第三节逆矩阵 线性代教
第三节 逆矩阵
逆矩阵的概念和性质 定义7对于n阶方阵4，如果有一个阶矩阵B 使得、AB=BA=E, 厕说矩阵是可逆的并把矩阵B称为A的 逆矩阵 8=》- 例 'AB=BA=E∴.B是A的一个逆矩阵
一、逆矩阵的概念和性质 定义 7 如果有一 个n阶矩阵B , AB = BA= E, 对于n阶方阵A, 使得则说矩阵A是可逆的， BA= E 并把矩阵B 逆矩阵。 称为A的 例 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = B是A的一个逆矩阵. 设
说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 若设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E. 可得B=EB=(CAB=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的.A的逆矩阵记作A. 即若AB=BA=E,则B=A
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的. . −1 A的逆矩阵记作A , . −1 即 若AB = BA = E 则B = A
定理塑 若矩阵4可逆，则侧A≠0. 证明A可逆，即有A,使AA=E. 故A×A=|E=1, ∴.A≠0. 定理若A≠0，则矩阵4可逆，且 '=有，共中为矩阵的件随阵 证明曲上节伴随阵的性质 AA"A"A=AE, AA=E, A
定理1 若矩阵A可逆，则A 0. 证明 . 1 1 A A AA = E 可逆，即有 − ，使 − 1, 1 = = − 故A A E , 1 1 * A A A = − A 0. 其中A * 为矩阵A的伴随阵。 由上节伴随阵的性质知 , * * AA = A A = AE 定理2 若A 0,则矩阵A可逆，且 证明 A 0, , 1 1 * * A A E A A A A = =
A=A=4c344=(A=E, 按逆矩阵的定义得 A1=1 A(仁 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时，A称为奇异矩阵当A≠0时，A称为 非奇异矩阵 由此可得A是可逆阵的充要条件4≠0， 即可逆矩阵就是非阵
AA = A A = AE ) , 1 ) ( 1 ( A A E A A A A = = −1 A 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A 时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件A 0, 即可逆矩阵就是非奇异矩阵。 1 * A A = ( ). A A =
推论 若AB=E(或BA=E),则B=AH 证明 ·.·AB=E ∴.AB=E=1,故A≠0， 因而A存在，于是 B=EB=(A-A)B=A(AB) =AE=A 证毕 逆矩阵的运算规律 ()若A可逆，则A亦可逆，且(A'=A
A B = E = 1, 故 A 0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算规律 −1 −1 = A E = A AB = E
(2)若A可逆，数≠0，则A可逆，且 3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (A比士A1 证明由推论可知(4B火4上丑BB?特存在即为(AB)] =AEA-=AA=E, .（AB)1=B1A1
( ) 2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( )= −1 −1 AB B A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1 AB = B A 证明 ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A 由推论可知 (AB)( ？ ) = E ？若存在即为 ( ) −1 ( ) . AB −1 −1 A BB A
推广(4A4,A=AAA (4)若A可逆则AI亦可逆，(AI)1=(A1)T 证明”44y=(4'4=Er=E, .(a'=(ay. 另外，当A≠0时，定义 A0=E,A=(4y. (k为正整数)
( ) = − T T A A 1 T = E = E, ( ) ( ) . 1 1 T T A A − − = , ( ) . , 0 , 0 1 k k A E A A A − − = = 另外 当 时 定义 证明 (k为正整数) ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1 (4) 若A可逆，则A T 亦可逆， 1 1 . ( ) ( ) T T A A − − 且 = ( ) T A A −1
当A≠0，几，为整数时，有 AA=A+“,（A/=Au, (⑤)若A可逆，则有A=A. 证明 .·AA1=E .44-=1 因此A=A
( ) A , A A . 1 1 5 − − 若 可逆 则有 = 证明 AA = E −1 1 1 = − A A A A . 1 −1 − 因此 = 当A 0, ,为整数时,有 , + A A = A ( ) . A = A
二、逆矩阵的求法 的逆矩阵， 123 解A= 221=2,.A存在. 343 2 A11= 43
例1 求方阵 的逆矩阵. = 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A 解 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A = = 2, . A −1存在 2, 4 3 2 1 A11 = = 3, 3 3 2 1 A12 = − = − 二、逆矩阵的求法 2, 3 4 2 2 A13 = =