《线性代数》课程教学资源（试卷习题）模拟题3（含答案）

模拟题（三) 答案 一、填空题（本大题共十小题，答对一题得3分，共30分） 1、232、1 6、rm （22 7、线性相送8、面90或-号10、3山 二、判断题（体大题共5小题答对一题得3分，共15分。） 1.√2.×3.×4.√5.× 三、计算题（本大题共5小题，共50分。） 1231124刂24 02=02 解：231233B31 (2分) -1010-1000 -224=12 (2分) 33 A,-A:+2A4=0(2分) 11021 100 子 2、1012-2-010 23-23 (8分) 01130 001 3-2 2 (2 (19-28(19-281001 2100-498 0101 3、 (8分) -110211 0011 44816(0000(0000 ∴()秩=3(1分)(2)线性相关(1分)(3)最大无关组为a,a2,a,并且 a4=a1+a2+a,(2分)

1 模 拟 题（三） 答 案 一、填空题（本大题共十小题，答对一题得 3 分，共 30 分） 1、23 2、1 3、-8 4、         − − 2 1 2 3 2 1 5、 3 3 5 2 1       − − 6、r =n 7、线性相关 8、≤n 9、0 或 3 2 − 10、 (-3, -4) 二、判断题(本大题共 5 小题 答对一题得 3 分，共 15 分。) 1. √ 2. × 3. × 4. √ 5. × 2、           − 0 1 1 3 0 1 0 1 2 2 1 1 0 2 1 ∽                 − − 2 3 2 3 0 0 1 2 3 2 3 0 1 0 2 1 2 1 1 0 0 ∴ X ＝                 − − 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 (8 分) 3、               − − − 4 4 8 16 1 10 2 11 2 100 4 98 1 9 2 8 ∽               − 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 9 2 8 ∽               0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 (8 分) ∴(1) 秩=3 (1 分) (2) 线性相关 (1 分) (3) 最大无关组为 1 2 3 a ,a ,a ，并且, a 4 = a1 + a 2 + a 3 (2 分) 三、计算题(本大题共 5 小题，共 50 分。) 1、解： 1 0 1 0 2 3 1 1 1 0 1 2 1 2 3 1 − − = 1 0 0 0 2 3 3 1 1 0 0 2 1 2 4 1 − = 3 3 1 0 0 2 2 4 1 (2 分) = -2 3 3 2 4 =12 (2 分) A11 − A13 + 2A14 =0 (2 分)

1+11 4、 11+元1=（+3）(1)当2≠0和-3时，方程组有唯一解 111+ 1110)1110 (2)当1=0时，增广矩阵为1113∽0003 无解 1110(0000 (3)当1=-3时，增广矩阵为 -2110）11-2-3)10-1-1 1-213∽1-213∞01-1-2 11-2-30000(0000 (1 有无穷多解，通解为 =c1+-2 ,c任意(12分) =(-4(1+)=0,1=4及=-1 当=4时，A-4 0 ,方程(A-4E)x=0的基础解系为 方程(A+E)x=0的基础解系为a2= 单股化得A=日 正交矩阵P=(P,P2)= 】正交装x-们）将=次型/ 512 化为它的标准型∫=4y2-片2该二次型不正定。(12分) 五.(5分)证明，a1,a2,a3线性无关∴.R(a1,a2,a)=3 111) (B,B2,E3)=(a1,42,a3011=(a1,a2,a3)K 001 K=1≠0，所以K可逆·RB,B,B)=3故R,B,B线性无关

2 4、 ( 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = + + + +      （1）当   0和− 3时,方程组有唯一解. （2）当  = 0 时,增广矩阵为           1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 0 ∽           0 0 0 0 0 0 0 3 1 1 1 0 无解 （3）当  = −3 时, 增广矩阵为           − − − − 1 1 2 3 1 2 1 3 2 1 1 0 ∽           − − − 0 0 0 0 1 2 1 3 1 1 2 3 ∽           − − − − 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 1 有无穷多解,通解为           − − +           =           0 2 1 1 1 1 3 2 1 c x x x ,c 任意 （12 分） 5、A=         − − 2 0 3 2 ( 4)( 1) 0 2 3 2 = − + = − − − − − =     由A E ,  = 4及 = −1 当  = 4 时,A-4E=                 − − − − 0 0 1 2 2 4 1 2 ∽ ,方程(A-4E)x=0 的基础解系为        − = 1 2 a1 ,单位化得        − = 1 2 5 5 p1 当  = −1 时,A+E=         −         − − 0 0 2 1 1 ∽ 2 1 4 2 方程(A+E)x=0 的基础解系为         = 1 2 1 2 a , 单位化得         = 2 1 5 5 p2 正交矩阵        − = = 1 2 2 1 5 5 ( , ) P p1 p2 正交变换         = 2 1 y y X P 将二次型 f 化为它的标准型 2 2 2 4 1 f = y − y 该二次型不正定. （12 分） 五．（5 分） 证明 ∵ 1 2 3 a ,a ,a 线性无关 ∴R( 1 2 3 a ,a ,a )=3 ( , , )K 0 0 1 0 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) 1  2  3 1  2  3 = 1  2  3           = ∵ K =1 0,所以K可逆 ∴ R(1 , 2 , 3 ) = 3 故 1 2 3  , , 线性无关