第六节行列式按行（列）展开 线性代教
第六节 行列式按行(列)展开
余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素a,所在的第i行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a 的余子式，记作M, 记A,=（1)M 叫做元素4u的代数余子式. 例如 012 L14 2t225324 11 12 14 D= L31 32 31 033 34 M23= l32 34 L41 L42 L44 4 L42 L44 A3=(12+3M23=-M
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M 23 一、余子式与代数余子式
21 L23 L24 D= 21 22 L23 24 31 32 L33 34 M12=31 L33 349 0.2.43.+ 41 L43 L44 A2=(02M2=-M2: 11 012 13 M44=42122423A4=(-1)+4M44=M44 031L32L33 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和 个代数余子式
, 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 个代数余子式. 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有 元素除M外都为零，那末这行列式等于，与它的 代数余子式的乘积， 即 D=0,A L11 L12 L13 14 例如 D= L21 l22 L23 L24 0 0 L33 0 041 042 L43 L44 11 L12 14 =（-1）+a31 L22 L24 =L33A33: a41 L42 44
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijA．ij n i ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( ) 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 1 a a a a a a a a a a + = − 例如 . = a33A33
证当位于第一行第一列时， 11 0 D= 21 022 .: Anl an2 即有 D=4,M11·(利用了前面例书上p-14)的结果 又 A1=(-1)M1=M1, 从而 D=a1A·(结论成立 在证一般情形，此时
证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 在证一般情形, 此时 (利用了前面例3(书上p −14)的结果) (结论成立)
1 n : : D= 0 0 ·: 把D的第行依次与第-%第i-器，第行对调 0 . 0 11 j 得 D=(-1 0-1,1 -1,j l-1,n :
n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行, ,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n j n ij i a a a a a a a a a a D 1 1,1 1, 1, 1 1 1 1 1 0 0 1 − − − − = − ij a aij
再把D的第列依次与第j-1列，第i-2列，第1列 对调，得 B0 0 0 : D=(1.(1y4-, i-1,j-1 Qi-1,n an,j-
, 1 , 2 , 1 对调 再把D的第j列依次与第j − 列 第j − 列 第 列 得 ( ) ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 − − − − − − − = − − ij a
饰 0 0 =（-104-2a- L-1,j-1 i-1,n An;j-1 00 0 0 =（1a- 0i-1,j-1 i-1,n : 可 An,j-1 nn
( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 1 − − − − − + − = − ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − ij a ij a
0 0 元素a在行列式a-l, 0-1,j-1 a-1,n中的 : j An;j-1 Ann 余子式仍然是a,在 11 j n D= 0 00 0 中的余子式M Ani ①j
n nj nn ij j n a a a a a a a D 1 11 1 1 = 0 0 中的余子式 . Mij 余子式仍然是 在 元素 在行列式 中的 ij nj n j nn i j i j i n ij ij a a a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − ij a ij a
0 于是有 Qi-l,j a-lj-l.a-1n=agMy l可 An,j-1 a nn 曙 0 0 故得 D=(-1ya;-j 几i-1,j-1 Ai-1,n =(-1)a;Mi- An,j-1
故得 ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − ( 1) . ij ij i j a M + = − 于是有 nj n j nn i j i j i n ij a a a a a a a , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − , = aijMij ij a ij a . = aijAij