩阵的第 i 行，记作 ri  k ； （3）倍加变换：将矩阵的第 j 行的 k 倍加到第 i 上，记作 行 i krj r + . 上一页 下一页 返回首页

2 3 -1 例如 -1 01 经过，分 2 3 41-1 4 1 -1 已经变为新的矩阵等号。 1 2 3 又例如 -10 经过+(-4)r(也可写为-4r) 1-1 12 10 11

          − − 4 1 1 1 0 1 1 2 3 例如 经过r1  r2           − − 4 1 1 1 2 3 1 0 1 已经变为新的矩阵不能用等号。           − − 4 1 1 1 0 1 1 2 3 又例如 经过r3 + (−4)r1 (也可写为r3 − 4r1 )           − 0 7 11 1 0 1 1 2 3

同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把 “换成“c). 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换. 初等变换是可逆的，且每种初等变换和它的逆变换 是同一类型. 如)r;逆变换 ←→r ×k 逆变换5×（月）或÷： +k知，逆变换+(-k)r或-k 回上页例子进一步说明 上页不页返向首顶

定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 矩阵的初等变换． 初等变换是可逆的， 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把 “r”换成“c”)． i j r  r r k i  逆变换 ; i j r  r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri  或 i  i j r + kr 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r − 如 上一页 下一页 返回首页 回上页例子进一步说明。 且每种初等变换和它的逆变换 是同一类型．

如果矩经有限次初等行变换惑，就称矩阵 A与B行等价记作A人B 如果矩经有限次癣列变换变成，就称矩阵 A与B例等价记作A心B 如果矩喇经有限次初篓换或B,就称矩阵 A与B等价，记作A~B。 矩阵之间的等价关系具有下列性质： )反身性A~A; ②)对称性若A~B,则B~A; ③传递性若A~B,B~C,则A~C, 具有上述三条性质的关系称为等价. 上一页 不页返间首页

上一页 下一页 返回首页 如果矩阵A经有限次初等行变换变成B,就称矩阵 记作A ～ B r A与B行等价， ； 如果矩阵A经有限次初等列变换变成B,就称矩阵 A与B列等价，记作A ～ c B ； 如果矩阵A经有限次初等变换成B, 就称矩阵 A与B等价，记作A ～ B 。 具有上述三条性质的关系称为等价． 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1） 反身性 A~ A； （2） 对称性 若 A ~ B ,则 B ~ A； （3）传递性 若 A ~ B,B~C,则 A ~ C

行阶梯形矩阵先看几个矩阵 -4 0 0 如 3 0 0 0 0 0 它同时满足：()可划出一条阶梯线， 线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行

行阶梯形矩阵 先看几个矩阵           − − 0 0 4 0 1 0 2 1 3               − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 , 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 4 1 2 3 1                             0 0 0 0 4 0 0 0 1 3 0 0 2 3 2 如 0 1 0 0 1 它同时满足：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行

的行数，阶梯线的竖线后面的第一元素为非零元，即非 零行的第一个非零元。 这样的一个矩阵称为行阶梯形矩阵。 结论 进一步观察下列两个行阶梯形矩阵。 对于任何矩阵xn, 总可经过有限次初 1 0 12 0 8 行变换把它变为 071 0 9 0( 3 行阶梯形矩阵 00 12i 0 000 和行最形矩阵 0 00 其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所 列的其他元素都为0.— 称为行最简型

的行数，阶梯线的竖线后面的第一元素为非零元，即非 零行的第一个非零元。 这样的一个矩阵称为行阶梯形矩阵。 进一步观察下列两个行阶梯形矩阵。 , 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 9 1 0 0 4                             0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 3 0 1 2 0 8 0 其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所 列的其他元素都为0. 结论 对于任何矩阵Amn, 总可经过有限次初等 行变换把它变为: 行阶梯形矩阵 和行最简形矩阵。 称为行最简型矩阵

2 -1 1 2 1 4 将B化为行阶梯形最 例1设矩阵B= 4 -6 2 -2 4 简形。 3 6 -9 7 9 解 2 -1 -1 1 2 1 -214 1 -2 1 4 B= 2 -1 -1 1 2 4-6 2 -2 5÷2 -3 1 -1 2 3 6 -9 3 6 -9 7 9 把它们均化 用两个元素之间的关定两行之间的关系 的思路确定作何行变 上一页入不页返向首页

上一页 下一页 返回首页 , 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 1               − − − − − − 例 设矩阵B = 将B化为行阶梯形和行最 简形。 解               − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B ～ r1 ⎯→r2               − − − − − − 3 6 9 7 9 2 3 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r3  2 把它们均化为0 用两个元素之间的关系决定两行之间的关系 的思路确定作何行变换

11-221 14 4 ÷2 0 2-222 20 0 +5r 1-20 01 n.-3n 0 5 -3 -6 r-3 00 0T3 -3 4 -3 0 0 把它们瘠押 -2 1 4 1 0 -2 01 -1 0 二 0 1 -1 0 r-2r 00 0 -3 00 0 -3 0 0 0 0 00 0 0 0 行阶梯形 行最简形

r2 − r3 r2  2 r4 − 3r2               − − − − − − − 0 3 3 4 3 0 5 5 3 6 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4 ～ r3 − 2r1 ～ r3 + 5r2 r4 − 3r2               − − − − 0 0 0 1 3 0 0 0 2 6 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 ～ r3 ⎯→r4 r4 − 2r3               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 ～ r1 − r2 r2 − r3               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 0 1 0 2 0 4 行阶梯形 行最简形               − − 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4               − − − − − 0 5 5 3 6 0 2 2 2 0 1 1 2 1 4 把它们变为0

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形 矩阵标准形特点是矩阵的左上角是一个单位矩阵， 其余元素均为零. 如上例(10 -20 4 C3←→C4 000 0 0 -1 0 0 c4+2c1+C2 01 0 0 0 00 01 -3 cs-4c1+3c3 001 0 0 0 0 0 0 0000 0 此矩阵称为矩的标准形 其特点是： 左上角是一个单位矩碟余元素全为. 上一页不页返向首顶

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形 矩阵.标准形特点是矩阵的左上角是一个单位矩阵， 其余元素均为零. 上一页 下一页 返回首页 如上例               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 0 1 0 2 0 4 ～ 3 4 c ⎯→c 4 2 1 2 c + c + c 5 4 1 3 3 c − c + c               0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 此矩阵称为矩阵B的标准形 其特点是： 左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0