复数与复变函数
复数与复变函数
第七讲 平面曲线与复变丞数
第七讲 平面曲线与复变函数
平面曲线与复变函数 1.平面曲线 平面曲线可以用一对连续函数x=x(t),y=y(t) (α≤t≤b)表示，用实变量的复值函数z(t)表示为： z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b 例如： (1)以坐标原点为中心，以a为半径的圆周的 参数方程为： z=x+iy x=acost y=asint,(0≤t≤2π) 写成复数形式方程为： z=a(cost+isint),(0≤t≤2π)
平面曲线与复变函数 1.平面曲线 平面曲线可以用一对连续函数𝒙 = 𝒙(𝒕),𝒚 = 𝒚(𝒕) (𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃)表示,用实变量的复值函数z(t)表示为： z 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑖𝑦(𝑡) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 例如： (1)以坐标原点为中心,以a为半径的圆周的 参数方程为： 𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 写成复数形式方程为： 𝒛 = 𝒂(𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝒕), (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 𝑦 𝑂 𝑥 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 𝑡 𝑎
(2)以坐标原点为中心焦点在实轴上，长半轴为α， 短半轴为的参数方程为： z=x+iy x=acost y bsint, (0≤t≤2π) 写成复数形式方程为： z acost ibsint, (0≤t≤2π) (3)平面上连接两点(x1,y1),与(x2,y2)的直线段参数方程为： x=x1+(x2-x1)t,y=y1+(y2-y1)t,(0≤t≤1) 复平面上复数21，Z2的参数方程为： z=z1+(z2-z1)t,(0≤t≤1)
(2)以坐标原点为中心焦点在实轴上，长半轴为𝒂， 短半轴为b的参数方程为： 𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 写成复数形式方程为： 𝒛 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒕 + 𝒊𝒃𝒔𝒊𝒏𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅) 𝑦 𝑥 𝑂 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚 𝑡 𝑎 b （3)平面上连接两点 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 ,与 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 的直线段参数方程为： 𝒙 = 𝒙𝟏 + (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝒕, 𝐲 = 𝒚𝟏 + (𝒚𝟐−𝒚𝟏)𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏) 复平面上复数𝒛𝟏, 𝒛𝟐的参数方程为： 𝐳 = 𝒛𝟏 + (𝒛𝟐−𝒛𝟏)𝒕, (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏) 𝑦 𝑥 𝑂 𝒛𝟐 𝒛𝟏
如果在区间a≤t≤b上x'(t),y(t)都是连续的， 且对t的每一个值，有 [x'(t)]2+y'(t)]2≠0 那么这个曲线称为光滑的，由几段依次相接的 光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线。 没有重点的连续曲线C称为简单曲线。如果曲线C 的起点与终点重合，则曲线C称为简单闭曲线 (若尔当(Joedan)曲线)。 z(b z(a)=z(b z(@ z(a） z(b) 简单曲线 不简单曲线
如果在区间𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃上𝒙 ′ 𝒕 ,𝒚 ′ 𝒕 都是连续的， 且对𝒕的每一个值，有 那么这个曲线称为光滑的，由几段依次相接的 光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线。 [𝑥 ′ 𝑡 ] 2 + [𝑦 ′ 𝑡 ] 2 ≠ 0 没有重点的连续曲线C称为简单曲线。如果曲线C 的起点与终点重合，则曲线C称为简单闭曲线 （若尔当（Joedan)曲线）。 𝑧 𝑎 = 𝑧(𝑏) 𝑧 𝑎 = 𝑧(𝑏) 𝑧 𝑎 𝑧(𝑏) 𝑧 𝑎 𝑧(𝑏) 简单曲线 不简单曲线
若尔当(Joedan)定理：任意简单闭曲线将平面分成 两个区域。都以该曲线为边界，其中一个为有界区域， 称为该曲线的内部，另一个为无界区域，称为外部。 外部 内部
