留数及其应用
留数及其应用
第五讲 留数的应用
第五讲 留数的应用
留数及其应用 1.留数定理 定理2：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 Z1,22,乙m外处处解析，C是D内包围各奇点的一 条正向简单闭曲线，则 f(z)dz C =2πi Res [f(z),Zk]
留数及其应用 1.留数定理 D z1 z z 2 3 zn C1 C2 C3 Cn C
2.留数的应用： 例1：计算积分z2- 5Z-2 dz 解：：z=0是f(z)的一阶极点， Res(f(z),0)=lim 5z-2 z0(2-102 =-2 :z=1是f(z)的二阶极点， Res((z.)1)=是=m5-y=2 71 2-2mi-2+2)=0
2.留数的应用： 例1：计算积分 解：
举例 2:计算积分f sin2z dz. 解：：z=1是f(z)的一阶极点， Res(().1)sin21 Z→1 sin2z lim 2→0(2-1)z2 =-1 ·z=0是f(z)的可去奇点，Res(f(z),0)=0 手n-2ik=2ni(sin21+o）=Zmisin21
举例 例2：计算积分 解：
举例 例3：已知F(s)=s2s-求ResF(s)e,sl 1 S1=1,S2=2. 解：S1=1是F(s)est的二阶极点， ResF()e,-a-m2 lim test(s-2)-est (s-2)2 =-te_e S→1 S2=2是F(s)est的一阶极点， est Res[F(s)est,2]=lim (s-1)z 2(s-2) =e2t
= − ᵉ ᵈ ᵉ − ᵈ ᵉ 举例 解：
举例 4:已知F(si,求Res[es, S1=-1,S2=-3. 解：S1=-1是F(s)est一阶极点， Res[F(s)est,-1]=im est(2s2+3s+3) (s+3)3 e-t 4 S2=-3是F(s)est的三阶极点， Res[F(s)e" 1 d2[est(2s2+3s+3) s+1 1lim (-12t2+6t-1)e-3t 2S→-3 2 =(-32+t-e3
举例 解：
3.1 Geogebra软件求留数东 方法一Geogebra程序：左边为代数区输入 2x2+3x+3 默认为a(x,y) 2(x+1) 导数(a,x,2) 默认为b(x,y) factor(b(-3,t)) 求出留数表达式 实数域因式分解(b(3t) 三种方法都可 因式分解(b(3,t) 求留数表达式
3.1Geogebra软件求留数 Geogebra程序：左边为代数区输入 实数域因式分解(b(-3,t)) 因式分解(b(-3,t)) 三种方法都可 求留数表达式 方法一 求出留数表达式
径3.2 Geogebra软件求留数 方法二Geogebra程序：左边为运算区输入 2s2+3s+3 es*t 这里乘号一定要输入 (s+1) 导数($1,5,2) 对s求二阶导 替换（$2,5，-3) 把二阶偏导数中的s替换成-3 极限($2,5，-3) 也可用求极限替换s sb stitute ($2s,-3) 注：手机输入英文
3.2 Geogebra软件求留数 方法二 Geogebra程序：左边为运算区输入 这里乘号一定要输入 对s求二阶导 把二阶偏导数中的s替换成-3 ᵉᵉᵈ ᵂ ᵉᵈᵉᵉᵉᵈ （$ᵽ ,ᵉ ,− ᵽ ） 注：手机输入英文 也可用求极限替换s
举例 例3：求f(z)=,1在z=kπ(k≠0)的留数。 zsinz 解：z=kπ（化≠0）是函数f()的一阶极点， Res (sin kn) (
举例 解： ᵉ = ᵈ ᵴ (ᵈ ≠ ᵼ )是函数ᵈ(ᵉ )的一阶极点