克拉玛依职业技术学院：《复变函数与积分变换》课程教学授课教案.pdf_大学文库

辐角主值：记 arg z ，范围− 0  ， Argz = arg z + 2k(k = 0,1,2, ) 当 z  0 时， z 的辐角主值如下：                  − =  =   =  = −   +       = 0, 0 2 0, 0 2 0, 0 0 0, 0 arctan 0, 0 arctan 0, 0 0, 0 0, 0, arctan arg x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z      复数的三角形式： z = x + yi = r(cos +isin) ； x = r cos, y = rsin . 复数的指数形式： i z = re 例 3：将复数 z =1− 3i 分别化为三角表达式和指数表达式。（ i k i z k i k e       2 3 2 ) 2 3 2 ) sin( 3 2 cos( − + =      = − + + − + (k = 0,1,2, ) ）复平面上任意两点间的距离： 2 1 2 2 1 2 1 2 z − z = (x − x ) + ( y − y ) 3、复数三角表示作乘除法设 (cos sin ) 1 1 1 1 z = r +i ， (cos sin ) 2 2 2 2 z = r +i ，乘法： [cos( ) sin( )] 1 2 = 1 2 1 +2 + 1 +2 z z rr i 推广 zi = ri (cosi +isini ) i =1,2,3 [cos( ) sin( )] 1 2 3 = 1 2 1 +2 +3 + 1 +2 +3 z z z rr i 除法： [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 2 1 2 1 =  − + i  − r r z z ( 0) r2  例 4：化简 (1 )(cos sin ) (1 3 )(cos sin )     i i i i − − − + 答案：       − + − ) 12 ) sin(2 12 2 cos(2     i 乘方： z [r(cos isin)] r (cosn isin n) n n n = + = + 例 5：设 n 为正整数，试证明 1 2 1 3 2 1 3 3 1 3 1 = −         − − +         − + n+ n+ i i 三、课堂小结：本次课重点在于讲复数的概念及四则运算和复数的几何表示。布置作业：作业：完成《复变函数与积分变换》学生工作任务单（1）五．课后小结：第一、四象限第二象限第三象限 x 正半轴 x 负半轴 y 正半轴 y 负半轴 arg z x y z x y arctan O x y arctan O arg z y z x y arctan x

内容一、思想教育：数学家祖冲之的二、新课内容：（一）复数三角表示作乘除法设 (cos sin ) 1 1 1 1 z = r +i ， (cos sin ) 2 2 2 2 z = r +i ，乘法： [cos( ) sin( )] 1 2 = 1 2 1 +2 + 1 +2 z z rr i 推广 zi = ri (cosi +isini ) i =1,2,3 [cos( ) sin( )] 1 2 3 = 1 2 1 +2 +3 + 1 +2 +3 z z z rr i 除法： [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 2 1 2 1 =  − + i  − r r z z ( 0) r2  例 1：化简 (1 )(cos sin ) (1 3 )(cos sin )     i i i i − − − + 答案：       − + − ) 12 ) sin(2 12 2 cos(2     i 乘方： z [r(cos isin)] r (cosn isin n) n n n = + = + 例 2：设 n 为正整数，试证明 1 2 1 3 2 1 3 3 1 3 1 = −         − − +         − + n+ n+ i i （二）复数的开方设 z = r(cos +isin) ，  = (cos +isin) 若 z(n 1,n Z) n  =   ,称  为 z 的 n 次方根。记 n z ，  (cosn isin n) n n = + ，求方根的运算叫开方。 n  = r ，: ( 0, 1, 2, ) 2 =    + = = k n k Arg     说明：（1）当 k = 0,1,2,  ,n−1 时，得 n 个相异的值。 0 1 2 1 , , , ,     n− （2）每两个相邻辐角的差为 n 2 例 1：求（1） 3 1 （2） 4 1+i 解:(1) 1= cos(0+ 2k )+isin(0+ 2k ), | 0,1,2} 3 2 sin 3 2 1 {cos 3 = + k = k i k  , 三个根为： i i 2 3 2 1 , 2 3 2 1 1 , − + − − （2） 2 , 4 2 isin 4 1 2 cos              + +      + = +     i k k        =       + +      + = + 0,1,2,3 4 16 2 sin 4 16 2 1 2 cos 4 8 k k i k i     ，四个根为：       + 16 sin 16 2 cos 8   i ，       + 16 9 sin 16 9 2 cos 8   i       − 16 15 sin 16 15 2 cos 8   i ,       − 16 7 sin 16 7 2 cos 8   i （三）复球面(Complex Sphere):复平面上加点  后称为扩充复平面(Extended) 模为有限的复数，称为有限复数，除去  的复平面称为有限复平面

内容一、思想教育：数学家陈景润复习：复数的三角形式和指数形式，复数的开方二、新课内容：（一）复平面上的点集 1、基本概念： 0 z 的  −领域，记 ( )0 N z  ， ( 0) z − z0     ， 0 z 的去心  −领域 0  z − z0   内点（Interior Point）:若点集 D 的点 0 z 有一领域全含于 D 内，则称 0 z 为 D 的内点。开集（Open Set）:若点集 D 的点全为内点，则称 D 为开集。边界点（Boundary Point）:若在点 0 z 的任意邻域内，同时有属于 D 的点和不属于 D 的点则称 0 z 为 D 的边界点，所有 D 的边界点够成的点集称为 D 的边界，记 D. 余集：平面上不属于点集 D 的点的全体称为 D 的余集。记 c D 。闭集：开集的余集称为闭集。一个集合是开集  集合中的每一点都是它的内点。孤立点：设 , z0 D 若在 0 z 的某一领域内除 0 z 外不含 D 的其他点，则称 0 z 为 D 的孤立点。有界集：若有正数 M ,对于点集 D 内的点 z ，都满足 z  M ,即若 D 全含于某一圆内，则称 D 为有界集，否则就称 D 为无界集。连通：如果开集 S 内的任意一对点 1 2 z ,z 都能被含于 S 内的折线连接起来，则称 S 是连通的。区域（Domain）：若非空点集 D 即是开集又具有连通性，则 D 称为区域。闭区域：区域 D + D= D 例 1：指出下列点集是否为区域、闭区域；是有界集还是无界集？（1） z 平面上以圆点为圆心， R 为半径的圆形区域。 z  R ，闭区域 z  R （2） z 1,Im(z)  0 （3） 1 2 y  Im(z)  y （4） r  z  R 连续曲线(Continuous Curve)：如果曲线 :z = x(t) +iy(t) (  t  ) 的实部与虚部均为 t 的连续函数，则曲线  为连续曲线。连续曲线没有重点，称为简单曲线。当 z() = z() 连续曲线称为简单闭曲线。光滑曲线：如果连续曲线  =   : ( )( ) z z t t   在给定区间上存在连续的 x t y t   ( ), ( ) ，且二者不同时为 0，即曲线  上每点均有切线且切线方向是连续变化的，则称这种曲线为光滑曲线。逐段光滑曲线：由有限段光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。约当定理：简单闭曲线把扩充复平面分成两个部分，一部分不含  的点集，称为该曲线的内部；另一部分是含  的点集，称为该曲线的外部；这两个区域都以已给的简单闭曲线作为边界。单连通区域：在复平面上，如果区域 D 内任意一条简单曲线的内部都含于区域 D 内，则称 D 为单连通区域。否则就称为多连通区域。例 1：指出下列不等式中点 z 在怎样的点集内变动？它们是单连通区域吗？是否有界？ 2 1 (1) Re(z)  (2) z + i  2 + i 2 1 (3) z 1, Re(z)  x x y o x y O 2 1 y O