若尔当（Joedan)定理：任意简单闭曲线将平面分成 两个区域。都以该曲线为边界，其中一个为有界区域， 称为该曲线的内部，另一个为无界区域，称为外部。 𝐷 𝜕𝐷 外部 内部
2.复变函数 设D是复平面上一点集。如果对于D中任意的 一点z,有确定的（一个或多个）复数w同它对应， 则称D上定义了一个复变函数，记作w=f(z). 如果对每个z∈D,有唯一的w同它对应，则称 W=f(Z)为单值函数，不是单值函数称为多值函数， 一般所指都为单值函数。 设z=x+y,则w=f(z)可以写成： w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y) 其中：u=u(x,y),v=v(x,y),只需考虑u,v实函数 的性质
2.复变函数 设D是复平面上一点集。如果对于D中任意的 一点𝒛,有确定的（一个或多个）复数𝐰同它对应， 则称D上定义了一个复变函数，记作𝒘 = 𝒇 𝒛 . 如果对每个𝐳 ∈ 𝑫,有唯一的𝐰同它对应，则称 𝒘 = 𝒇(𝒛)为单值函数，不是单值函数称为多值函数. 设𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚,则𝒘 = 𝒇 𝒛 可以写成： 一般所指都为单值函数。 𝒘=𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) 其中：𝒖 = 𝒖 𝒙, 𝒚 , 𝒗 = 𝒗 𝒙, 𝒚 , 只需考虑𝒖，𝒗实函数 的性质
举例 例1：将定义在全平面上的复变函数w=z2+1化为一对 二元实变函数。 解：记z=x+iy,w=u+im,代入w=z2+1 u+iv=(x+iy)2+1 =x2-y2+1+i2xy 得：u=x2-y2+1,v=2xy
举例 例1：将定义在全平面上的复变函数𝐰 = 𝒛 𝟐 + 𝟏化为一对 二元实变函数。 解：记𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚, 𝒘 = 𝒖 + 𝒊𝒗, 代入𝒘 = 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒖 + 𝒊𝒗 = （𝒙 + 𝒊𝒚） 𝟐 + 𝟏 = 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 + 𝟏 + 𝒊𝟐𝒙𝒚 得：𝒖 = 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 + 𝟏, 𝒗 = 𝟐𝒙𝒚
例2：将定义在全平面除去坐标原点的区域上一对二元实 变函数化为一个复变函数，其中： u=,v=(x2+y2≠0 2x 解：记z=x+iy,w=u+iv,代入w 2+2+iy 2x u+iv= 'x2+y2 2x Z+2 u= x2+y 0= iv= iy = Z-7 2Z x2+y2 2z2 得：w =22+22+z- 2z2 + 2=3 (z≠0) 2
例2：将定义在全平面除去坐标原点的区域上一对二元实 变函数化为一个复变函数，其中： 解：记𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚, 𝒘 = 𝒖 + 𝒊𝒗, 代入𝐰 𝒖 + 𝒊𝒗 = 𝟐𝒙 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 + 𝒊 𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 𝒖 = 𝟐𝒙 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 = 𝒛+𝒛 𝒛𝒛 得：𝒘 = 𝟐𝒛+𝟐𝒛 +𝒛−𝒛 𝟐𝒛𝒛 = 𝟑 𝟐𝒛 + 𝟏 𝟐𝒛 (𝒛 ≠ 𝟎) 𝒖 = 𝟐𝒙 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 , 𝒗 = 𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 ≠ 𝟎) 𝒊𝒗 = 𝒊𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 = 𝒛−𝒛 𝟐𝒛𝒛
例3：函数w=,将z平面上的直线x=1映射成w平面 上的何种曲线？ 解：记z=x+iy,w=u+iv,代入w u+iv=x-iy -x2+y2 X 1 =x2+y2=1+y2 v=-y 1+y2 两边同时平方得：u2+v2=, 1+2u u-2+2=
例3：函数𝐰 = 𝟏 𝒛 ，将𝒛平面上的直线𝒙 = 𝟏映射成𝒘平面 上的何种曲线？ 解：记𝐳 = 𝒙 + 𝒊𝒚, 𝐰 = 𝒖 + 𝒊𝒗,代入w 𝒖 + 𝒊𝒗 = 𝒙−𝒊𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 𝒖 = 𝒙 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 = 𝟏 𝟏+𝒚 𝟐 两边同时平方得： 𝒗= −𝒚 𝟏+𝒚 𝟐 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐= 𝟏 𝟏+𝒚 𝟐 =𝒖 (𝒖 − 𝟏 𝟐 ) 𝟐+𝒗 𝟐= 𝟏 𝟒 𝑦 𝑂 𝑥 𝑣 𝑂 𝑢